首页 -> 2008年第12期
警惕“形式化”的数学探究学习
作者：王志南
【教学案情】
师：在我们的生活中存在各种搭配现象，例如衣物搭配，在几件上衣和几条裤子中各选一个，组成一套；再如食物搭配，在这些搭配现象中存在着一定的规律，今天我们就一起来寻找简单搭配中的规律。
老师拿出一张某食堂星期一的菜谱。出示菜谱，读菜谱。（二荤三素）
师：如果让你只选一种荤菜，你有几种选择？如果让你每次只选一种素菜呢？如果一荤一素搭配，你会怎样选择呢？（学生回答）
师：看来我们有多种搭配的方法，一共有几种呢？先猜一猜。（学生回答）
师：到底有几种呢？每个同学动手验证一下自己的答案，可以写一写，也可以画一画。
学生练习，教师巡视。
小组交流：将你的搭配方法说给小组里的同学听一听，比比谁的方法好。
全班交流。
师：通过交流，你觉得哪种方法比较简便？
学生通过比较发现，图形表示法、符号表示法比用文字列举要简便得多。
在此基础上，教师引导学生进行小组讨论：
1.怎样选配才能做到既不重复，又不遗漏？
2.荤菜的种类、素菜的种类与共有多少种搭配方法有什么关系？
学生讨论后进行全班交流。
师：怎样做才能做到既不重复，又不遗漏？
根据学生回答，教师板书总结。（要有序）。
师：通过刚才的验证及练习，你觉得荤菜的种类、素菜的种类与共有多少种搭配方法有什么关系吗？(多数学生觉得有些困难，一阵沉寂之后，终于有学生举了手。)
生：荤菜的种数×素菜的种数=搭配方法的种数。
师：根据这个规律，你能列式解答吗？
生：3×2=6（种）。
……
【诊断分析】
教师在教学中理应给学生提供充分从事探究学习的机会，帮助他们在学习过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。然而，由于教师对数学探究学习理解的偏颇或不到位，使得探究学习陷入了一种“形式化”的误区。
教研组的老师在进行课堂评价的时候，提出这样三点看法：
1.在上述案例中，教者试图通过与学生生活联系密切的菜谱搭配来唤醒学生的学习欲望，这样的设计确实能够在一定程度上激发学生的学习兴趣。然而，本课的关键在于引导学生自主探索发现规律，简而言之，关键在于一个“找”字。而如何让学生在自主探究的过程中“找”到这个规律呢？显然，教者在这个“找”字上花的工夫太少。
2.教师在让学生经历了“荤菜、素菜搭配”这一个例子后，没有对例子作进一步的拓展就急于让学生概括规律，导致学生在概括规律时显得有些困难。这是因为，“荤菜的种类”、“素菜的种类”与“共有多少种搭配的方法”之间关系的发现，是通过不完全归纳得到的，但进行不完全归纳时，必须提供给学生足够丰富的例子，而不是通过简单的一两个例子就总结概括出来。因此，案例中教师设计的探究学习素材过于单薄，学生自然也就无法从中发现规律，这样就使探究学习陷入了“形式化”的误区。
3.本课的另一个教学目标，是让学生在列举的过程中体验到“有序”，即 “怎样做才能做到既不重复，又不遗漏？”其实关于这个问题，不是通过简单的思考就可以得出结论的，它更强调的是学生的一种体验，即自己真切感受、体验到只有“有序”才能做到既不重复，又不遗漏。这种体验的获得并不在于教师如何设计精心的提问，而在于让学生在“无序”和“有序”的比较中获得，也就是说，教者可以通过展现学生在解决问题过程中的“无序列举”和“有序列举”，让学生对两种方法的优劣进行比较，进而发现只有“有序列举”才能做到既不重复，又不遗漏。
【教学思考】
笔者以为，教研组老师的评价是比较中肯的，也比较准确地发现了课例中存在的主要问题。在此基础上，笔者作了进一步的思考，即数学探究学习到底应该提供给学生怎样的探究学习材料？怎样利用这些材料引导学生进行探究学习？数学探究性学习的体验从何而来？
一、 该给学生提供怎样的探究学习材料
数学探究学习的过程必然是一个不断经历猜想、验证、思辩的过程，而探究学习材料是学生进行有效探究的基础和前提，有效的探究教学首先表现在学习材料的优质上。在探究学习中，教师应该给学生提供怎样的探究学习材料呢？笔者以为，探究学习的材料必须是结构化的，具有内在逻辑关系的。
比如上述课例中，在学生充分探究“两种荤菜、三种素菜的搭配种数”之后，我们可以改变例题的条件，让学生再次经历解决问题的过程，丰富学生的数学经验和感性认知。为学生提供这样两组的探究材料：
第一组：
1.如果有两种荤菜，四种素菜，荤素各选一种，共有几种搭配方法？
2.如果有三种荤菜，三种素菜，荤素各选一种，共有几种搭配方法？
3.如果有两种荤菜，五种素菜，荤素各选一种，共有几种搭配方法？
4.如果有三种荤菜，四种素菜，荤素各选一种，共有几种搭配方法？
第二组：
1.某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种不同的搭配方法？
2.有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？
3.某女士外出旅行时带了三件不同颜色的上衣和四条不同颜色的裙子，问共有多少种不同的搭配方法？
4.有三个军官和四个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种不同的组成方式？
这两组探究材料的设计，第一组注重数学材料内在的层次性和逻辑性，有利于学生自主探索，发现规律；第二组注重内在的结构性，即呈现的问题情境和第一组不一样，但问题的内部表征是相同的，进而引领学生在经历问题探究的过程中理解数学情境的本质结构，培养学生的思维迁移能力。
二、 怎样利用探究材料引导学生进行探究学习
当探究材料具有内在的结构性和逻辑性的时候，我们怎样利用这些材料进行有效的探究学习呢？我想，所谓有效，是指学生在探究学习的过程中，能够自主探索、积极思考，发现探究材料具有一定的内在的结构性，进而探索发现数学规律。正如上述课例中，由“两荤三素”的搭配到“两荤四素”、“三荤三素”、“三荤四素”的搭配，这样的拓展的目的不仅仅是为了让学生能够通过不完全归纳法发现规律，更重要的是为了让学生较好地实现由具体问题向相应 “数学模式“的过渡。
而在这一过程中，引导学生进行数学思考是尤为重要的。第一组的探究材料，注重引导学生发现搭配的规律，可以这样提问：通过刚才的变化，你有没有发现，搭配的总数和什么有关系？有什么样的关系呢？第二组的探究材料，重在让学生与第一组材料进行比较，进而发现问题情境的内部表征是相同的。可以这样设计：观察这两组探究材料，你觉得它们在本质上一样吗？什么地方是相同的？
三、 数学探究性学习的体验从何而来
探究性学习的数学体验从何而来？是教师启发、诱导就能得到的吗？笔者以为，体验是置身特定情境下的感受，当然它是真切的、发自内心的。比如课例中教师让学生进行小组讨论“怎样选配才能做到既不重复又不遗漏？”目的在于让学生体验到选配时要“有序”，也就是要有条理地操作或思考。然而，如果没有充分的探究活动，学生关于“有序”的体验又从何而来，而事实上，学生只有经历或感受了“无序”的繁杂与慌乱，才能体验到“有序”的便捷与从容。没有比较，又哪来的体验。进而，在探究学习中，教师要善于引导学生“置身”于探究情境之中，而非游离于探究情境之外；教师要善于比较与甑别，体验与感悟，从而在数学探究学习的过程中不断丰富自己的数学体验。