首页 -> 2008年第1期
在“多层次探究”中感悟数学思想方法
作者：张锁荣 蒋明玉
一、 案例
如图1，图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
由于参加兴趣小组的学生都有相当好的数学基础，思维也比较活跃，我就放手让学生从不同角度去看图，然后再组织大家进行交流活动：
宁宁说：“从整体上看图1，S阴=S正方形AEBG+S梯形AEFC－S△ABG－S△BFC=6×6+（4+6）×4÷2－6×6÷2－（4+6）×4÷2=18（平方厘米）。”
帅帅接着说：“假如换一个观察角度，从局部看图1，又可以得到S阴=S△ABE+S梯形AEFC－S△BFC=6×6÷2+（4+6）×4÷2－（4+6）×4÷2=18（平方厘米）。”
师：“同学们，能够变换观察角度很好，能不能再把原来的图形作适当转化呢？”
平时爱动脑筋的东东想了想，说：“如果将图形这样转化，还可以得到其它的解法。比如，分别延长GA和FC相交于H点，得到一个大长方形，如图2。第1种解法是：从整体上看，S阴=S长方形GBFH－S△ABG－S△BFC－S△AHC=（6+4）×6－6×6÷2－（4+6）×4÷2－（6－4）×4÷2=18（平方厘米）；第2种解法是：从局部看图2，S阴=S梯形GBCH－S△ABG－S△AHC=〔（6－4）+6〕×（4+6）÷2－6×6÷2－（6－4）×4÷2=18（平方厘米）。”
在图形转化之后，大家都议论纷纷，思维一下子又开阔起来了。受了东东解法的启发，慧慧也补充说：“从局部看图2，S阴=S梯形AHFB－S△AHC－S△BFC=〔4+（6+4）〕×6÷2－（6－4）×4÷2－（4+6）×4÷2=18（平方厘米）。”
师：“从多角度观察图形的方法便于我们在图形联系中寻找解决问题的突破口。上面的解法都是利用‘整体减去部分’的思路来求得。能不能直接去求阴影部分的面积呢？”
宁宁在图上画了画，十分高兴地说：“直接观察阴影部分，连接BD，将三角形ABC分成三个三角形，如图3。S阴=S△ADB+S△ADC+S△BDC=（6－4）×6÷2+（6－4）×4÷2+4×4÷2=18（平方厘米）”。
帅帅也不甘示弱地说：“如图4，延长CD与AB相交于H，将阴影部分分成两个三角形，即三角形ACH和三角形BCH。因为三角形ABE是等腰直角三角形，所以∠DAH=45°，因此∠AHD=45°，即三角形ADH是等腰直角三角形。所以，AD=DH=2厘米，HC=CD+DH=4+2=6（厘米）。S阴=S△ACH+S△BHC=6×2÷2+6×4÷2=18（平方厘米）。”
正当我要表扬该位学生的时候，一位平时不善多言的姚磊却急着说：“老师，通过刚才的讨论，我发现阴影部分面积是18平方厘米，阴影部分面积可能就是大正方形面积的一半。”
面对这突如其来的猜想，热闹的课堂上又一下静了下来。
师：“同学们，想一想，刚才姚磊的猜想对不对呢？”
不一会儿，帅帅说：“我们可以将所求阴影部分合理转化，如图1，由于S△BFC=（4+6）×4÷2，S梯形AEFC=（4+6）×4÷2。不难发现，两者面积相等。所以，两者同时去掉公共部分IEFC，余下部分的面积应该相等。即S△AIC=S△BEI。所以，所求的阴影部分就是S△ABE的面积，即S阴=S△ABE=6×6÷2=18（平方厘米）”
“对呀，阴影部分的面积实际上就等于三角形ABE的面积，想不到图形转化的作用可真大啊！”东东十分激动地说。
师：“在面积计算教学中，不仅要从不同角度去看图、思考，而且要运用不同的策略与方法加以转化，合理灵活地进行图形变换。”
看着同学们这么爱观察、爱思考，为了使学生的探究热情能够继续发展下去，获得更大的提高。我又将原例题改为图5和图6，这样对原题作了进一步拓展：求阴影部分的面积，让同学们来练一练！
师：“通过计算，你能发现了什么规律？”
帅帅说：“我发现以上两题中右边的正方形的边长‘变’了，但是所求阴影部分的面积却是‘不变’的。”
宁宁也抢着说：“我发现有这样的规律：不论小正方形的边长是多少，图中阴影部分的面积总是大正方形面积的一半。”
我听了大家的回答很满意，最后就将大小两个正方形反过来，作为该题的深化。如图7，让大家独立思考，学生都发现了阴影部分面积就是 a2。
我最后总结说：“在面积计算中，获得多种解法之后，同学们要加强比较，从中去探索并获得巧妙的、富有创造性的方法，努力提升思考的层次。”
二、 反思
1.在面积计算教学中，我们要引导学生改变不同的观察角度，使学生逐步学会多角度地观察图形；要引导学生对图形进行合理的补图、分割与转化，灵活地进行图形变换。从上例可以看出，合理而灵活地转换观察角度，往往可以使学生能够在数形结合处寻找解决问题的突破口。同时，多角度的观察便于弄清图形间的相互联系，甚至还可以发现图形中的隐含条件。从上面案例中姚磊同学的猜想与验证过程可以看到，“多角度观察图形”为我们获取巧解提供了重要的条件。教学中要经常引导学生对图形从不同角度去分、补、拼、移、折等，合理进行变换图形，从中获得不同的解题思路与方法。在全方位、多角度、多侧面的图形变换中，把握图形之间的相互联系，从中培养学生的观察能力、想象能力和初步的推理能力等。
2.面积计算教学中，教师不能“就题论题”，而应当注意运用“一题多解、一题多变、一题多用、一题多思”的教学策略，发挥多种教学功能。具体来说，应该以“变化”为主线，在“习题多解、题目变化、功能发挥”上下功夫；应该以“比较”为基点，加强对比分析，同中求异，异中求同，将学生的思维逐步引向深入。同时，还要努力提升学生数学思考的水平，合理拓展与延伸，从中引导学生去探索并获得巧妙的、富有创造性的方法，逐步地培养学生“多中选优”的意识。
3．突出“化归思想”这个核心，不断将学生的思维引向深入，在经历解决问题的过程中领悟转化等数学思想方法，培养学生的“化归观念”，使“化归思想”贯穿于问题解决的全过程。
日本著名数学教育家米山国藏指出，学生对“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使它们终身受益”。以上案例，通过灵活运用“一题多解、一题多变、一题多思”等策略，使学生由“多解”到“多思”层面发展，由“多思”到“巧解”层面拓展，由“巧解”到“创造”层面深化，在“变”与“不变”中引导学生积极探索、发现并运用规律。引导学生在解决问题的过程中运用“化归”思想方法，尝试运用化繁为简、化难为易等思考策略，培养和增强学生的“化归”意识，逐步学会正确的思维方法。在解决问题的过程中，学生对图形进行观察、比较、归纳或探索，看到了知识蕴涵的思想方法，在“多层次探究”过程中感悟了这些数学思想方法。
责任编辑：陈国庆
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