>>> 2004年第11期
来自古代中国的数学难题
作者：徐 胜
“七”这个数字古人认为是非常吉利的数字，这种七块有规则的木板拼图，被称做七巧板。这七块板子由五块相似的等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成，你能找到将它们拼成一个正方形的方法吗？试试将它们拼成两个正方形，再试试将它们拼成一个长方形，或一个平行四边形，所有这些都具有一定的挑战性！七巧板的流行大概是由于它结构简单、操作容易、明白易懂的缘故，你可以用它随意地拼出你自己设计的图样，但如果你想用七巧板拼出特定的图案，那就会遇到真正的挑战。因为它那简单的结构，很容易使人误认为要解决它的问题也很容易，用七巧板拼出的图案超过1600种，其中有些是容易解决的，另一些却相当诡秘，还有一些则似是而非充满了矛盾。
七巧板不仅仅是一个玩具，1813年出版的《七巧图合璧》一书中称，“七巧源于勾股法”，这是最早将七巧玩具与数学相联系的记载。
勾股定理在中国可以追溯到周代，在《周髀算经》里面记载的周公与商高有段对话，说明了勾股定理。到了三国时代，有一个数学家叫赵爽，他就给出了一个图，叫弦图，利用这张弦图，它给出了一个很简洁而非常优美的证明。
中国的古人巧妙地把这种数和形结合起来，把数学中最基本的问题趣味化、日常生活化，就变成了玩具。而且中国古代这种玩具，既有实用性，又有教育性。
七巧图历史渊远流长，图板形状规范、典雅大方，分割既科学又巧妙，体现出深厚的中华文化底蕴。虽然是妇孺皆知的玩具，却包含着丰富的文化、数学、哲学、美学的内涵。七巧板最显著的特点，就是全部图板都以“矩”为基础构成。七巧游戏可以说是“矩”的游戏，我们的祖先对“矩”情有独钟，很早就开始研究和应用“矩”。
因为七巧板的基本图形就是一个三角形，这个三角形在古代叫做矩，据说开天辟地的始祖伏羲和女娲，他们创世纪的时候所拿的工具就是圆规和三角尺，三角尺为矩，那么七巧板所有的图形都是这样的。
谁能猜到七巧板居然会跟拿破仑、亚当、杜雷、爱伦坡以及卡洛尔等人发生关系？而实际上他们全都是七巧板的狂热爱好者。以色列教育部卡雅教育学院教育家艾达·卡特萨普所著的《玩的工具》一书中，对我国的玩具作了大量的分析和介绍。书中有一幅18世纪的版画，内容是清晨五点，夫妇俩因为专心解读中国的七巧板，连孩子也被放在了一边。
华容道与博弈论
我国的古典数学玩具，不但体现出中华民族的优秀文化，还涉及到几何学、运筹学、图论、博弈论多门学科。华容道游戏就是博弈论的代表作。
传说在上古时代有人在洛河中发现了一只乌龟，乌龟的背上有一个图形，古人把它叫做《洛书》，它就是数学中的三阶幻方。在此基础上，产生了唐宋时代风行的“重排九宫”游戏。后人为增加难度，把重排九宫游戏中的棋子设计得有大有小，还把游戏中的内容和三国中曹操败走华容道的故事联系在一起，这就成了我们熟悉的华容道了。
华容道游戏取自著名的三国故事，曹操在赤壁大战中被迫退逃到华容道，又遇上诸葛亮的伏兵，关羽为了报答曹操对他的恩情，明逼实让，终于帮助曹操逃出了华容道。游戏就是依照“曹瞒兵败走华容，正与关公狭路逢。只为当初恩义重，放开金锁走蛟龙”这一故事情节，通过移动各个棋子，帮助曹操从初始位置移到棋盘最下方，从出口逃走。“华容道”有一个带20个小方格的棋盘，代表华容道。棋盘下方有一个两方格边长的出口，是供曹操逃走的。棋盘上共摆有10个大小不一的棋子，仅有两个小方格空着，玩法就是通过这两个空格移动棋子，用最少的步数把曹操移出华容道。每移动一步都要决定下一步怎么走，这在数学里是博奕论研究的对象，如果精通博奕论，华容道会走得相当好。你要从众多的移动方式中找到几种方式能够成功。
1956年的数学家们还没有高速的计算机，他们只能用手写方程式的方法叙述着数学玩具的魔力。数学家充实了玩具的生命，也增加了它的魅力。
现在有许多科学家、计算机专家，把玩这种玩具的方式用电脑来解开，找到最少步骤的玩法是81步。
鲁班锁与榫卯结构
早在新石器时代，河姆渡的原始居民就用木头创造了干栏式建筑，从而发明了用榫卯方式连接两个木结构，这种连接方式举世闻名。它是我国古老建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式，工艺精确，扣合严密，两块木结构彼此间可以说是天衣无缝。
中国古代建筑的特征，就是用榫卯而不要用铁钉、胶水，这种榫卯的构造就比较复杂，像这样的东西逐步发展到后面，就有所谓的“鲁班锁”。
榫卯作为木质结构的方式和技术形式是内在的，一般不为人所注目，但它却是工匠艺人必须具备的基本技能。工匠的手艺高低，通过榫卯的结构能清楚地反映出来。我国民间艺人为了使自己的工艺传授给后代，直接从建筑结构中切取一块构造，让自己的弟子学习，这种木块构造也就是“鲁班锁”这种玩具的雏形。
“鲁班锁”利用6根中间有缺口的短木，彼此间搭配合理，就可以紧密地形成为一个整体。清代的《鹅幻汇编》一书中称鲁班锁为“益智之具”。
在民间的发展过程中，为教育儿童、锻炼他们的空间观察能力、思考能力，就发明了这种鲁班锁，这种鲁班锁从南到北，从东到西都有流传。
由榫卯这种木结构的奠基，使得我国千年的建筑更加厚实。祖先为传接自己技艺所创制的结构，如今已成为了老少皆宜的玩具。玩具对一个人的成长有着不可磨灭的影响，经典的玩具则可以融入一个民族的发展，映出一个民族的文化。
九连环与模糊数学
依据拓扑学原理设计的九连环，和华容道、鲁班锁一样，都是在简单之中包含着大智慧。九连环历史非常悠久，《战国策》中记载为“玉连环”。宋朝以后，九连环开始广为流传。在明清时期，上至达官贵人，下至贩夫走卒，都特别钟爱。曹雪芹在《红楼梦》中记述有林黛玉巧解九连环的故事。在国外，数学家卡尔达诺在公元1550年已经提到了九连环。后来，19世纪的格罗斯深入研究了九连环，用二进制数给了它一个十分完美的答案。
九连环主要由9个圆环及框架组成。每一个圆环上都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，9个直杆的另一端用板或圆环相对固定住。
圆环在框架上可以解下或套上。玩九连环就是要把这9个圆环全部从框架解下或套上。九连环的玩法比较复杂，无论解下还是套上，都要遵循一定的规则。格罗斯经过运算，证明共需要341步，到目前为止还没有其他更为便捷的答案。
1975年曾有一本关于离散数学的书，其中收录了这样一个数列：1，2，5，10，21，42，85，170，341……这就是“九连环”的数列。
令人惊诧的是，古人制作或者创造九连环的时候，并不是依据后人分析的数字而制作。
在数学还不发达的当时，古人就能够创造出今天的数学家才能分析解答的难题，这不能不说是奇迹。在古人留给我们的宝贵财富中，至少，这些益智玩具占有重要地位，它们也是古代文明的直接见证。
九连环环环相扣，互相制约，只有第一环能够自由上下，在任何正常状态下，都只有两条路可走：上某环和下某环，别的环动不了。最关键的秘诀是：上中有下，下中有上。
这又有了一种哲理，也许，这正是九连环经久不衰的原因吧，它除了能够益智健身和留下数学之谜外，还可以催人思索对待事物的方法和解决问题的技巧。