首页 -> 2008年第9期
小学数学教学中“反例”教学现象的价值分析
作者：武建军
一、 “反例”教学的实用价值
课例：分数的意义、认识单位”1”的教学过程.
(1)出示问：阴影部分表示几分之几？
（2）猜一猜：出示一个小三角形：
其它部分用纸盖住，猜一猜阴影部分是几分之几？学生一开始猜1/4的人比较多，也有部分人说不确定。猜完后，教师出示图形，阴影部分三角形占整体的1/9
(3)圈一圈：
用韦恩图圈出它的1/2
也是表示1/2，图中应补充几个△
价值分析：从以上的教学过程中看，学生在第二阶段的猜一猜，是教师利用“反例”的价值，帮助学生建立单位“1”的概念。小学数学中的单位“1”是确定性与不确定性的对立统一，学生在学习的起始阶段，对概念比较模糊，特别是自然数中确定数值的正迁移作用，会对他们产生副作用。因此，教师基于学生认知特点，将两个视觉上相同的三角形，放在不同的整体中，表示出几分之几，学生有的认为是1/4，有的认为不确定，这样，教师就可以从部分认识的“反例”中，揭示分数的意义，看似不合理的诱导，却潜藏着合理的因素，帮助学生深入认识单位“1”的概念。第三阶段的圈一圈是“反例”的二次应用，目的是达到进一步巩固的作用。
解决办法：学生在第(2)阶段猜一猜中出现填写1/4的情况时，教师要充分利用好这个资源，让学生尽量地说出为什么用1/4的思维过程，然后，让另一部分回答“不确定”的人与之展开辩论，直到能说服对方为止。这样，“反例”的实用性，在教学组织形式中，利益实现了最大化。
二、 “反例”教学的潜在价值
课例：教学“用字母表示数”。教师安排的第一个活动是让学生摆小棒，具体要求是：摆一个三角形用3根小棒。增加1个三角形后，共用小棒的根数是；增加2个三角形后，共用小棒的根数是 ；增加3个三角形后，共用小棒的根数是 ……
在反馈交流时，一个学生给出了下面的摆法和算式：
价值分析：学生的想法是出乎教师意料之外的，然而，出现这一情况的原因有三点。
1、教师要求不明确。教师安排第一个活动的意图是一个三角形用三根小棒，增加一个三角形，共用小棒的根数是3+3×1，增加两个三角形，共用小棒的根数是3+3×2，增加n个三角形，共用小棒的根数是3+3×n。然而，学生对要求的理解是，摆第一个三角形用三根小棒，增加的三角形不一定用三根小棒搭成，也可以用两根小棒搭成（上图），这种做法与教师的教学预设背道而驰，但是，与题目的具体要求不矛盾，合情合理。
2、学生的学习经验。学生在童年时期，就经历过搭积木、摆图形等游戏活动，在低年级阶段，就能指出正方形、长方形、圆形、三角形等平面图形，国标本实验教材为学生提供了多次实践操作的学习机会，学生也具备了一定的实践活动能力，在操作过程中的融合与变通能力有所增强。因此，有可能产生以上要求下的拼搭结果。
3、解决问题的方式。每个学生的认知结构是不同的，对同一内容的理解与掌握程度上也各不相同。教师安排的第一个活动，一般学生用已有的学习经验解决问题会用三根小棒摆一个三角形，然后，一个一个接着摆下去；有的学生会求变、求异，用不同的方式来搭拼图形。
解决办法：这样的形式会出现在具有良好思维品质的学生群体中，所以，一定要认真对待。首先，在情形合理的前提下，肯定学生思维的灵活性。然后，让他们把自己所摆的图形连贯起来观察，是否有一定的规律，是否能总结出来；再观察具有规律的一组图形的摆法，写出反映规律的一组算式。最后，还要比较两种摆法哪一种更能揭示图形所反映的规律，使问题解决回归到揭示“用字母表示数”的主题上。再有，教师在安排活动前，先出示两个三角形问：摆一个三角形用小棒的根数可以写成算式？（3×1），两个三角形小棒的根数可以写成算式？（3×2）请同学们继续摆下去，给摆成的三角形写出对应的算式，这样可以避免意外情况的出现，同时引导学生从”反例”中获得丰富的认识。
三、 “反例”教学的生成价值
教学“圆的面积”时，教师让学生用圆的学具，平均分成24份，然后剪开，拼成近似的长方形，通过长方形的面积，推导出圆的面积计算公式。其中一个学生提出，不用拼成长方形也可以推导出圆的面积公式。他是这样做的，将圆平均分成24份，每一份就是一个近似的小三角形，（如图）
价值分析：学生的解法完全出乎教师的意料，它的合理性甚至在教材编排的例题之上，实事求是地说，这样的推导过程，教师在设计中是没有预设的，学生的创造性思维应该得到充分的肯定。
解决办法：叶澜教授在《重建课堂教学观》中说，开发学生的“原始资源”，实现课堂教学过程中的资源生成，是课堂教学的“生长元”，通过网络式的生生多元互动形成对“生长元”多解的“方案性资源”，是课堂教学的精髓所在。我针对课堂教学的“生长元”及时增加了一个比较过程，让学生群体体会到这个事例的重要价值。
四、 “反例”教学的“剩余价值“
课例：“观察物体”要回答的是两个问题：（1）从哪面看这三个物体，看到的形状完全相同？（2）从哪面看到的形状不同？大部分学生回答：“从侧面和上面看到的形状完全相同，从正面看到的形状完全不同。”只有少部分学生说：“从正面看到的形状不是完全不同，因为下面一层都是由3个正方形横排成的长方形，所以是不同，不是完全不同。”
价值分析：教材编写者对所提问题，显然进行了深入地思考，
从侧面看到的形状是
从上面看到的形状是
从正面看到的形状是
从侧面与上面看到的是独立图形，从正面看到的是复合图形。从上面、侧面看到的三个独立图形完全相同，从正面看到三个复合图形只能说是不同。
三年级儿童的认知，以具体形象思维为主要形式，大部分学生的回答，就是从整体认知的角度，观察图形的同与不同。而少部分学生的回答中，不仅看到了同还看到了异中有同，充分反映了学生思维的深刻性、灵活性。
解决办法：这样“少数人的声音”正是教学中求之不得的，可以说是课堂教学“成功学习时间”在个体身上的集中体现。我把握好这样的时机，适时对问题进行再研讨，得到结论，既教会学生认真观察的方法，又体会数学思维的美妙，可谓一举两得。
多彩的世界，缘于丰富的物种，和谐的课堂，缘于丰富的个性。学生作为一个独立的个体而存在，生活阅历，学习经验的不同，形成了各自不同的思维方式。课堂是学生展示自我才华的舞台，共性的认识与独特的见解，是和谐课堂的真实表现；“反例”作为一种课堂教学现象存在，具有一定的研究价值，我们在教学实践中应利用好”反例”，充分挖掘它的价值，为教学服务。
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