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教学留“痕”：有效课堂的永恒诉求
作者：魏光明 刘正松
“过程缺位”：小学数学课堂教学的尴尬遭遇
为了考查“圆的面积计算”过程性教学目标的落实情况，笔者编拟了如下数学问题：
把一个圆形纸片平均分成若干份，沿半径剪开后拼成一个宽等于半径，面积不变的近似于长方形的图形。如果这个长方形的长是6.28厘米，圆形纸片的面积是多少平方厘米？
结果发现，在解决上述问题时，不同班级的学生差异明显，不少学生感觉困难，甚至出现各式各样的错误。像这样的例子不胜枚举。这从一个侧面反映了当前小学数学课堂教学依然存在“过程缺位”的问题。
当前，虽然多数教师已经认识到，数学学习应该重视学生自主探究、主动建构知识的过程。但是，他们比较熟悉或者能够把握的仍然是“看得见、摸得着”的知识技能目标，如让学生学会一种运算，能解一类方程，知道一个性质，对于需要学生亲身经历才能实现的过程性目标，则普遍感觉摸不着边际，认为学生什么“实质性”的东西也没有学到。
受这种思想的左右，不少教师弱化、压缩甚至削减了知识形成的过程。大抵有这样三种表现：
其一，过程被削减。对于基础知识、基本原理的教学，教师通常三言两语一笔带过，或者先为学生规定详细的解题程序，然后通过强化训练，促使学生快速地熟悉相关的知识与技能。这样教学，学生常常是知其然而不知其所以然。
其二，过程表面化。课堂中，“过程”由教师直接讲授或演示，学生的学习由原先的“听结果”、“看结果”变成了现在的“听过程”、“看过程”。“过程”在这里仅仅停留于字面意义而已，学生的学习更多的依然是依赖于记忆。
其三，过程不到位。教学中，忽视引导学生积累必要的数学活动经验，体验知识背后所蕴含的数学思想方法，这样的学习终究是肤浅的。
众所周知，数学教材承载的是数学知识的逻辑体系，而诸如数学对象的抽象过程、数学思维的活动过程等内容则基本上被掩盖或省略了。如果我们仅是照本宣科，不引导学生亲身经历知识的发生、形成和发展过程，他们获得的与知识内涵、外延密切相关的信息量就会被大大削减，从而出现知觉不准、分类不清、联系贫乏、记忆痕迹模糊等问题，其结果必然会降低学习的质量，影响知识理解的深刻程度和洞察错误的敏锐程度，甚至在解决问题时遭遇困难。
教学留“痕”：提高课堂教学质量的应然选择
为彻底改变这种现状，我们应该对每一个教学环节都精心预设，以充分引领学生真正经历知识的发生、形成和发展过程，促使学生的学习不断走向深入。
一、 联系具体情境导入，丰富学生背景性经验
学生对知识的记忆，是从开始比较多的依赖于情境逐渐转变为语义记忆的，且信息编码方式对信息的提取具有很大影响。失去丰富而具体的情境依托，知识的记忆就会变成对字面定义的死记硬背，知识的回忆和应用必然会产生困难。反之，一旦获得具体情境的支持，知识就变得直观易懂，使人更易于洞察其本质。
以国标本苏教版六年级上册《用替换的策略解决问题》一课为例：曹冲称象的故事学生都很熟悉，教师可以巧妙地将这一资源引入课堂，在课前播放《曹冲称象》的录像让学生欣赏，用学生感兴趣的小故事导入新课，让学生初步感受到用替代策略解决实际问题的优越性，促使学生在课始就迅速参与到知识的探究过程中。这样，曹冲称象这一生动、形象、具体的情境，无疑会成为“替换”策略这一知识认知图式中的重要成分，因而更有利于学生提取这一策略，促进与之相关的数学问题顺利解决。
从这个意义上说，我们应该为学生提供必需的知识背景以及与所学知识密切相关的具体情境，并利用背景的关联性、一致性和情境的生动性、具体性，促进学生获得丰富的背景性经验，进而在自主探究和主动建构的基础上进行有意义的记忆与理解。对于知识的记忆，教师应该引导学生学会情境记忆和语义记忆并重，即使学生随着年级的升高而偏重语义记忆，也应该在对情境不断抽象和概括的基础上进行，使情境成为学生数学学习“回忆链”的“中间站”。
二、 展开知识形成过程，引领学生深层次理解
课堂教学主要是通过师生语言交流展开的，但是，如果只从语言的单一角度去组织和表征信息，学生获得的知识不仅抽象、难懂，还会因为联想强度不足而失去提取该知识的能量，导致回忆失败甚至产生遗忘。因而，在日常教学中，我们应追寻教学的起点，追问知识的本原，借助一切直观教学手段，把复杂的数学问题变得简单明了，形象易懂。
1.重视几何直观
数学教学尤其是小学数学教学需要注重学生空间与几何的经验、感觉的积累，适度加强几何直观的教学手段。我们可以改进数学信息的加工方式，采用数形结合、数与形象相互表示的方法对抽象的数学知识进行编码，为学生提供从多个角度、用不同方法进行信息编码的机会，从而使数学知识所具有的双重表象作用得到充分发挥，在语言记忆和视觉记忆同步作用的基础上，增加学生对数学知识长时记忆痕迹的强度，以利于信息正确且顺利地提取。
显而易见，在这里关于圆形的平均分割已经融进“几分之一”的认知图式之中，因而，学生可以轻松认识几分之一，学会几分之一的大小比较，有效促进对该知识的记忆和提取。可以预见，长期坚持这样教学，必然会促进学生顺利解决与之相关的各种数学问题。需要注意的是，几何直观不仅在“图形与几何”领域知识的学习中发挥着不可替代的作用，“数与代数”中数的认识、数的表示、数的大小、数的运算、数量的估计等都离不开几何直观；“统计与概率”里描绘统计图表也离不开几何直观；“综合与实践”更需要借助几何直观经历分析问题和解决问题的全过程。可以这么说，几何直观理应贯穿在整个数学学习过程之中，成为学生学习知识的重要支架之一。
2.提供丰富变式
研究表明，学生借助单一的、复制性的背景获得的“标准样式”知识缺少活力，一旦背景发生变化，知识的表征和问题的解决就会产生困难，进而影响学生思维能力的发展和学习质量的提高。从这个意义上说，要使学生深刻理解知识，并不是要让他们学习更多、更难的内容，而是要让他们掌握知识本质特征的不同表述方式，即能够用等值语言对信息进行编码，对同一数学对象给出不同的表示，建立起知识的多元联系，并在背景变化中应用数学知识，促进学生对已有知识的理解进行修正。
这里以《三角形面积计算》教学为例：当学生初步理解和掌握三角形面积计算公式及其推导过程之后，教师除了要组织学生利用公式去计算不同类型三角形面积之外，还需要组织学生进行变式训练。如提供类似“一个三角形的底是6厘米，面积是24平方厘米。它的高是多少厘米？”这样需要学生逆向思考的问题，让学生学会从不同角度思考解决问题的策略，从而在应用中深化对三角形面积计算公式及其推导过程的理解。
从这个角度说，教学中应该巧妙改变数学研究对象的形状、大小、方向等非本质属性，为学生提供凸现知识本质属性的丰富变式，促进学生对知识形成多角度的理解，增强他们数学思维的灵活性与可逆性，从而使他们在面临问题时能够更加容易地激活知识，顺利地解决问题。
三、 注重思想方法挖掘，促进学生可持续发展
我们知道，数学思想方法是数学认知结构中最积极最活跃的因素。教学中，如果只注重通过机械强化手段让学生记忆“结果”，而没有引导学生理解形成“结果”的“过程”，没有引导学生体验和掌握数学思想方法，就会导致学生数学知识网络的结构功能差，信息联系的渠道不畅，知识的提取困难。在这里，数学思想方法就是重要的信息提取线索，数学知识的形成过程就是重要的信息记忆和提取通道。只有真正掌握了数学思想方法，充分经历了数学知识的形成过程，数学知识的理解和掌握才能水到渠成，数学知识的应用才会得心应手。
仔细品味上述案例，我们可以发现，支撑学生发现“整数除以分数”计算方法的最重要因素是恰到好处地应用了转化的策略。这就告诉我们，经过小学阶段潜移默化的熏陶，许多重要的数学思想方法完全可以内化为学生的素质。笔者以为，数学教学强调“过程性”，其核心就是强调数学教学过程的思想性，使学生能够在数学思想方法的引领下有高度的思维参与，从而经历实质性的数学思维过程。对此，我们应该引导学生自主探究数学活动，主动建构数学知识，而不应把现有的思维成果强加给他们，更不应组织大量的机械训练和死记硬背，从而让他们在建构知识的过程中感悟、体验、理解和掌握数学思想方法。
参考文献
[1] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学.北京：北京师范大学出版社，2006（6）.
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