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多层面把握“方程意义”的教学
作者：季国栋
设计理念：
“方程的意义”是概念的教学，数学概念不仅是局部的，而且是全局的；不仅是静态的，而且是动态的；不仅是学科的，而且是儿童的。在新课程背景下，学生概念的形成应具有更大的涵盖面、影响力和迁移性，并且通过自我理解、生成、连接，形成自己的知识系统。所以，对方程概念及其教学应从多个层面加以把握：形式层面，含有未知数的等式，这是一种静态的结论；发现层面，经历方程模式的生成过程，寻找相等关系并用方程来表示，这是一个动态的过程；直观层面，举出正例或反例；直觉层面，一种数学的意识、一种方程的感觉。这样才能形成一个有力的认知结构，其中包含知识结构、方法结构和经验结构。
教学目标：
１．经历方程模型的建构过程。
２．在自主探究的学习过程中，理解并掌握方程的意义，弄清方程与等式间的联系与区别。
３．培养学生观察、描述、分类、抽象、概括、应用等能力。
教学重点：在观察分类中建构起方程的意义。
教学难点：理解方程的意义，并正确进行判断。
教学准备：多媒体课件、式子卡片、学生书写的纸条等。
教学过程：
一、 创设情境，抽象数学式子
１．感知平衡，认识天平
(１)游戏：手指顶直尺保持平衡。
(２)说说生活中类似的现象，如果两边相等可以用数学上哪个符号来表示？
２．创设情境，抽象出式子
(１)只含有数的式子。
①看演示课件(平衡图)，写出50×2＝100和50＋50＝100。
②看演示课件(不平衡图)，写出50＜100。
③比较式子不同之处，得出“等式”概念并板书。
(２)含有未知数的式子。
①棉签重量不知引出未知数用字母表示。
②猜测：天平左盘是50克，右盘是100克，如果将棉签放入左盘会出现什么情况?
③根据不同情况写出式子。
50＋ｘ＝100 50＋ｘ＜100 50＋ｘ＞100
④课件呈现：四个月饼重400克的天平平衡画面，写出式子：4ｘ＝400。
⑤比较式子的不同之处，得出这４个式子都含有未知数，板书：含有未知数。
教学片断实录：
师：这儿有一包棉签，它的质量不知道，我们可以怎样表示?
生１：用“?”表示。
生２：用“?”表示是可以的，不过我们以前学过，可以用字母来表示。
生３：对，可以用ｘ克来表示。
师：就只能用ｘ克表示吗?
生：还可以用其他字母，比如用ｙ等等。
师：这里我们就选择ｘ克，如果我们这包棉签放入左盘，猜猜看，会出现什么情况?
生１：可能会两边相等。
生２：也可能左边轻，右边重。
生３：也可能左边重，右边轻。
根据学生回答，课件演示３种情况的画面。
师：你会用不同的式子分别来表示吗?
生：50＋ｘ＝100 50＋ｘ＜100 50＋ｘ＞100
设计意图：数学问题生活化，让学生经历现实生活到数学的提炼过程。通过天平称重的演示，让学生观察平衡与不平衡的各种生活现象，用这种生活原形帮助学生概括并理解方程的意义。这样的设计在发现层面上让学生经历从现实问题到方程概念建立的过程，体会方程是刻画现实世界的数学模型。
二、 引导分类，概括方程概念
１．提出分类要求：根据某个标准，将写出的式子进行分类。
50×2＝100 50＋50＝100 50＜100
50＋ｘ＝100 50＋ｘ＜100 50＋ｘ＞100
4x＝400
２．小组讨论，进行分类。学生利用纸条上的算式，小组进行分类，教师巡视。
３．演示分类：学生根据不同标准演示不同分类方法，说出分类标准并描述每一类式子。
４．观察分类：虽然分类方法不同，但都能分出像这样一类：50＋ｘ＝100，4ｘ＝400。
５．描述式子：50＋ｘ＝100和4ｘ＝400这一组式子有什么共同的特征呢，你能描述一下吗?
６．概括概念并完整板书：含有未知数的等式，叫方程。
７．揭示课题并板书：方程的意义。
设计意图：将知识教学延伸至数学能力培养、数学思想的渗透，并不是把知识的教学作为惟一的教学目标，而是以这一内容为切入点，适时培养学生的观察、抽象与概括能力，让学生对抽象出的各种数学式子进行分类和再分类，初步建立数学分类思想。
三、 举例辨析，体会方程本质
ｌ．举例并交流
(１)学生举例。试举２～３例，写在自己的本子上，可以模仿屏幕上的方程，最好能写出形式不一样的方程。
(２)小组内交流，看看是否写对。
(３)全班交流。
２．辨析
(１)取走黑板上不是方程的式子，并说明理由。
(２)讨论：方程必须同时具备哪些条件?
(３)小结：现在我们更加深刻地认识到，一个方程必须要同时具备(含有未知数)和(等式)两个条件，缺一不可。
(４)练习：从式子中先选出等式，再找出方程。
(５)交流从练习中获得的新的启示。
３．探究方程与等式的关系
(１)观察练习中等式与方程后面的符号，说说发现。
(２)小组讨论，把方程与等式的关系写在纸上或画在纸上。
(３)学生上前展示并说明。
(４)教师出示韦恩图，说明并总结。
(５)判断并举例说明：①方程一定是等式。②等式一定是方程。
４．课堂小结。
教学片断实录：
在等式后面画○，在方程后面画△。
(１)7－ｘ＞３ (５)8ｙ＝0 ○△
(２)18÷ｚ＝２ ○△ (６)6＋2ｘ
(３)17－8＝9 ○ (７)3ｘ＋2ｙ＝15 ○△
(４)4＋3ｘ＝10 ○△ (８)4×80＝2ｘ－60 ○△
学生先找等式，然后找方程，分别作出记号。
师：通过这几道题的学习，你对方程又有了哪些新的认识?
生１：方程中的未知数不一定只用ｘ表示，像第２题有ｚ，第７题有ｙ。
生２：从第７题中我还知道方程中的未知数不一定只有一个。
生３：方程中的未知数不一定在等号的左边，比如说第８题。
师：非常好，你们拥有数学的眼光，老师真为你们感到高兴，还有其他想法吗?
生１：其实找方程我可以更快，不需要逐条找，因为已经找出了等式，而方程必须是等式，所以只要在等式中去找就可以了。
生２：我发现三角形的前面都有圆圈。
生３：我还发现圆圈的后面有的有三角形，有的没有三角形。
师：老师就是用这些符号来暗示等式与方程之间的关系，你们能用明确的语言或图画来表示方程与等式有什么关系吗?小组内讨论进行，把你们的想法写在纸上或画在纸上。
设计意图：把数学知识转化成数学问题，让学生用自己的方式创作图画来表示方程与等式的关系，这样让学生带着问题去探索与思考，去解决问题，并在解决问题的过程中得到创造的乐趣。教学中，适时组织小组学习，不仅分解了教学的难点，更重要的是给学生提供了交流的机会与空间，让学生的思维撞击出智慧的火花，增强了学生的合作意识。充分发挥练习的作用，鼓励学生去思考与发现，不仅让练习起到巩固新知的作用，而且使练习成为生长点，产生新的想法和认识。
四、 方程史话
《九章算术》是我国著名的数学著作，在收有的246个数学问题中，方程术是最高的数学成就。它提出了方程的概念，也系统地总结了方程的解法，比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。
五、 联系实际，应用与拓展
１．看图列方程
(１)直接呈现未知数。
根据天平平衡列出方程。
根据生活场景列出方程。
(２)不呈现未知数。
２．数学套餐
自选数据和符号，组成方程。
３ｘ ２０ ２ｙ ６０
＋ － × ÷ ＝ ＜＞
教学片断实录：
师：你们组成的这么多的方程中为何“＞、＜”没用到，而每次“＝”都用到呢?
生：因为方程必须是等式，所以每次都用到等于号。
师：那又为何每道方程中“３ｘ”和“２ｙ”至少用到一个呢?
生：因为方程中必须含有未知数。
师：当然，根据这些数据与符号，还可以组成更多的方程，课后大家可以再试试。
设计意图：让学生充分感受生活中的数学和数学中的生活；在看图列方程的练习中，呈现隐含未知数的画面。以此渗透了将未知量设成未知数，为学习列方程解应用题作铺垫；“数学套餐”在直觉层面上继续培养学生一种数学的意识，一种方程的感觉，通过组成方程和回答问题进一步突出方程所具备的条件。
责任编辑：孙海燕