中国古代数学 作者:郭书春


第三节 比例与比例分配



  比例问题早在先秦已见端倪。《九章》粟米章的今有术是完整的比例算法:已知所有数,所有率和所求率,则所求数为

  所求数=所有数×所求率÷所有率。

  这种方法传到印度和西方后叫三率法(rule ofthree)。刘徽认为,今有术是一种普遍方法。凡是九数中的问题,只要能找出其中的率关系,通过齐同变换,无不归于此术。如《九章》均输章的题目:一客人离开旅馆时忘记带衣服,过了1/3天,主人发现了,骑马追上客人还给他衣服,回家时天已3/4。客人的马一日行300里,问主人的马一日行多少?刘徽认为,3/4-1/3=5/12是主人追客来回用日率,5/24是主人追客用日率,5/24+1/3=13/24是客人被追上前用日率。而主人用日率即客人马行率,客人用日率即主人马行率,因此客马行率5,为所有率,主马行率13,为所求率,300里为所有数。主人马一日行=300里×13÷5=780里。

  比例分配方法古代叫衰分术,各部分的比例叫列衰。《九章》提出的方法是:设所分的数是A,列衰为,列衰之和为法,某一列衰(i=1,2……)乘所分的数A为实,实如法而一,便是某一部分。刘徽认为它可以归结为今有术:所分的数A为所有数,列衰之和为所有率,列衰各为所求率,某一部分为所求数。如《九章》衰分章一题目:牛、马、羊吃了人家的青苗,苗主要求赔偿5斗谷子。羊主说:我的羊只吃了马的一半;马主说:我的马只吃了牛的一半。问各赔偿多少?依衰分术,列衰是4、2、1,那么
 


  若各部分按的比例分配,《九章》称为返衰术,其公式是:。刘徽说这是“动者为不动者衰”。(《九章算术·衰分章注》)

  政府要征收赋税,赋税有的缴粮食,有的是徭役。各县户口不等,距离有远近,粮价有差异,如何分配才能使各户的负担公平合理呢?这就是均输问题,也是一种比例分配问题。只是各县的分配比例未预先给定,而是要根据各县条件计算出来。设n县共应缴谷物A斛,各县户数分别为,距离为,每斗谷物价,一车载m斛,工价一里k钱,则i县运一斛的费用,则为i县的分配比例。刘徽指出,这可以使户共出一斛,则每户均为一钱,负担公平。




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