首页 -> 2007年第10期
巧用“专题探究”引领学生数学地思维
作者：王志南
题1：如果一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积一共是48立方厘米，那么圆锥的体积是（）立方厘米。已知圆锥的底面积是9平方厘米，那么它的高是（）厘米。
题2：把一个底面积45平方分米，高7分米的圆柱体钢块，铸成一个圆锥体零件，这个零件的体积是（）立方分米。已知这个零件的高是9分米，那么它的底面积是（）平方分米。
在我所任教的班级中，学生第1题的得分率为92%，第2题的得分率仅为28%。两道难度相仿的题，为什么会出现这么大的差别呢？于是我决定调查了解第2题错误的同学是如何思考和解决这道题的？对题意的理解存在着怎样的错误？调查的结果如下：
生1：在学习圆锥体积计算的时候，老师强调用“底面积乘以高”后一定要除以3或者乘■，所以我用45×7÷3来求这个圆锥的体积。因为圆锥的体积算错了，所以这个圆锥的底面积也求错了。
生2：这个题中圆锥的体积为什么不需要除以3，我感觉还是很困惑，为什么计算圆锥体积有时候要除以3，有时候又不要除以3，还是分不清。
生3：我在理解这道题题意的时候，把这个圆柱和圆锥看成了等底等高的圆锥与圆柱，所以我就用45×7÷3来求这个圆锥的体积了。结果发现自己错了，它们并不是等底等高的。
这一调查的结果让我豁然开朗，学生对自己解题失误的反思更让我察觉这一失误并非偶然，学生在解决类似的问题中具有一定的普遍性，而且这一“群体性”的失误也让我对这一失误提高了警惕，试图“透过现象发现本质”，分析其内在的更为深刻的原因，从而提出改进教学的有效策略。通过分析，我们不难发现，这一道题的“群体性“失误反映了教师的教学过程中存在这样一些问题：
1.片面强调解题方法的“模式化”，限制了学生的思维能力
在应用圆锥体积公式求体积时，教师常常会提醒学生乘1/3或者除以3，事实上，这也确实是学生解决“已知圆锥底面积（或者底面半径、直径）和高，求圆锥体积”时容易出现的错误。但这一教师原本善意的提醒，但经过不断的练习强化后，学生就产生了“凡是求圆锥体积就要乘1/3或者除以3”的不良思维定势。
2.教师忽视了学生“文本解读”与分析能力的培养
练习中，学生对“圆柱体钢块熔铸成圆锥体零件”这一问题情境中圆柱与圆锥之间量的关系并没有深刻的认识，或者说学生并没有能理解题意。对问题情境的错误解读与解读偏差导致了学生在解决问题时，机械、僵化地套用公式。归根结底，反映了学生根据实际情况分析问题的思维能力的缺乏，也反映了教师在这方面的思维训练的不足。
《数学课程标准》（实验稿）指出：“数学是人们对客观世界的定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”笔者以为，要让学生真正理解题2问题情境中圆柱与圆锥之间量的关系，仅仅依靠教师的讲解、分析是不够的，还需要提高学生的“文本解读”能力，即思考这个问题中数量之间的关系；还需要提高学生应变能力，即学会分析思考稍有变化的实际问题情境。而这些，可以通过“专题探究”来实现，让学生在“专题探究”中学会分析、辨别、思考，自主探究。于是我设计了如下教学片断：
专题探究：圆锥的体积怎样求？
教师出示专题探究问题情境，让学生小组合作，思考三个问题情境中圆锥体积与圆柱的关系，尝试解决问题。
问题情境一：一个装满水的圆柱形容器，底面直径8厘米，高是3厘米，若把容器中的水倒入一个底面直径6厘米的圆锥形容器中，正好倒满，水深多少厘米？
问题情境二：一个底面半径为10厘米的圆柱形水桶中装有水，把一个半径5厘米的圆锥形铅锥浸没在水中后，水面上升1厘米，铅锥的高是多少厘米？
问题情境三：一个圆柱形铁块，底面直径6厘米，高30厘米。把它熔铸成一个圆锥体，圆锥体的高是10厘米，它的底面积是多少平方厘米？
通过专题探究，学生发现，情境一与情境三中圆锥的体积与圆柱的体积是相等的，求出圆柱的体积也就求出了圆锥的体积；情境二中的圆锥的体积等于圆柱形容器中上升的水的体积，求出上升的水的体积也就求出了圆锥的体积。进而学生发现并不是求圆锥的体积都需要除以3，解题时要理解问题情境的本质所在。
上述的这些具体的问题情境虽然在形式上各不相同，但在本质上却有一点是相同的，即圆锥的体积均不是用圆锥的底面积×高÷3直接进行计算的，而是通过计算与圆锥等体积的物体体积来间接计算的。情境一与情境三都是“形状改变，体积不变”，情境二中圆锥的体积等于圆柱中水上升的体积。笔者以为，在运用专题探究，引领学生数学地思维的过程中，教师要努力做到以下两点：
1.设计“专题探究”情境，剖析情境中的数学本质
研究表明，重复的机械性训练会形成思维定势，影响学生的思考力，影响学生对不同的问题情境的理解。如果教师只依靠模仿性练习让学生“记住”知识，而非推进认知结构，就会将数学肢解成零散的小步骤来训练，活生生的数学思想就被完全割裂，不复存在。而数学专题探究的优点在于，通过创设一组有联系的问题情境，引导学生进行比较、辨别，找出情境间内在的联系，从而找出这一类问题的内部表征，进而引领学生在经历问题研究的过程中理解数学情境的本质结构。
研究中我们发现，由于教师在教学“圆锥体积的计算”时刻意地强调除以3，导致学生的解题思维僵化，狭窄，所以专题探究的作用还在于，通过这一组习题训练学生思维的广度与灵活性，提高学生思维的深刻性，从而提高学生思维品质。
2.如何通过“专题探究”引领学生数学地思维
教学中，教师需要通过必要的训练使学生积累一定数量的解题“模式”，但更需要引导学生掌握一类问题的内部表征，引导学生思考时直逼问题的“数学内核”，这是学生解决问题的关键。学生如果没有这些知识储备，就很难对问题进行分析、抽取特征加以合并，很难真正地学会解决问题。
专题探究中，教师要引导学生正确地解读问题情境，分析问题情境中数量之间的联系，提高学生解读数学问题情境的能力。如上述案例中，引导学生思考，圆锥的体积与已知的圆柱有怎样的关系？从而发现这里的圆锥体积并不是直接求出来的，而是通过它与圆柱之间的关系间接求解的。同时，教师要引导学生对不同呈现形态的问题情境进行比较，进而发现问题结构的异同。教师还要引导学生反思解题过程，思考这些看上去并无联系的情境背后是否隐藏着某种普遍的理论？这些事实能否被纳入某一个统一的数学结构？从而积累解决问题的经验，获得解题的策略、技巧、思想方法，进而形成解决这一类问题的解题模型。
责任编辑：陈国庆