首页 -> 2007年第1期

让数学思想在解题细节中升华

作者：高志军

　　我们教师可能经常听到学生们的议论:“数学课听得懂,但解题时不会想,不会做,为什么?”｡为此,我经常思考,是教的问题,还是学的问题?我们知道,数学课堂教学是师生教与学的方式､方法､手段､思维活动交互合作的总和,是师生行为和心灵对话的过程,是一种沟通与合作,更是数学思维的锤炼和数学文化的再创造｡“细节决定成败”,要解决学生“不会想,不会做”的问题,实现数学课堂的“有效教学”,必须关注､研究､优化教学行为和师生心灵对话的具体细节｡教学细节,形成于特定的教学情境中,是构成教学行为的外显的最小单位｡细节虽小,却能透射出教育教学的大理念､大智慧｡整个数学课堂教学活动,涉及许许多多细节,构成了一个复杂多变的系统｡数学课堂教学过程,我们根本无法穷尽这个系统中我们认为的所有细节,但是,我们仍需要从每一堂课,从每一位学生出发,去关注我们认为应该关注的细节,尤其要关注学生的解题细节,从细微处入手,察微知著,通过师生心理沟通､情感交流,给每个学生以人文关怀,这样,我们就能在解题细节处见精神､显功夫,不仅要让学生会听､会看,更应让学生会想､会操作,力求使学生在解题细节中实现数学思想的不断升华,在打造细节的同时成就人生,成就完美｡
　　
　　一､ 重视审题细节,明确思维方向
　　
　　审题是正确快速完成解题的基础,审题是确定解法的前提｡审题就是要弄清题意,审清题目的结构特征,将已知条件深入化,弄清已知条件的等价说法,将条件作适合解题需要的转换｡要解决任何一个数学问题,首先必须明确“要做什么?”,在明确解题目标细节的基础上,进一步搞清楚“怎样做?”,在此基础上,不断调整解题思维细节,逐步完成解题任务｡
　　
　　例1 (2006年高考江苏卷第10题)右图中有一信号源和五个接收器,接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号｡若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所得六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是
　　(A)4/45
　　(B)1/36
　　(C)4/15
　　(D)8/15
　　高考一结束,笔者就把此题单独复印给高二的学生进行练习,并规定学生在5分钟内完成解答,要求写出思考过程｡收上来批阅发现,两班106名学生仅有41名学生选正确答案(D),33名学生选(C),还有32名学生根本没有理解题意,胡乱猜了一个(A)或(B)填上｡为什么仅有不到38.7%的学生能正确答题呢?通过对学生答题的仔细批阅和上课时学生回答情况进行具体分析发现,学生主要是不会正确阅读理解题意,不能明确解题目标,具体的有三个细节:①什么是“六个接线点随机地平均分成三组”;②什么是“接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号”;③ 什么是“六组中每组的两个接线点用导线连接”｡通过和学生一起探讨,一起分析审题的每个细节,在师生互动共同讨论的基础上,学生全面掌握了题设中所提供的信息,把握住每一个细节,真正理解了题意,明确了解题方向,形成了多种解法,顺利完成了本题的解答｡
　　
　　二､ 关注运算细节,确保思维流畅
　　
　　运算能力是思维能力与运算技能的结合,是解决问题的一种必备的能力,一定意义上讲,运算能力的高低决定着数学成绩的优劣,更决定着学生学习数学的兴趣｡学生运算能力的差异,主要表现在运算心理的四种品质,即运算的正确性､迅速性､灵活性和合理性上｡因此,培养学生的运算能力,必须从学生是否识别文字､语言､图形语言､符号语言等各种表达形式的本质的细节上,从学生的联想思维､运算是否合理等细节进行关注,优化学生的运算过程和运算策略方法,确保学生解法和程序的规范,提高学生解决问题的洞察能力｡
　　
　　
　　三､ 抓住反思细节,优化思维品质
　　
　　反思是教学相长的重要措施,反思发生在课堂教学的过程中,也发生在课堂教学之后｡既有教师对自己教的反思,也有学生对自己学的反思｡教师要善于思考学生在课堂上的显性的､隐性的表现,反思教学过程的得与失,也包括教学过程中的人文因素｡对于学生解题训练的反思,要重视学生反思的具体细节,帮助学生逐步养成自主反思和领悟的自觉性｡当学生解题失败时,要给学生应有的鼓励,不要轻言否定,要引导他们去找出自己错解的原因:是概念理解不清,导致解题途径出错,还是中间步骤的证明､运算有误;引导学生对几种解题方案进行比较,研究其不同解题方案形成的思维脉络,让学生自己进行各种解题方案的对比,分析每种方案所反映出来不同的思维水平状况,进而反思自己在思维方式上有哪些成功或不足之处｡通过学生自己认真反思,促使学生的反思过程成为学习主动建构的实践过程｡
　　例3已知抛物线C₁:y=x²+2x和C₂:y=-x²+a,如果直线L同时是C₁和C₂的切线,称L是C₁和C₂的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段｡
　　(1)a取什么值时,C₁和C₂有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程｡
　　(2)若C₁和C₂有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分｡
　　题目展示后,经过学生们的讨论和思考,让学生充分展现思考问题的具体细节,提出自己的解题打算和方案｡
　　学生思路一:两条抛物线在各点处的切线的斜率都存在,因此,公切线方程可设为y=kx+b｡再构成关于k､b的二元方程求出k､b｡
　　学生思路二:因为L同时是C₁和C₂的切线,可设L与C₁和C₂的切点,而后再写出切线方程进行求解｡
　　比较学生的这两种思路,第一种思路,是学生基于已掌握的直线方程知识层面上进行思考,第二种思路,学生既真正掌握直线方程的有关知识,同时又真正理解导数的几何意义切线的斜率｡我们可以提供充裕的时间,让学生根据两种思路分别进行解题｡通过学生自己实践､探索､反思,学生们终于进一步明确了导数的几何意义,即当点P(x₀,y₀)在函数y=f(x)图像上时,导数f/(x₀)就是表示曲线y=f(x)在点P(x₀,y₀)处的切线的斜率｡在学生体验解题具体实施的细节过程后,进一步引导学生反思获得解题经验:当两曲线有公切线时,常设公切点解题简单易行｡这就是数学思想在学生反思细节中具体的体验和升华｡
　　
　　四､ 注重变通细节,升华数学思想
　　
　　学习数学,纠正变通和总结提高十分重要｡我们有的同学因为学习时间较紧或存在惰性心理,往往仅是完成任务式的解题,做完一道题就扔一道题,或马上再做下一题,仅仅局限在解题的基本层面上｡事实上,我们每做完一道题后都要注意思考总结,做好之后回想一下自己的解题思路,从中联想总结出这类问题的一般解题方法,尤其是做完重点例题､习题､难题后,更应从中掌握解题的方法,加以变通｡要求学生对于自己的学习态度､学习方法和认知行为不断分析､提炼､总结,实现多种解题方法的串通｡
　　
　　
　　细节是整体的细节,整体是细节的整体｡细节只有在涌动的具有生命化的课堂整体中才能彰显其价值｡在具体的解题教学中,需要我们的教师以敏锐的眼光和教学的机智关注与处理教学过程中的细节,及时捕捉学生心灵与言行中具有育人价值的细节,增强学生自我发展､自我完善的内趋力,在促进学生数学知识掌握与技能发展的同时,注重培养学生的情感､态度､价值观,让数学思想在学生的解题细节中得到不断升华｡
　　(责任编辑 刘永庆)