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回归：一种重要的数学教学策略
作者：钟志华
回归，汉语大辞典的解释是，“回还，返回”。而在西方，回归最早来自拉丁文recurrere(跑回来），它由再次发生（recur）的词义而来。
布鲁纳指出：“如果没有回归性，任何关于思想的理论都是无用的”，“一门课程在它的教学进展中，应反复地回到这些基本观念，以这些观念为基础，直到学生掌握了与这些观念相适应的完全形式的体系为止。”
1.回归是为了更好地抽象
抽象是为了使学生的认识从一个较低的层次提高到一个较高的层次，但是抽象既不能凭空进行，也不能单纯以抽象为目的。抽象必须有一个赖以产生的基础，否则抽象就只能是空中楼阁。这样，在进行教学时就应该准确把握学生认识的起点，然后再从起点开始进行抽象。事实上，数学学习的过程就是通过不断回归而达到不断抽象的过程，认识向前发展的过程中需要时时回首返顾，为了认识新知识需要首先复习巩固旧知识，为了同化新知识需要首先整理旧知识，为了顺应新知识需要首先改造旧知识，数学学习就是这样以核心概念或大观点为核心不断回归、不断扩大并最终形成丰富概念网络的过程。“这就好比搞建设，从基础上建设一层，就会发现基础需要加固一层。加固后再往上建设一层，又需要重新回过头来加固基础……，如此循环往复，不断上升，而由于顶端总是开发的、发展的，因此基础的加固也是无限扩大的，这样的循环往复不断，以至无穷。”
比如函数的单调性、奇偶性虽然属于代数问题，但如果仅仅局限于代数领域，学生可能虽有抽象感（感到抽象），但却未必能实现抽象化。但是我们在进行教学时如果能将其看作是几何问题的代数化，即首先将其还原为几何问题——对图形和图像的研究，把单调性看作是对图像上升（或下降）趋势的研究，而把奇偶性看作是对图形对称性的研究，然后再通过抽象化从几何问题上升为代数问题，即用代数语言来描述直观的几何图形或图像的性质，这样就能使学生的认识从一个较低的层次上升到一个更高的层次。
2.回归是为了更好地把握数学对象的本质
之所以要从当前的知识回到该知识所由产生的知识点——知识的生长点（它通常是一种原始的知识）上去是因为。
一方面，它可以加强与已有知识之间的内在联系。杜威指出，“有时思想的纷繁的相续，常常会使思考者离开出发点十分遥远，以致不能回溯到那出发点，但细细根究起来，总是有一个直接经验的情境在背后，是你所施的、所受的、所享的、所忍的，而决不单是所想的。思维即为此情境而起。”这里的情境就是知识的生长点，让思维回归到知识的生长点上去不仅可以使这一知识更好地固定在已经熟悉的知识点上，加强与已有知识之间的内在联系，缩短与已有知识点之间的联系路径，减少信息提取的时间，有助于知识更好地被保持。同时，它还可以丰富由知识生长点所构成的概念网络，建立更为丰富的意义家族相似网络，从而达到深化理解之目的。它可以避免由于思维序列过长或思维层次比较复杂而导致的思维困难。
另一方面，它可以促进对数学对象本质的更好把握。著名哲学家胡塞尔明确指出，“为了获得比较可靠的知识，显然需要进一步的还原，在自明的直观所给予的东西中区别出某种东西，这种东西的存在是绝对可靠的、无可置疑的。在这意义上，只有一种自明的、具有必然性真理的东西才能满足更为确定的知识的需要。”事实上，知识的生长点不仅是一切知识得以产生的起点以及建构其他知识的知识基础，而且知识的生长点本身又内涵着事物的本质以及揭开事物本质的钥匙。因此，只有尽量回归到知识产生的生长点才能真正认识由它所构成的知识的本质。
二、 怎么回归
通过反思！反思是立足于一个较高的层次或从一个较高的观点出发来对研究对象、研究过程甚至是研究者自己的思维过程进行思维的一种活动。
回归之所以需要反思，这是因为反思在回归性概念中是决定性的。小威廉姆E·多尔认为，“在回归中，反思发挥积极作用；因为思想要返回到自身，如杜威的间接经验返回到直接经验，或者皮亚杰的内省智力返回到实用智力，或者如布鲁纳所言的‘从自己所做的事中退后一步’，那么以某种方式区分自己与自己的思想——是必要的。”事实上，回归本身不是目的，回归的目的是为了更好地抽象化，如果不能实现抽象化，那么回归只是一种消极的回归，只能在原地徘徊，只能在低水平上重复。而要实现回归则需要立足于一个较高的层次或从一个较高的观点出发来对研究对象、研究过程甚至是研究者自己的思维过程进行思维，即通过反思才能实现。可以说没有反思，回归将失去灵魂，将失去其价值，回归就会变得肤浅并将最终退化为重复。为了更好地说明这一点，下面介绍几个例子。
1.回到定义
回到定义去是一种重要的教学策略。一些著名数学家，如帕斯卡(Pascal ) ，阿达玛(Hadamard)、波利亚(Polya)，都曾注意到并对它的意义给予了高度的评价。波利亚在其所著的《怎样解题》中指出，“回到定义上去是一项重要的思维活动，这是因为数学学习的本质不仅仅在于文字和符号的掌握，更重要的在于文字符号告诉我们的思想，以及这些思想所依据的生成思想的事实。通过回到定义上去，我们就可以寻求掌握隐藏在专业术语后面的数学对象间的真正联系。……而不至于轻易为文字所愚弄。”帕斯卡认为，“回到定义上去对于检验一个论证的有效性是重要的”，他提出了这样一条规则：“在心里用定义中的事实来代替被定义的术语”。阿达玛也强调，“回到定义上去对于思索出一个论证很重要。”
回到定义去也是一些有经验的教师经常采用的一种教学策略，这一策略的运用往往可以在山重水复之时突现柳暗花明。尽管使用这一教学策略的人未必知道其所以然，但如果能认识到这一策略的本质却可以更加理性地运用它。事实上，从前面的研究不难发现，“回到定义去”这一策略的实质就是首先回归定义——知识的生长点，然后再从定义出发顺藤摸瓜去探索所要解决问题的答案。为了更好地理解这一策略，我们来看一个具体例子。
例1：T是半圆O的直径BA延长线上一点，，直线L过T且垂直于直线AB，又M、N是半圆上的不同两点，MP⊥L于P，NQ⊥L于Q，。
分析：观察题中的已知条件，如果联想到抛物线的定义，则可以发现点M、N在某一抛物线上，而M、N同时又在以AB为直径的半圆上，故点M、N就是抛物线与半圆的交点。这样原来的问题就可以通过建立坐标系表示出|AM|、|AN|并通过计算来解决。（点评：这里通过回归定义发现了解题的思路）接着再考察要证的结论|AM|+|AN|=|AB|，发现这三条线段都有一个公共端点A，故联想到极坐标的定义，即它们可以看作是从焦点出发的三条线段，这样就可以通过建立极坐标系来证明结论。（点评：这里再次回归定义，它为我们选择合适的坐标系提供了很好的定向作用）
2.回到原型（原始问题）
在备课中我们常常发现，在进行某些知识的教学时，有些教师往往有自己偏好的原型或实例。如用“幸运52”游戏来引入二分法，用“多米诺骨牌”游戏来理解数学归纳法，用对号入座来理解映射概念，用寄信来理解函数概念，……。不仅如此，在教学过程中他们还经常围绕这些原型或实例来展开教学，他们往往会自觉或不自觉地回归到这些原型或实例上来，这实质上是回归性策略的不自觉地运用。
比如有一位教师在进行映射这一概念的教学时首先就提出了这样一个问题：“到教室去上课，学生与教室之间能不能建立对应关系呢？”，在解释“对集合A中的任何一个元素都有唯一的一个元素和它对应”这句话时，他又举了到教室去上课这一例子，他说：“这句话在我们的生活当中是什么意思呢？对，就是每一个人都要有教室而且是唯一的教室上课，而不能在太阳底下晒着”。而在解释“任何一个元素都要有唯一的像”这句话时，他再次举了去教室上课的例子，他说：“所谓唯一的像就是说在同一时间一个人只能在一个教室上课，而不能既在这个教室又在别的教室上课，除非这个人是孙悟空，有分身术…”。在讲到“集合B中的元素的原像可能不止一个”这句话时，他仍然采用上课的例子，他说：“还以到教室上课来比喻，大家都知道，一般来说，同时在同一个教室上课的学生往往不止一个，如果果真是那样的话，效率就太低了，这种情况在过去的私塾学堂可能会出现。”在讲到“集合B中每个元素都有原像”这句话时，这位教师依然采用上课的例子，他说，“这就好比在一个学校里每一个教室都有人在上课，而没有教室空着，这样，教室就可以被充分利用了。”而在说明什么是一一映射时，这位老师依然采用的上课的例子，他说：“这个一一映射呢？就好比是满勤，即在一个教室里每个人都有唯一座位可坐，同时教室里也没有空位置，这时学生和座位之间就建立了一一对应的关系。”像这样的教学，自始至终都围绕坐位子这一认知原型，既贴近学生生活，又可以很好说明映射的有关概念，而且语言风趣幽默，可以收到很好的教学效果。
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