首页 -> 2008年第7期
数学思想方法对教学改革的指导
作者：呼 勇
认识事物的本质是人们学习的根本目的，因此忽略对数学思想的教学显然是错误的。作为数学教师，必须深刻地理解这种思想性，弄清楚数学思想与数学方法和数学教学的关系。在教学中，要体现这种思想性，不能把数学教学中的一些方法同它的思想分割开来去认识，而应懂得“现在的根，深扎在过去，而对于寻求理解现在之所以成为现在这个样子的人们来说，过去的每一件事都不是无关的。”当教师认识、理解、融会了数学思想，在教学中就能把握这种思想，使之渗透于教学中，使之从理论的高度上去指导数学方法和教学。有时学生在学习过程中，虽不能明确认识到这种思想性，却在潜意识中已接受和运用了这些思想，久而久之，我们就能实现教学目的，使学生在一个阶段时间内，就能把人类几千年探索的成果掌握和应用。学生就比较容易完成这样一个从具体到抽象的过渡。而数学史上完成这一思想的过渡都经历了漫长的岁月，这也正是数学思想教学的意义所在。教学中我们首先要理解教材的思想性、系统性和目的性，用数学思想的武器去指导教学，那么教师的这种宏观意识必将在数学教学中产生良好的效果。因此，在整个数学学科的教学中，数学思想和数学方法起着至关重要的作用。
首先，这是一个纯理论范畴的问题，对此学生可以不十分清楚。而作为数学教师应有一定的理论认识高度。通过这一问题的探讨，使我们对数学这一门学科在思想的深度上有新的认识。我们的思维及观念就不能仅停留在学会课本知识和教会学生，而应在思想理论的指导下，研究和改革教学，才能推陈出新，使我们教得更好。虽然我们在教学中可能都不成功，但要想成为一个成功的人，没有思想理论的指导是不可能的。
其次，数学教学的主要任务不仅使学生掌握好基础知识和基础技能，而且要发展智力，培养能力，还要培养非智力因素。从根本上讲就是全面提高素质，这种素质最重要的因素是思维素质，而数学思想方法就是增强数学观念，形成良好思维素质的关键，有人做过这样的比喻：将学生的数学素质看作一个坐标系，那么数学知识、技能就好比横轴上的因素，而数学思想、方法就是纵轴上的内容。忽视了数学思想、方法，就失去了认识网络的纵横交错，也就不可能完善认识结构，即认识是不完整的，更谈不上全面提高素质了。因此加强数学思想、方法研究，就等于找到了数学进行素质教育的突破口。
第三，从教材体系看，近几十年中小学数学教材的改革调整，越来越明显地贯穿了两条线，一条是数学知识线，它是直观的、表象的，也是看得见的明线，另一条是数学思想线，它是潜在的或内在的，也是看不见的暗线。落后的教法只看到教材中的数学知识，忽视数学思想方法，造成教学事倍功半。有了数学思想，数学知识就不再成为零散的东西，教学方法不再是死板教条，从而能从整体上把握教学。因此，加强数学思想方法的研究，是数学教学改革的新视角。
第四，从发展趋势看，数学教学必须着眼于现代化，以适应国际数学教育发展以及我国社会发展的需要，数学的意义、作用已远超出数学学科本身，它被认为是开启宇宙大门的钥匙。数学的现代化，并不是把数学内容改变为“现代数学的教学”，而是从思想、方法、语言上，使数学教学建立在现代数学的思想观念基础上。
第五，学习的目的在于应用，单就数学来说，就意味着解题，解题的关键在于找到合适的解题思路。数学思想、方法就是帮助构建解题思路的指导思想，它能够使学生把知识融会贯通，使各知识点在思想的引导下联系在一起，找到成功的道路。因此加强数学思想方法的研究，就是培养学生分析问题和解决问题能力的重要措施。
目前在教学中反映出的数学思想、方法大致有以下几类，它们在教学中都有相应的重要地位和代表性。
１．符号思想。在数学中，各种量的关系、交换、推导以及演算，无不凭借符号形式进行（如代数体系中的数字、字母、运算符号等），从而极大地简化和加速了思维进程。
２．集合思想。集合思想早在人类开始认识自然数的时候就被应用和采纳，现在从小学、初中到高中，都有相应的学习。当你理解了集合的思想性，你再去看各阶段的知识点：认数、数数、分类、运算、元素、定义域、值域、代数关系、几何图形等都可以部分的和整体的建立集合体的联系，集合思想把各种概念的层次理的清清楚楚。
３．对应思想。对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，它几乎是在集合思想产生的同时而产生的。对应思维的建立是人的认识能力的突出表现，它能使许多抽象的数学概念和复杂的数量关系直观化。这种对应思想方法培养了学生从具体到抽象、从简单到复杂的思维能力，同时也提高了抽象理论的直观化理解，是解决数学问题的基本方法之一。
４．函数思想。函数思想实际是对应思想更进一步高度抽象概括的结果，它使数学能有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物间的相互联系。它不仅使数学由研究状态到研究过程，而且引起了传统的常量数学观念的更新，加深了学生对数学关系的理解，我们紧紧把握住这一本质，就能逐步培养学生运用联系、变化的观点认识事物的思维习惯。
５．化归思想。化归是通过数学内部的联系和矛盾运动，在推移转变中实现问题的规范化过程，以使新问题归结为应用已知的方法和技术达到问题的解决，这是解决数学问题的根本想法，也是基本策略，一切数学问题的解决过程总是将未知不断地转化成已知的旧问题的过程，常用的有化生为熟，化难为易，化繁为简，化整为零，化曲为直，化不规则为规则等。
６．转换思想。就是等价关系之间的问题形式转化，它与化归思想在形式上是相似的，但本质的不同在于转化思想可逆转，而化归只能向一个方向转化。如方程的同解转换，定律、公式、命题的等价转换，几何形体中的等积转换，坐标系的平移或旋转等。“双向联想”是转换思想的集中代表。如解算术应用题或代数证明题中的“分析法”就是连续使用转换方法，直至使问题变为已知。由此可见转换思想方法，是数学解题的一种重要策略。
７．模型思想。一切数学概念、公式、体系等均可成为数学模型。在初等数学中，模型的构建相对直观一些，具体一些。一般都从现实原型出发，充分使用观察、实验、操作、比较、分析、综合、概括等基本思维方式得到。简单说就像小学生从２＋３＝３＋２，５＋１＝１＋５．．．．．．．．等一系列算式中，认识到对两数ａ、ｂ，总有ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，这一形式便被认为是一种定律。事实上在高等数学中这种模式可以得到更一般和抽象的含义，
８．极限思想。极限作为“质变的关节点”是事物转化的重要环节。在小学数学中有诸如圆的面积和周长等概念和计算的形式；在中学有如二次曲线离心率的讨论，渐近线的意义，割线与切线的关系，数列变化的趋势等等，至于高等数学中，围绕微分、积分概念的引入，极限思想应用得更加广泛。就是在这种“有限中认识无限，近似中认识精确，量变中认识质变”，才使数学的发展有了更广阔的天地。
以上对数学思想的看法，也可能不够准确，随着数学的发展，需要我们继续研究。至于数学方法，基本上是一种数学思想，相应的有一种数学方法。因为思想往往是从方法中概括的，所以它们二者应该有一致性。这些方法是一种宏观思维形式的带有思想性的方法。而真正具体的方法是多种多样的，千变万化的，是各种思想的综合应用。应看到数学思想比方法更抽象、更本质。“思想”是相应方法的理论根据，“方法”是相应思想的技术实施。在教学中应注重对数学思想和方法的渗透，提高渗透的意识性，把握渗透的过程性，注意渗透的启发性。数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累形成的，指导和启发学生挖掘、提炼、揣摸、概括，使学生自己感受到了其中的思想性，那就具有更强的活力。同时启发要注意循序渐进，一种思想可能要经过若干次的反复体验，才能领悟，不是通过一个问题就可达到的。即便是数学家，也是经过很长时间的研究，才能取得可喜的一小步，所以我们要注意进行长期和系统的渗透。
参考文献
［１］［美］Ｍ．克莱因．古今数学思想．上海：上海科学技术出版社，１９８３．
［３］ 马卯成．中学数学解题思想．中学数学教学参考．１９９０（１０）．
（责任编辑刘永庆）