首页 -> 2007年第8期
用数学建模思想打开学生思路
作者：陶 锋
【教学片断】
师：为了更灵活地掌握圆的面积计算公式，请看下面的一道题，请同学们小组讨论。
1．如图1，正方形的面积是6平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？
师：你能发现圆与正方形之间的联系吗？
生：我观察到了正方形的边长就是圆的半径，如果正方形的边长用a来表示，那么a2＝6，也就是说r2＝6。
师：那么，怎样算出圆的面积呢？
生：我首先求出圆的半径：6÷2＝3（厘米）3.14×32＝28.26（平方厘米）。
师：到底对不对呢？
学生讨论、交流。
生：不对，因为r2表示两个r相乘，并不是两个r相加。所以不可以这样求解。
师：r2＝6，以我们现在的基础，求不出r，有没有其他办法求出此圆的面积？
生：根据圆面积公式S＝πr2，可以不求出r，直接把r2＝6代入公式，3.14×6＝18.84（平方厘米）。
师：多么富有创意的想法！我们能否把它提高到一种规律性的认识呢？
生：如果一个正方形，以其中的一个顶点为圆心，以正方形的边长为半径的圆的面积＝正方形的面积×3.14。
师：这位同学语言准确、简练！如果在正方形里面画一个最大的圆，怎样求圆的面积呢？（出示题2）
2．如图2，正方形的面积是20平方厘米，在正方形里面画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？
让学生先与习题1比较，再讨论交流。
师：能否转化成我们刚才做过的题目。
生：连接圆与正方形的相对的交点。（教师作辅助线）
生：那小正方形的面积是大正方形的面积的 。20× ＝5（平方厘米）；
3.14×5＝15.7（平方厘米）
师：真不错！如果在圆里面画一个最大的正方形，已知正方形的面积，那么圆的面积又怎么求呢？请同学们自主探究这一道题。（出示题3）
3．如图3，正方形的顶点都在圆上。正方形的面积是10平方厘米，这个圆的面积是多少平方厘米？
师：你是如何转化的？
生：连接正方形的两条对角线，将正方形分成四个相等的等腰直角三角形。两个等腰直角三角形可以拼成一个边长为r的小正方形。（教师作辅助线）
师：如何计算呢？很明显，小正方形的面积是大正方形的面积的 。
小正方形的面积为10× ＝5（平方厘米），圆的面积为3.14×5＝15.7（平方厘米）
师：反思这两道题的解题方法，你有什么收获？
生：我们解题时要学会联想，看能否可以用已学过方法或规律来解决。
师：回答得真深刻！其实这位同学道出了一个重要的解决问题的数学思想——数学建模。已学过的规律或方法就是模型，将遇到的新问题与已学过的数学模型建立联系，然后用模型求解，这是一种很好的解决问题策略。
【案例透视与反思】
在习题1的讲解中，教师并不仅仅满足于得出答案，而是进一步挖掘，让学生找出此圆与正方形的内在联系，即建立此问题的数学模型。案例中，为了让数学模型得到及时的应用和巩固，又出了两道变式题。这两道变式题原本分散在教材与练习册中，教师将其集中在一起形成序列进行教学，目的是引导学生能够运用一定的数学思想来解题，从而提高学生解决问题的能力，让学生不仅知道题目的解法，还能领悟和运用解题时所反映和蕴含的数学建模思想。
一、 数学建模是数学训练的应有之义
受应试教育的影响，数学教育存在重记忆轻理解、重知识轻方法、重理论轻应用的问题，学生进行大量机械重复的练习，以期望达到“熟能生巧”的境界。而事实上学生数学思维能力没有多大的提高。机械的训练之所以未达到提高数学能力这一目标，是因为训练中缺乏建模数学思想方法的渗透。研究表明，数学训练可以分为三个层次。第一层是“知识堆积”与“解题术”式的。它看的见，摸得着，易操作，易复制，但功能性弱，应用面窄。第二层是“思维方法”和“解题方法”式的。它与前一层比，程序性弱，不易复制，但功能性更强，应用面宽。第三层是“数学思想”与“数学观念”式的。它虽然抽象，程序性更弱，但功能性强，它是对其他两个层次的指导和引领。所以，在数学教学中要科学地、有层次地设计练习，让提炼数学思想方法，构建数学模型成为习题训练的应有之义。
二、 习题训练中如何引领学生进行数学建模
用数学模型解决问题，最关键的一步是建立适合问题的数学模型，简称数学建模。下面结合本案例，谈谈数学建模的方法与步骤。第一步，弄清实际问题。包括了解问题的实际背景知识，从中提取有关的信息，明确要达到的目的。在解决习题2之前，学生已有了有关圆与正方形的方法模型，具有了让学生知识迁移的基础。第二步，根据问题的特点和目的，作出某些合理的假设，舍弃一些次要因素，从而使问题得以化简。习题2也是正方形与圆的关系，不过是圆与正方形的位置有了变化。根据问题的特点，我们猜想与尝试这题能否转化为第一题的模型。第三步，建模。在假设的基础上，抓住主要因素和有关量之间的关系进行抽象概括，建立起相应的数学结构。学生通过尝试作辅助线，结果转化成了习题1所建构的模型。第四步，在所建模型的基础上进行推理或演算，求出问题的结果。学生通过题目中正方形与模型中的正方形的关系很快地求出了答案。在学生做第三题时，由扶到放，让学生自主探究，学生很快地完成了建模，水到渠成地解决了问题。纵观整个教学过程，模型方法的渗透做到了有步骤、有计划的层层铺垫与孕育，使学生经历了对问题进行抽象——建立数学模型——利用模型原理——应用数学模型的全过程。
三、 数学建模是一个有序推进、不断深化的过程
我们必须认识到，学生学习数学建模方法需要经历一个长期的、不断积累经验、不断深化的过程。需要教师在数学教学的实践中结合数学知识的教学反复渗透建模方法，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，重视数学模型的应用，引导学生用数学模型来描述身边的自然现象和社会现象。当然，要使学生能灵活应用数学建模的方法解决问题，不可能通过一节课或一两个例题的讲述就能完成，需要教师有计划、有步骤的分步实施，才能收到水到渠成的效果。
责任编辑：陈国庆
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