首页 -> 2008年第7期
数学教学中引导学生深化理解的常用方法
作者：王德昌
1.挖掘法。即透过概念的字面表达，揭示概念的本质属性(内涵)。许多学生学习概念只满足于概念的形式化表达，不善于透过形式表达掌握概念的本质属性，因而运用时容易产生这样或那样的错误。讲授这些概念时，教师要有意识引导学生对概念的形式化表达进行挖掘，把握概念中的关键属性，以使学生正确使用概念。如奇函数的概念“如果对于函数f（x）定义域里的任一x都有f（-x）=-f（x），那么就称f（x）为奇函数。”教学实践中，许多学生、甚至部分教师十分注意理解定义中的等式f（-x）=-f（x），但却忽略了另一句话“对于函数f（x）定义域里的任一x”，未能深刻把握奇函数的概念的内涵。教师在分析概念时，应向学生指出：从函数f（x）定义域里的任取一个x，由等式f（-x）=-f（x）成立，就可以断定-x也在定义域里，而x，-x关于原点对称，于是，由x的任意性就可以知道奇函数的定义域是关于原点对称的。因此要判断一个函数是否奇函数，首先要看其定义域是否关于原点对称。如果定义域不关于原点对称，则它一定不是奇函数，无需验证等式f（-x）=-f（x）。
2.补例法。数学反映了客观世界许多事物的共同属性。由具体例子通过抽象得出数学概念，是数学课堂教学中建立概念的基本模式。具体例子越丰富，则学生的感性认识就越丰富，其对概念的理解就越深入。数学课堂教学中，建立概念后，为促使学生进一步理解概念，可继续由教师补充或学生列举一些新概念的具体例子。如:集合是高中数学的基本概念，理解这一概念的关键是掌握集合中元素的三性:确定性、互异性、无序性。为帮助学生深入理解集合概念，教师可以在教材基础上补充各种集合的例子，也可请学生举出若干集合的例子。
3.反例法。实践表明:从正反两方面理解概念可收到很好的效果。举反例，即是从反面理解概念的具体做法。对概念中学生易混、易错的部分，可通过举出反例予以强调。如学生常认为函数在某处连续，则在这一点也一定可导。实际上，连续未必可导。为使学生理解这一关系，除通过可导与连续的概念正面说明以外，还可以提供连续未必可导的具体例子。如函数在原点处连续，但在原点处不可导。
4.比较法。比较是人们认识事物的重要手段。将彼此相近的概念放到一起进行比较，有助于学生认识彼此的差异，强化对概念的本质属性的理解。如学生学习角的概念的推广时常将“第一象限角”、“小于90°的角”、“锐角”这三个概念搞混淆。为帮助学生区分清三个概念，可将三个概念进行比较，弄清它们的区别与联系。
5.变式法。即尽可能提供概念的不同的表达形式，引导学生认识不同形式的共同特征，把握概念的本质。如:学习充要条件的概念时，教师可引导学生从如下的不同角度理解概念。
(1)借助推断符号理解：?圳即等价于。
(2)借助“当且仅当”理解：如“两直线平行的充要条件，是同位角相等”就可以说成是“两直线平行当且仅当同位角相等”。
(3)借助“数学定义”理解；在数学中，只有A是B的充要条件才能用A去定义B，因此在每一个定义中，都包含一个充要条件。
(4)借助“集合相等”理解：若“A=B”，则A是B的充要条件。
6.运用法。掌握知识最好的办法是运用知识。建立一个概念后，教师可以及时出示一些紧扣概念的小问题，让学生思考解决。如学习椭圆的概念后，教师可以提出如下3道思考题，以巩固和加深对椭圆的概念的理解。
(1)已知F1（-■，0），F2（■，0），那么到F1，F2距离之和为3的点的轨迹是什么?
(2) 已知F1（1，-1），F2（-2，3） 那么到F1，F2距离之和为5的点的轨迹是什么?
(3)已知△ABC一边BC=6，周长为16，那么顶点A的轨迹是什么?
7.辨析法。即针对学生理解概念可能产生的错误，设计若干命题，让学生判断正误，并说明理由。通过辨析，纠正模糊认识。如:平面向量的数量积，是向量中的重要概念，学生常常由于对概念的本质(是一个数量)把握不到位，受实数的积的运算的影响，产生如下错误:
(1) a·（b·c）=（a·b）·c
(2)若a≠0，a·b=a·c则b=c
(3)若a·b=0则a=0，b=0至少有一个成立
为避免上述错误的发生，强化数量积概念的理解，教师可引导学生对上述可能的错误进行辨析，找出错误根源，杜绝类似错误。
8.直观法。有些概念本身比较抽象，因而给学生的理解带来困难。为帮助学生克服概念理解中的困难，教师可以提供与概念相关的直观模型，引导学生观察分析，深化对概念的理解。如“两条异面直线所成的角”是学生学习立体几何接触到第一个用平面化方法定义空间几何量的概念。由于学生初学立体几何，理解概念常会感到困难。为帮助学生理解这一概念，课堂教学中，教师可充分借助正方体直观模型，让学生观察模型，找出12条棱中的异面直线，并说出彼此所成的角。
9.比喻法。数学知识本身是冰冷枯燥的，但数学课堂教学不能冰冷枯燥。教师的教学就是要通过一定的途径，将数学知识的冰冷的学术形态转变为学生喜闻乐见的生动活泼的教育形态。借助生动形象的比喻可帮助学生加深对概念的理解。如许多学生对“方程的曲线”概念难以理解，可以打如下比方：两个人要成为父子关系，要有什么条件呢？一个要称另一个为儿子，同时，后一个要称前一个为父亲，如果只有一个承认，最多只能是单相思。这一妙趣横生的比喻，十分有助于学生理解这一抽象的概念。
10.联系法。数学知识来源于实际。现实生活是理解数学概念的重要阵地。联系实际理解概念是促进概念理解的重要途径。如导数的概念，具有深刻的实际背景。如汽车的瞬时速度，就是导数概念的现实模型，由汽车的瞬时速度引出导数概念，自然顺畅，学生容易理解。
（责任编辑刘永庆）
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