首页 -> 2007年第7期
数学教学中的“退、悟、进”
作者：杨 莉
一、“退”法研究的基本程序：“退、悟、进”
１．为进学退。“为进”—一开始就提出新课题，激发学生的求知欲和好奇心，让学生明确学习目的，同时教师要退到学生的认知水平，和学生一起探索“退”路，就是分析矛盾，用比较、类比、特例、分解、简化等方法。退未知为已知，退一般为特殊，退抽象为形象，退综合为单一。这里的已知、特殊、形象、单一正是学生主动思维的条件，为达到“进”的目的而形成概念、导出规律，进而解决问题的基础。经过“学退”逐步达到“会退”，学生的探究能力与日俱增，创造能力会充分发挥。
２．退中悟理。“退”的目的在于“进”，能否由退转化为进，关键在于“悟理”，就是要尝试从直观的、特殊的事例中归纳抽象出一般的本质属性和普遍规律，从已知的简单现象中总结概括出新的概念和基本原理。“悟理”就是要学习运用抽象、归纳、演绎、类比等逻辑方法，尝试找出已知的特殊事例中所包含的一般道理和解决问题的方法。当然这时找到的道理和方法还是一种假说，有待于在“进”中论证和检验。
３．执理而进。通过“悟理”，找到了一种道理或方法，就可以运用这个道理或方法去解决新课题，“进”的过程是从已知到未知的推理或求解的过程。能否解决问题，需要实践去检验，如果“悟理”找到的道理和方法不能解决问题，就必须再从“退”中悟理。
二“退”的探究方法：析、例、形、分
１．“析”。退未知为已知。这是“退”的基本方法。因为学习新知识的过程就是从已知的知识“生长”出新知识的过程，就是逐步完善认知结构的过程。传统教学主要是传授的过程，相当于教师是发信人，学生是收信人，教学过程类似于信息传输过程，也可以把教学过程看作是控制系统，教师是控制者，学生是被控制者。新的教育理论则把学习过程看作是发现过程，学习过程是认知结构的转变过程。探究学习就是要从原有认知结构转化为新的认知结构，实现转化的基本方法就是分析旧知识的矛盾，寻求新旧知识的联系，就是退未知为已知。
２．“例”。退一般为特殊。退一般为特殊的一种方法是举例。传统教学通常都是老师举例或课本举例。探究性教学必须让学生学会举例，过去学生只觉得课本很神秘，老师特高明，总是因典型的特例，容易发现一般的本质属性的特例，自然轻松地从特例悟出一般的道理，导出新知识。“发现法”要求培养学生会举例，在长期的尝试举例中逐步学会举例。函数是中学数学中最重要的概念之一，只有充分发动同学举出各种各样的两个变量之间对应关系的实例，才能加深概念的形成，要让学生举出他亲身体验到的生活实例，包括学习中已知的实例，以及他自己创编的实例，如买馒头的个数与钱数，本学校教师人数与学生人数两集合间的对应等等。
３．“形”。退抽象为形象。作函数图象，数量关系用图形表示，都是退抽象为形象，集合关系用文氏图表示，排列组合也可用表示图辅助求解，画图是教学探究的一种重要方法。从课本上求排列数的图式法，启示我们解排列问题，可用类似的图示。例如研究“６人站排，甲乙二人要排在一起”这个问题，同学们画出一些符合条件的图示如：
如何设计一种方法，保证二人总在一起呢？经过讨论得出，先把甲乙捆起来，当作一个人，得出５的全排列，再把绳子解开，二人互换，这在当时，属于一种创造性的设计。
４．“分”。退综合为单一。分解、分类、分步等，把综合性问题，逐个加以解决，传统教学通常只呈现各部分单一知识及其综合过程，很少让学生尝试把综合问题分解为单一问题，有些知识讲述了解题步骤，学生只是“照猫画虎”，知其然而不知其所以然。实践证明，在退综合为单一的探究活动中，学生可以逐渐学会分解简化问题的方法，不仅可以加深对知识的理解，体会到知识形成的过程，更能激发学生的兴趣与成就感，发展学生的研究与创造能力。
三“进”的探究方法：演、归、比、合
１．“演”。演绎探究。传统教学把定理的证明、问题的解决只作为必然推理的“封闭”性思维活动，其实逻辑推理的演绎过程也是极其生动活泼的开放性思维活动。我们总结的“退”法探究教学程序中的“执理而进”就是演绎探究活动。在当年总结探究式教学时突出它“退”的特点，着重“退”的探究，而在“进”的阶段，常常忽视了开放性的探究。“进”的过程，主要是演绎推理。我们在后续的教学实践中，进一步尝试演绎探究。
２．“归”。归纳探究。传统教学很少让学生自己用归纳法去学习新知识，我们在教学中放手让学生尝试，不受大纲的限制，大胆的培养归纳探究能力，他们将数列、函数、解析几何、根限和导数等知识，在解题中“迁移”到已有知识结构中，也利于自己建立一些具体的数学模型。
３．“比”。类比探究。根据两个事物有一些性质相同或相似，猜测另一些性质可能相同或相似，这种类比方法是发展创造性思维能力的重要探究方法，类比联想或猜想，可以使学生的学习更加生动、主动，有助于学生知识的主动迁移，提高解决问题的能力，常会使学生有所发现。例如我们把整式乘法和整数乘法类比，学生会尝试用竖式作整式乘法，也会用竖式作除法，对学好因式分解很有帮助。由于类比联想是一种或然性推理，猜测有可能是错误的结论，但我们不仅不直接说猜想是错的，反而激励学生进一步检验和判断，表扬他们加深了对问题的认识。例如学生根据平行四边形面积是等底等高的三角形面积的二倍，猜想平行六面体体积是等底等高的三棱柱体积的二倍，猜想三棱柱体积是等底等高的三棱锥体积的二倍，显然后者是错误的结论，但能验证它的错误却是认识的深化。
４“合”。综合探究。探究性的综合，不仅要求将解决问题的各个部分整合成系统结构，更要使系统开放发展，不仅要培养逻辑思维能力，更要培养发散思维能力。我们尝试和学生一起进行每课每单元的总结讨论，要求解题反思，常布置一些开放性的总结作业，选择典型题要求一题多解，一题多变，培养创造性思维。
四、几点思考：辩、放、多、试
１．辩。唯物辩证思想。几十年参加教学改革的实践使我们深感：数学和数学教学总是遵循唯物辩证法的规律而运动、变化和发展的。探究法强调从实际出发，以学生为主体，让教学来自实践，又服务于实践，正是唯物主义的实践观点，探究已知与未知，数与形，特殊与一般，系统与要素之间的联系与转化，正是辩证思想的体现。开始强调“退”，后来又尝试“进”，关键在于让学生积极主动进行探究的实践活动。没有教师主导，哪来学生主动积极活动，没有教师善于探究，怎能发动引导学生学会探究，分析与综合，演绎与归纳，一般与特殊，系统与要素，数与形，总是相互联系相互转化，因此应该也必须在数学教学中培养唯物辩证思想。
２．放。多年教改实践使我们体会到教学要“开放”，改革要“开放”。任何系统只有开放，才能发展。传统教学的“一言堂”必须改革，以人为本，教育中就要以学生为本，知识是学生学会的，决不只是老师教会的，教学的开放，就是要让学生真正积极主动，生动，活泼地探究，教之以渔，而不是授之以鱼，不怕学生探究过程出错，也不怕“误入歧途”，鼓励意想天开，哪怕是“胡思乱想”，只要动脑思索，动手写画，动口辩说，就能真正学到有用的数学。当前应试教育把学生封闭起来，作业负担把学生压得透不过气来。必须让学生从题海中解放出来，让学生在探究中体验成功的欢乐，创造的幸福，使他感到书上的定理公式竟然是自己发现的，数学活动真有趣，真好玩能像上网打游戏那么吸引人，数学岂有学不好之理？沉迷到探究中必可发展创造思维。
３．多。多样统一，也是我们教学实践的一条深刻体会。一节课有多种教法，一道题有多种解法。就是探究方法，也可多种多样。事实上，我们没有也不可能课课都用“退”法探究，就是探究式的课，也不能没有讲授，授之以“渔”，也要发动学生去探索，“教”给探究的方法，引导也是一种教，对于某些基本概念，关键知识点，仍须反复精讲。
４．试。探究性教学的实质是让学生尝试，传统教学讲究精讲多练，练习的本质是试验，只不过现在的应试教育把练习变成模仿，只重复要考的题型，连真正的“双基”也忽视了。几十年改革实践使我们感到，探究教学是可行的，但费时费力，可适当选用，如何提高效率，尚需探索。尝试探究，尝试发现，尝试创造，学生试，老师也要试，必可日臻至完善，必能科学地不断发展不断前进。谨以屈原铭文作为本文结语：路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
（参考文献本刊略）
（责任编辑陈国庆）