首页 -> 2006年第12期
数学复习教学中的“重组与重构”策略例谈
作者：王志南
【情景描述】研究专题:“底面半径大体积就一定大吗?”
1.怎样配置容积大?
例1:以一个长为18.84cm,宽为12.56cm的长方形为圆柱的侧面,如果想要制成一个容积最大的圆柱,那么圆柱的底面半径为_________厘米｡
学生读题,自主分析:怎样配置容积大,未确定高时,应考虑到将长方形的长和宽分别作为底面周长的两种情况｡学生做题,汇报｡
生1:分析可知配制成圆柱体积,有两种情况:
第一种情况,是以长18.84cm的这一条边为圆柱的底面周长,则h=12.56cm,V=π•(18.84÷3.14÷2) 2×12.56=113.04π(cm3 )
第二种情况,是以长12.56cm的这一条边为圆柱的底面周长,则h=18.84cm,V=π•(12.56÷3.14÷2) 2×18.84=75.36π(cm3 )
因为113.04πcm3 >75.36πcm3 ,所以要制成容积最大的圆柱,那么圆柱的半径为18.84÷3.14÷2=3(厘米)｡
(众生均表赞同)
师:回答得很好,刚才我们通过对两种情况的计算发现当圆的半径等于3厘米时,圆柱的体积最大｡我们是否可以用比例的知识解决这个问题呢?
生2:我会,因为长为18.84cm,宽为12.56cm,而这个长方形正好围成圆柱的侧面,所以圆柱的侧面积一定｡
又因为V=S/2•r,所以V/r=S/2｡因为S侧一定,所以S/2一定,圆柱的体积和底面半径成正比例｡由此推断,半径越大,圆柱的体积就越大,因此我们以长方形的长18.84cm为圆柱的底面周长｡即r=18.84÷3.14÷2=3(cm)｡
(同学们情不自禁地报以热烈的掌声)
师:通过对这个例题的解答研究,你有什么新的收获?
生3:今后在解决此类问题的时候,可以巧用比例知识来分析问题,把这个看似复杂的题目转变为成正比例关系来研究｡
师:真不错!的确,我们今后在解决问题的时候,要善于多角度地思考问题｡我们继续来看一道题｡
2.怎样旋转体积大?
例2:一个长方形的长是4厘米,宽是3厘米,以它的一边为轴旋转一周,得到的圆柱体积最大是多少立方厘米?
学生解题,分析汇报｡
常规方法解答,第一种情况:V=3.14×42×3=150.72(cm3);第二种情况:V=3.14×32×4=113.04(cm3)｡因为150.72cm3>113.04cm3,所以得到的圆柱体积最大是150.72 cm3 ｡
巧用比例知识解决:
因为若以长4cm､宽3cm的一条边为半径,则另一条边为高,所以rh的乘积是一定的｡又因为V=πr 2h,所以V=πr•rh,由此推出V/r=π•rh,因为π•rh一定,所以圆柱体积和底面半径成正比例｡由此推断,半径越大,圆柱的体积就越大,因此要使得到的圆柱体积最大,必须以4cm为圆柱底面半径,3厘米为高,体积最大为3.14×42×3=150.72(cm3)｡
3.怎样加工体积大?
例3:一个长方体长10厘米,宽6厘米,高4厘米,将它削成一个圆柱,体积最大是多少立方厘米?
学生尝试解题,汇报交流｡
常规方法解答,可能有三种情况｡
第一种情况,以长方体底面为圆柱底面:π×(6/2) 2×4=36π(cm3)
第二种情况,以长方体右面为圆柱底面:π×(4/2) 2×10=40π(cm3)
第三种情况,以长方体前面为圆柱底面:π×(4/2) 2×6=24π(cm3)
所以,第二中情况削成的圆柱的体积最大,为π×(4/2) 2×10=125.6(cm3)｡
通过观察,发现在这一个现实的问题中,并不存在“圆柱的底面半径越大,体积就一定大”的规律｡因为本题中的底面半径､高在三种情况下都是不确定的,无法找到一个不变量｡所以无法利用比例知识确定“底面半径大时体积就一定大”｡
【教学反思】
这一教学片断引发了我无限的思考,数学复习课,如果沉浸在“题海战术”中无法自拔,只能教出一群“会做题,不会思考”的学生,他们只会疲惫地应付,而无法体验到解题思考过程中“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴”的百感交集,无法体验到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的豁然开朗｡那么如何在数学复习课中“重组”教学资源､数学素材,从而实现学生数学认知上的“重构”,达到“温固而知新”,我想到了许多｡
1.科学定位复习课的教学目标,重构学生知识体系与网络
我认为,复习课的教学目标可以概括为:归纳梳理､沟通提升､重组重构｡复习课例题的选择,应是最一般､具有代表性和最能说明问题的题目,能突出教材的重点｡在对例题进行分析和解答后,应注意发挥例题的以点带面功能,有意识地在例题的基础上进行变化,挖掘问题的内涵与外延,使平日所学的零散知识系统化,形成良好的认知结构｡
上述案例中,教师对这节课的目标定位无疑是准确的,教师选择了富有代表性的三道题,重组数学素材,通过对解题的分析研究,学生不仅掌握了解决方法,还探究了隐藏在问题背后的解题策略,即解决同类题型的普遍性､一般化的规律｡设计中,通过对三种类似题型的分析与比较,把这些题都沟通起来,形成一条“知识链”,学生从习题的分析与讲解中不断提炼数学思想和逻辑推理方法,从练习中掌握解题规律,避免了复习课中“就题论题,漫天撒网”的不良倾向｡这样的复习,学生不再死记硬背,而是在讲练结合的“循环”中加深印象｡从它们之间的相互联系､相互转化中由点到面,由浅入深,有意识地引导｡让学生系统地归纳整理,综合概括,来揭示其内在联系和规律,起到“举三反一”､“触类旁通”的效果｡
2.转换解题视角,“嫁接”解题思想,优化数学解题策略
著名数学教育家弗赖登塔尔认为,数学实质上是人们常识的系统化,因此学生可以在教师的指导下,通过自身的实践活动来获取知识,这个过程被他称为“再创造”,也就是教师只需给学生提供素材,让学生自己去“再创造”出各种数学运算规则､规律､解题策略｡研究表明,数学学习不是一个连续过程,它必须重新组织､重新认识,有时甚至要与以前的知识和思考模式真正决裂｡所以教师在复习中尤其应当重视解题方法的更新和解题思路的必要重构｡而转换解题视角,嫁接解题思想,是优化数学解题策略的核心所在｡
上述案例中,在学生尝试根据两种不同情况,分别计算出圆柱的体积,通过比较得出圆柱的底面半径后,教师引导学生思考,这道题是不是还可以转换一下视角,用比例的知识来解答｡这一设计,让学生跳出固有解题思路的框框,引领学生从另一种视角,运用另一种全新数学解题思想解决同一个问题｡这样的探究,让学生在对三种具体的问题情境的比较､分析､思考中,掌握了隐藏在问题背后的本质,即“是什么原因导致有时圆柱的底面半径决定圆柱的体积大小,有时圆柱底面半径不能决定圆柱的体积大小”｡同时,这组经重组的“形似神离”的题目,合理运用变式和对比练习,也有效帮助学生克服了思维定势的消极影响,提高了思维的深刻性与严密性｡通过这一组题的研究,学生对“底面半径大体积就一定大吗?”这一研究专题也有了更为理性的认识｡这样的复习课,激发了学生的自主创造的潜能,改变了以往复习课中“枯燥乏味,机械练习”的消极状态,使学生的情智等诸多方面得以发展｡
3.发展元认知能力,加强自我监控与反思
我认为,复习课中,在明确问题的起始阶段,我们应当要求学生形成这样的思考习惯:这个问题与以往的某些问题相似吗?是否有所不同,还是有着根本的区别?教师要引导学生“同中求异”､“异中求同”､“异中求深”,对问题情境发生的微妙变化进行分析与辨别｡如上述案例中,均是求“圆柱的体积最大时,圆柱底面半径是多少?”但不同点在于,情境一是将长方形作为圆柱侧面积,情境二是将长方形旋转形成圆柱,情境三是将一个长方体削成最大圆柱体,这三种情境是存在本质的区别的｡同时,他们之间又有联系,情境一､二中的侧面积或底面半径与高的乘积一定,而情境三中则不存在在这样的条件｡
同时,学生在解决问题的过程中,教师要引导学生对自己的解题策略是否合理､是否可靠进行监控｡做题中要尝试思考:是不是可以换一个角度,换一种方法来解答?这样的现象背后隐藏着普遍性的规律吗?解决问题之后,反思自己是如何解决问题的,总结解决同类题的分析解读策略,及解题的一般性策略｡