首页 -> 2008年第3期
数学学习应突现探究过程的科学性
作者：费岭峰 胡 娟
“误差”，无法回避的现实
引导学生通过“度量”各个角的度数，然后加起来，从而认识到“三角形的内角和是180°”是教学这节内容常用的组织教学策略。在操作时，由于操作工具及学习材料之间的差异，总会出现“误差”，得不到“180°”这个结果。请看下面一个例子。
教师呈现两个直角三形（如下），然后创设情境：有两个直角三角形，它们都认为自己的内角和大。小朋友，请你们来评判一下，他们说得对不对？
气氛被调动起来后，教师请学生动手操作，量一量到底三角形的内角和是不是180°。这一量问题出来了：
第一位学生量得三个角的度数分别是52°、38°和90°。师生共同计算得：52＋38＋90＝180°。
第二位学生量得三个角的度数分别是67°、25°和91°，内角和是183°。
第三位学生量得三个角的度数分别是68°、24°和90°，内角和是182°。
学生纷纷表示三个角的度数加起来不一定是180度。此时教师有点急了，他亲自出马去量了。终于量得三个角的度数分别是68°、22°和90°，和是180°。结果虽然得到了，但仍然有一些学生对这个结果不太服气，在那里小声议论。
“度量”时出现的误差，教师是不是通过亲手操作加以校正就可以了呢？或者告诉学生这是操作产生的“误差”就可以了呢？显然，事情并不那么简单。那么，作为一次操作活动，我们又该赋予“度量”以怎样的目标定位呢？经过深入思考，我们认为，“度量”作为探究三角形内角和引入环节的操作活动，其价值更应该体现在以下三个方面：首先，“度量”顺应了学生的认知经验，因为在学生经验中，研究角的度数问题，用量角器“量”是最为常用的方法；其次，“度量”确实可以帮助学生初步感知三角形的内角和大约是180度；第三，“度量”因为有误差，可以引导学生对原有的结论产生质疑，促使学生生成进一步研究的欲望，为导出另外的验证方法提供可能。
基于以上思考，“度量”的目标定位不应该仅仅停留于“量”的水平。教师完全不必因为“量”产生了误差，而急于帮助学生去校正，得到“正确”结果。“度量”应该把“量”作为引子，作为产生问题的手段，引导学生展开思维，寻找更为科学严谨的“验证”方式。
寻找科学的“验证”方式
从教材编写的情况来看，编写者对“度量”的目标定位还是比较清晰的。“人教版”教材在这节内容的编写中安排了两个活动：“度量”和“剪拼”。“度量”作为引导学生初步感知“三角形的内角和大约是180度”的操作活动安排在前。然后提出用“剪拼”的方法进行验证：把一个三角形的三个角撕开后，拼在一起组成一个平角，由此证明：“三个内角的度数和是180°。”在教学实践中，只要给予学生足够的时间和相应的思维空间，学生是有想到和做到的可能。
然而课后，我们对这一操作活动再次进行了深入思考，认为这种教学策略并不是验证“三角形内角和等于180度”的最好方式。这样的操作活动，在肯定它科学性的同时，其可行性到底有多大？在教师没有提示的情况下，到底有多少学生能够想到？操作过程是否会受到操作材料及操作能力等因素的影响同样产生误差？另外，这样的操作活动，目标比较单一，数学思维的含量也不高。那么，有没有一种方式，既能合理地验证出“三角形内角和等于180°”，又能有效调动学生的认知经验，丰富学生的思维活动，提升学生的思维水平呢？在查阅了一定的资料后，我们觉得以下实验活动在探究“三角形内角和等于180度”时，具有比较强的逻辑性，可以作为论证“三角形内角和等于180°”的主要方式。
实验过程简述：
长方形的四个角都是直角，即可知长方形的内角和等于360°。（这是学生已有的知识经验）于是，引导学生把一个长方形剪成两个完全一样的直角三角形，得到每个直角三角形的内角和等于180°。得到直角三角形的内角和等于180°这个结论后，再来验证锐角三角形、钝角三角形的内角和也就有论证的依据了。在锐角三角形的任意一条边上作高，即可分成两个直角三角形，两个直角三角形的内角和等于360°，然后减去两个直角的度数，就得出锐角三角形原来的三个内角的和是180°了。同理可以在钝角三角形中进行论证。
通过反复研讨与深入思考后，我们尝试着把这样的理解落实到实践过程中。
当学生在“度量”中出现误差后，教师适当加以引导：在验证直角三角形的内角和是不是180度时，我们能不能从长方形来考虑呢？结合媒体展示验证的过程：
得出第一个结论：直角三角形的内角和等于180°。
接着研究锐角三角形和钝角三角形的内角和。通过交流引导，最终有了以下方法：
一位学生说明锐角三角形内角和的推导方法：我画的这条线段是这个锐角三角形一条边上的高，这条高把这个锐角三角形分成两个直角三角形。每个直角三角形内角和是180°，两个就是360°。因为有两个直角，去掉两个90°，分成的这两个直角三角形的四个锐角加起来是180°，这四个锐角相加正好是原来锐角三角形的内角和。
于是得出第二个结论：锐角三角形的内角和也是180°。
此时学生很容易就想到钝角三角形内角和的推导方法了。有学生介绍：我也画出一条边上的高，把钝角三角形分成两个直角三角形，也可以用刚才的方法来说明钝角三角形的内角和是180°。
结论：钝角三角形的内角和也等于180°。
钝角三角形、锐角三角形的内角和都是180°。
最后得出：三角形的内角和是180°。
实践后的再思考
综观以上三种验证“三角形内角和等于180°”的方法，在课堂教学中各自扮演着不同的角色，起到不同的作用。“度量”是浅层次的，是学生原有经验的激发与修正。在“度量”时产生误差，不能说明操作实验的成功与否。“剪拼”作为一种验证的方式，在实际教学中，学生可能用“折”来代替。“剪拼”或“折”的方法来验证三角形内角和是否等于180°，是小学数学直观几何的典型体现，在小学阶段有着积极的意义。它既是学生直观经验积累所必须经历的，同时也是小学生数学学习特点的典型体现。但动手操作时，毕竟受到操作材料和操作能力的限制，有时会产生误差，给学生的认识带来一定的障碍。因此，在组织过程中教师必须作好充分的准备，以备及时调整策略，改进方法，体现操作活动的科学性。推理验证则是数学论证的基本方式，不但在培养学生逻辑推理能力过程中有着重要的作用，而且更有利于学生了解规律或性质的形成过程，把握数学知识的真正内涵。三种方式中，推理验证的方式也最具科学性和数学味，它既能有效达成“通过一系列的实验、操作活动，让学生推理归纳出三角形的内角和是180°”这一教学目标，又有利于教师在关注到结论正确的同时，也能顾及到学习过程的“正确”。
参考文献
[1]罗星凯. 有理的科学知识被无理的“验证”.人民教育，2007（7）:36.
[2] 课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心编著.义务教育课程标准实验教科书数学四年级下册教师教学用书.北京：人民教育出版社，2004.
[3] 曹飞羽等编.小学数学基础理论和教法.北京：人民教育出版社，1984.