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“积的变化规律”拓展应用举例
作者：卞恩鸿
在拓展应用中,有一个因数变化的“积的变化规律”,也有两个因数都变化的“积的变化规律”和“积不变的规律”｡“积的变化规律”拓展应用以填空题､判断题､选择题为主,三种题型可以互相变换｡下面列举几例,供大家参考｡
一､在周长公式中的应用
学生已学习过长方形､正方形周长公式:长方形周长=(长+宽)×2,正方形周长=边长×4｡其中,长方形周长､正方形周长就是积,长与宽的和､边长､2､4都是因数,而且2和4是不变的因数｡因此,会遇到下面的题目｡
例1填空:正方形的边长扩大3倍,它的周长 ｡
[分析]因为“正方形周长=边长×4”, 边长和4都是因数,正方形的周长是积,所以,根据“积的变化规律”,一个因数(4)不变,另一个因数(边长)扩大3倍,积(周长)就扩大3倍｡答案是:扩大3倍｡
[练习]请应用“积的变化规律①”,试着解下面三道填空题:
1. 正方形的边长缩小10倍,它的周长｡
2. 正方形的边长,它的周长扩大13倍｡
3. 正方形的边长,它的周长缩小15倍｡
例2选择:长方形的长与宽同时( ),周长扩大4倍｡
A. 缩小2倍B. 扩大2倍C. 缩小2倍D. 扩大4倍
[分析]因为“长方形周长=(长+宽)×2”, 长与宽的和与2都是因数,长方形的周长是积,所以,根据“积的变化规律”,一个因数(2)不变,另一个因数(长+宽)扩大4倍,积(周长)就扩大4倍｡答案是:D.扩大4倍｡想一想:长与宽同时扩大4倍,为什么就是长与宽的和扩大4倍?
[练习]请应用“积的变化规律①”,试着解下面三道选择题:
1. 长方形的长与宽同时( ),周长缩小4倍｡
A. 缩小2倍B. 扩大2倍C. 缩小4倍D. 扩大4倍
2. 长方形的长与宽同时缩小2倍,周长( )｡
A. 缩小2倍B. 扩大2倍C. 缩小4倍D. 扩大4倍
3.长方形的长与宽同时扩大2倍,周长( )｡
A. 缩小2倍B. 扩大2倍
C. 缩小4倍D. 扩大4倍
因为“围成一个图形所有边长的总和叫做这个图形的周长”,所以等边三角形的周长就是它的三条边长的总和｡又因为等边三角形的三条边相等,所以“等边三角形周长=边长×3”｡因此,可能遇到下面的题目｡
例3判断:等边三角形的一条边缩小2倍,它的周长就缩小2倍｡( )
[分析]因为“等边三角形周长=边长×3”,根据“积的变化规律”,一个因数(3)不变,另一个因数(边长)缩小2倍,积(周长)就缩小2倍,所以答案是:√ ｡
[练习]请应用“积的变化规律①”,试着解下面这道判断题:
等边三角形的一条边扩大2倍,它的周长就扩大2倍｡( )
二､在数量关系中的应用
在学习“积的变化规律”时,已学过“常见的数量关系”:单价×数量=总价､速度×时间=路程､工作效率×工作时间=工作总量｡在常见的数量关系式中,单价和数量､速度和时间､工作效率和工作时间是因数,总价､路程､工作总量都是积｡因此,可能会遇到下面的题目｡
例4填空:如果一件物品的单价扩大2倍,买的数量扩大3倍,用去的总价｡
[分析]如果单价不变,买的数量扩大3倍,总价扩大3倍;如果数量不变,单价扩大2倍,总价扩大2倍｡因此,总价扩大6(2×3)倍｡用算式证明:(单价×2)×(数量×3)=(单价×数量)×(2×3)=总价×6,即总价扩大6倍｡这实际上是应用了“积的变化规律②”——“在乘法中,一个因数扩大(或缩小)a倍,另一个因数扩大(或缩小) b倍,积扩大(或缩小)a×b倍｡”
[练习]请应用“积的变化规律②”,试着解下面这道填空题:
如果原来买一种物品需要200元,现在买的单价是原来的一半,数量又买原来的一半,总价是元｡
例5选择:一辆汽车从甲地开往乙地,如果速度扩大2倍,时间( )｡
A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小2倍
[分析]假设原来速度是每小时50千米,从甲地开往乙地需要4小时,甲地到乙地的路程就是200千米｡现在速度扩大2倍就是每小时100千米,从甲地开往乙地需要2小时｡时间从原来的4小时变成2小时,缩小了2倍｡所以答案就是:C. 缩小了2倍｡这实际上是应用了“积不变的规律”——“在乘法中,一个因数扩大若干倍,另一个因数缩小相同的倍数,积不变｡”
[练习]请应用“积不变的规律”,试着解下面这道选择题:
李老师带钱去买排球,可以买10个,如果买单价是排球一半的网球,可以买( )副｡
A. 5 B. 10 C. 20
例6判断:某工程队修路,如果工作效率扩大4倍,工作时间缩小2倍,工作总量扩大2倍｡( )
[分析](工作效率×4)×(工作时间÷2)=(工作效率×工作时间)×(4÷2)=工作总量×2,即工作总量扩大2倍｡所以答案是正确的｡这其实拓展应用了“积的变化规律③”——“在乘法中,一个因数扩大a倍,另一个因数缩小b倍,若a>b，则积扩大a÷b倍;若a
某工程队修路,如果工作效率扩大2倍,工作时间缩小4倍,工作总量缩小2倍｡( )
三､在面积公式中的应用
在学习“积的变化规律”时,已学过五种平面图形的面积公式:正方形面积=边长×边长,长方形面积=长×宽,平行四边形面积=底×高,三角形面积=底×高÷2,梯形面积=(上底+下底)×高÷2｡在面积公式中,边长､长与宽､底与高､上底与下底的和都是因数,图形的面积是积｡因此,可能会遇到下面的题目｡
例7填空:长方形的长扩大3倍,宽,面积不变｡
[分析] 长方形的长扩大3倍,要使面积不变,宽必须缩小3倍｡这实际上是应用了“积不变的规律”｡
[练习]请试着解下面的填空题:
1. 三角形的面积是32平方厘米,底扩大4倍,高缩小4倍,面积是平方厘米｡
2. 梯形的上底是5厘米,下底是10厘米,高6厘米｡如果上底和下底不变,高缩小2倍,面积是平方厘米｡
例8选择:平行四边形的底( ),高缩小3倍,面积缩小9倍｡
A.扩大3倍B.不变C.缩小3倍[分析]平行四边形的高缩小3倍,面积缩小9倍,9是3的3倍,底就要缩小3倍｡这实际上是应用了“积的变化规律②”｡答案是:C.缩小3倍｡
[练习]请试着解下面的选择题:
1. 长方形的长与宽同时扩大2倍,它的面积( )｡
A.扩大2倍B.不变C.扩大4倍
2. 长方形的长缩小4倍,宽扩大2倍,它的面积( )｡
A.扩大2倍B.不变C.缩小2倍
例9判断:正方形的边长扩大3倍,它的面积也扩大3倍｡( )
[分析]正方形的边长扩大3倍,计算正方形面积时实际上是两个因数同时扩大3倍,积(面积)扩大9倍｡用算式证明:(边长×3)×(边长×3)=(边长×边长)×(3×3)=面积×9,即面积扩大9倍｡这实际上是应用“积的变化规律②”｡
[练习]请试着解下面的判断题:
1. 正方形的边长缩小2倍,它的面积也缩小2倍｡( )
2. 三角形的底缩小5倍,面积就缩小5倍｡( )
3. 梯形的下底和高不变,上底扩大4倍,面积就扩大4倍｡( )
注释:
①教材中的“积的变化规律”
②③拓展的“积的变化规律”