首页 -> 2008年第5期

小学数学教材中数学思想方法的探究

作者：蔡凌燕

　　整个小学数学教材中贯穿着两条主线，一是写进教材的最基础的数学知识，它是明线。另一条是数学能力的培养和数学思想方法的渗透，是暗线，较少或没有直接写进教材，但对小学生的成长却十分重要。两条线应在课堂教学中并进，无形的数学思想在有形的数学知识中贯穿始终。而在小学数学教学中，数学思想方法的教学难以规范有序地实施，成为被人遗忘、冷落的“角落”。淡化或忽视数学思想方法的教学，不仅不利于学生把握数学学科的基本结构，而且影响其能力的发展和数学素质的提高。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角。所以，我们应该有选择地渗透一些数学思想方法。在小学阶段主要的思想方法包括：转化思想、符号化思想、分类思想、集合思想……现结合人教版教材试举一二例。
　　
　　一、 转化思想方法
　　
　　转化是解决问题的一种最基本的思想方法，通过转化达到化难为易、化新为旧、化繁为简、化整为零、化曲为直的目的。整数、小数、分数、百分数可以相互转化，加与减、乘与除可以相互转化，几何形体也可以互相转化。如一位老师在讲授人教版五年级上册的《小数乘整数》时，教学的基准点就是让学生通过“把小数乘整数”转化为“整数乘整数”，不仅使学生理解了算理感受了算法，同时也感受了“转化”的策略对于解决新问题的作用。再比如分数除法的教学，让学生知道分数除法应转化为分数乘法进行计算；按比例分配应用题转化为分数应用题解答；在三角形的面积计算公式推导时，转化为与它等底等高的平行四边形。
　　
　　二、 符号化思想方法
　　
　　用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号化思想方法。小学教材中大致出现如下几类符号：1.个体符号：表示数的符号，如：1、2、3、4…a、b、c…以及表示小数、分数、百分数的符号。2.数的运算符号：+、—、×、÷等。3.关系符号：=，≈，>，<，≠等。4.结合符号：（），〔 〕等。此外还有表示角度的计量单位符号和表示竖式运算的分隔符号等。可以这样说：只要是在学习数学，就要接触符号。符号化思想在数学学习中是无处不在的。
　　
　　三、 分类思想方法
　　
　　数学中每一个概念都有其特有的本质特征，它又是按照一定的规律扩展变化的，要正确认识这些概念，就需要具体的概念依据、具体的标准、具体的分析，这就是数学的分类思想方法。一般我们分类时要求满足互斥、无遗漏、最简便的原则。人教版教材中，一年级上册教材就对学生进行了分类思想方法的渗透：让学生对学习用品、生活用品、动物、人物、瓜果等“生活化”的物品根据一定的标准进行分类，进而提升到对图形的分类。又如四年级下册教材对三角形的分类，既可按角分，也可按边分，根据不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。
　　
　　四、 函数思想方法
　　
　　在低年级对学生渗透一一对应的思想。如一年级上册教材中《谁比谁多几？》（图1、图2）这样的比较非常直观，同时渗透函数的思想方法。
　　再如一年级下册教材中有一道习题（图3），也很好地渗透了一一对应的思想。
　　
　　五、 集合思想方法
　　
　　所谓集合思想，就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。如一年级上册教材中的一幅图（图4）在这里把6个小朋友看成一个整体，也就是一个集合，然后把每个小朋友抽象成一个小点，6个小朋友就有6个点，也就是说一样的点有6个，即意味着集合的元素有6个。这里就渗透了集合的思想。
　　
　　六、 无限思想
　　
　　古代数学家刘徽的“割圆术”就是利用无限思想来求得圆的周长的。在人教版四年级上册教材中，对自然数的描述“表示物体个数的1、2、3、4、5、6……都是自然数”；“最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。”第一次出现了“无限”这个词。在同一册教材中，对直线、射线的教学，向学生强调了“只有一个端点或没有端点可以向一端或两端无限延长”。再如四年级下册教材中“小数的计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……”，“大于0.1而小于0.2的小数有无数个”等，无一不是对学生进行无限思想的渗透。
　　
　　七、 数形结合思想
　　
　　著名数学家华罗庚先生说：“数无形时不直观，形无数时难入微。”这句话形象简练地指出了形和数的互相依赖、互相制约的辩证关系。表现为：1.以形辅数，对抽象的数学问题赋予直观图形意义，即通过线段图、树形图、集合图等来帮助学生理解数量关系，使复杂问题明朗化。2.以数助形，对直观图形赋予数的意义，要求根据直观图形抽象为数的问题。
　　如在一年级上册教材中，学生刚刚接触加减法，就是让学生充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来。又如一年级下册教材中，解决“谁比谁多几”的实际问题（图8）。
　　
　　八、 统计思想方法
　　
　　小学数学中统计思想体现在：简单的数据整理和求平均数、简单的统计表和统计图。学生在会整理、制表、做图的同时要能从数据、图表中发现一些相关的问题，得出一些结论。在低年级让学生领悟略朴素的统计思想后，中年级学习数据整理的方法，到高年级进一步学习按数据的大小分组统计、整理方法和复式条形统计图以及折线统计图。当然，在小学数学中统计思想的渗透只能是初步的，仅仅涉及到整理样本数据的一些最简单的方法。至于总体推测，只是引导学生作些初步的想象和估算，以逐步接受统计思想的熏陶，为今后的进一步学习打下基础。
　　
　　九、有序的思想方法
　　
　　思维要有序，即要按照一定的顺序，有条理地，全面地观察和思考问题。如果思维无序，观察或思考时杂乱无章，就容易造成思维的重复或遗漏。如二年级上册教材中的《数学广角》，为了让学生树立组合、排列的意识，第一层次让学生用数字卡片1、2摆两位数；第二层次用数字卡片1、2、3摆两位数；第三层次让学生用数字卡片1、2、3、4摆两位数；第四层次学生讨论交流，怎样摆才能不重复、不遗漏。通过以上学习活动，学生深深认识到有序思考的重要性。再如二年级上册教材中的《角的初步认识》，在认识了角的特征后，让学生数一数一共有几个角（图9，也是对有序思考方法的应用。
　　除了以上介绍的这些主要思想方法外，小学数学还有其它的一些思想方法，如倒推法、类比法、列举法、假定法、实验法、等量代换法等。必须指出，有时同一个数学问题可以用不同的数学思想方法解决，而有时一个数学问题的解决却必须同时用到几种不同的数学思想方法。如以图3，这道表面上普普通通的计算题，不仅蕴涵了函数思想，同时也蕴涵了集合思想。我们要在实际教学中有机渗透数学思想方法，这样我们的学生才能更好地学习并运用数学。
　　

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