首页 -> 2006年第12期
数学教学中过程与结果关系辨析
作者：吴 凤
一、注重提高学生的数学思维能力
数学思维能力在形成理性思维中起着独特的作用，“人们在学习和运用数学解决问题时，不断地经历感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。”数学思维能力的物化形式就是数学思想和方法。与数学知识相比，数学思想与方法具有更高的概括性和包容性。在数学教学过程中，教师应结合教学内容，对涉及到的数学思想和方法进行挖掘与提炼，明示或渗透。只有让学生在数学思想方法的高度上掌握数学知识，才能更好地形成数学能力，实现教育的目标。
案例1教学等比数列，不会教的人教结果，会教的人教方法。
类比的思想。等比数列的概念、通项公式、前n项和公式可以由等差数列类比得到。在类比过程中，始终将“比”换成“差”即可。但是，“比”与“差”毕竟不同，所以在类比过程中，又要突出等比数列的“个性”，显示一般性与特殊性的辩证关系。
方程的思想。得出等比数列的通项公式与前n项和公式以及有关等比数列的计算与证明，无一不是通过列等式(有时是不等式)推得，因此学习和应用等比数列时，活用方程(不等式)的思想，对于数学素质的提高是很有好处的。
事实上，没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识，从这个意义上来说，数学教材的每一章节乃至每一道例题，都体现着数学基础知识与数学思想方法的有机结合。数学中的每一个概念都是抽象与概括的结果，但其过程却都有不同；数学中的性质、法则、公式都需要经过证明，但是其过程中有许多猜想与反驳、化归与演绎；数学的应用具有广泛性，即使是中小学数学，其建模与验模的方法是那么的丰富多彩。学生的数学思维能力是在数学活动过程中养成与发展的，所以，过程比结果更加精彩。
二、发展学生的数学应用意识
“我国的数学教育在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予重视，因此，高中数学在应用和联系实际方面需要大大加强。近几年来，我国大学、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生数学学习的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野。”笔者以为，数学模型应有广义和狭义之分。因为一切数学结论都是人们在科学探索、日常生活等社会实践过程中，与某类或某个客观事物相类比，并用形式化的数学语言抽象概括出来的数学结构，所以从广义来说，数学概念、数学性质、数学公式、数学法则、基本的数学方法等都是数学模型。但是，我们所说的数学模型大多是指狭义的，是指与现实模型相关的数学关系结构，即指应用型数学模型。数学建模的过程也是丰富多彩的。例如，对于“若四面体各顶点的三个面角之和均为180°，则三组对棱分别相等”，我们就可以用制作模型的方法帮助理解和解答。用一张纸，剪出一个三角形来；找出这个三角形三边的中点得到这个三角形的三条中位线；沿着这三条中位线可以把原三角形向一边折成一个四面体。这个四面体就成了题给四面体的一个实物原型。
事实上，“四面体各顶点的三个面角之和均为180。已经暗示这样的四面体有特殊的性质。它导引我们沿着图中四面体的棱AB、AC、AD剪开并将之一齐展成平面图形。因为四面体各顶点的三个面角之和均为180。，所以M、D、N，N、D、P，P、C、M分别在一条直线上，从而构成三角形MNP。又展开后，AB、AC、AD长度不变，所以有NB=MC=AC，MD=ND=AD，这就是说，B、C、D分别是NP、PM、MN的中点，从而BD=1／2PM=AC，BC=1／2NM=AD，CD=1／2PN=AB，即三组对棱分别相等。
案例2这是发生在上海某宾馆的一个实例。住在五楼的客人说电路有故障，但不知道问题出在哪儿。电路控制室在一楼，只有一只电表可以测量电阻。这时一位中专生说，这好办。他将三条电线L1、L2、L3两连接，并测量出L1与L2、L2与L3、L3与L1各自形成的闭合电路的电阻分别为a，b，c。设三条电线的电阻分别是x，y，z，则
这个问题难在对实际情况的分析，进而构造出相应的数学模型。几乎所有的中学生者会解这个方程组，但是建立模型却不是所有的人都有这种素质。所以发展学生的数学应用意识是多么的重要，数学建模与问题解决的过程比解已经得到的方程组更加精彩。
三、体现数学的文化价值
“数学课程应帮助学生了解数学在人类发展中的作用，逐步形成正确的数学观。”数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。笔者以为，至少有以下四个方面是学生应当了解的。1．在教授数学知识时介绍有关的文化背景，比如集合论与公理化方法的联系，比如平面解析几何与笛卡尔的变数思想，比如在教学复数时介绍欧拉、韦塞尔、阿尔冈、高斯与哈密尔顿，等等；2．在适当的时候介绍一些数学史，比如从算术到代数几何、从常量数学到变量数学、从确定性数学到随机数学的发展史，比如从欧几里得几何到非欧几何的发展史，比如从十进制到二进制、进而产生计算机的历史，等等；3．有意识地强调数学的科学价值、文化价值、美学价值，比如数学应用于工业、农业、军事等处的实例，比如数学在广告、商标、艺术等方面的应用实例，比如对称、黄金分割等美学因素的运用；4．在使用逻辑方法时，不忘强调合情推理，比如直觉，比如灵感，比如顿悟等合情推理的作用。
案例3可以设计三个层次来介绍圆周率π。
1．刘徽与祖冲之用割圆术计算圆周率π
2．用无穷级数或无穷连乘积来表示π
3．用电子计算机计算π
1961年，尚克斯和伦奇算到小数点后100，265位；
1967年，吉尤等在法国算到小数点后500，000位，
1999年的纪录是小数点后20615843位。
日本数学家三上义夫提出以“祖率”来命名圆周率。与计算机的足够精确可比，祖冲之的 是不值一提的，为什么三上义夫还那么看重祖冲之?一个原因是，祖冲之用的“逐步逼近法”是最佳逼近方法；另一个原因是历史地看，祖冲之在计算圆周率方面本来就有不可磨灭的功劳。
中美数学史上有那么多的人和事，有那么多的著作和文章，其中反映出历代数学家的丰功伟绩，其发现固然值得赞赏，其发现的过程更加使人激动，所以过程比结果更加精彩。
(责任编辑 刘永庆)