首页 -> 2008年第8期
浅谈中考规律探索题的解题策略
作者：顾广林
一、 抓住题目中的变量，进行计算尝试
找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量，所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。因此，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
数学规律，多数是函数的解析式。函数的解析式里常常包含着数学运算，所以，尝试着把变量和序列号放在一起，做一些计算，是解答规律题的好途径。
例1（沈阳）有一组数：1，2，5，10，17，26，……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。
简析：解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第8个数。我们把有关的变量放在一起加以计算：
给出的数：1，2，5，10，17，26，……
序列号：1，2，3， 4， 5，……
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号减1的平方再加1。因此，第n项是（n-1）2+1，第8项是（8-1）2+1。
若n＝449，则第449次“F运算”的结果是_____________________________。
解析：根据定义的“F”运算算几步：449→1352→169→512→1→8→1→1→8……，容易发现序列号与结果之间的规律，结果是8。
评析：所谓猜想归纳，是指通过对已给出的材料和信息作为研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律，它是发现和认识规律的重要手段。平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动的过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律。
二、 抓主要矛盾，善于比较
有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多，对题目作一番认真的分析，去粗取精，去伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。另外，通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
例3（韶关）按如下规律摆放三角形：
则第（4）堆三角形的个数为_____________；第（n）堆三角形的个数为_____________。
简析：这个题目，在给出的图形中，横向排列的三角形个数在变化，纵向排列的三角形个数也在变化，所以，需要进行比较的因素也比较多。就纵向而言，发现三角形个数依次增加一个。第1堆有2个，第2堆有3个，第（n）堆的个数就为n+1个。再来看横向排列的三角形，我们把三角形个数抽出来，就是3，5，7，……。这是奇数从小到大的排列。于是，问题便转化成求除1外的正奇数的表达式，即2n+1。于是第（n）堆三角形的个数就为（n+1）+（2n+1），即3n+2个。
例4（泉州）图（1）是一个黑色的正三角形，顺次连结它的三边的中点，得到如图（2）所示的第2个图形（它的中间为一个白色的正三角形）；在图（2）的每个黑色的正三角形中分别重复上述的作法，得到如图（3）所示的第3个图形。如此继续作下去，则在得到的第6个图形中，白色的正三角形的个数是。
简析：这一题，看上去内容比较多，白色三角形的个数似也不易发现规律，我们可以将序列号和白色三角形的个数放在一起加以比较，实际并不难。另外我们还可以发现，前一个图形中黑色三角形的个数就等于下一个图形中白色三角形的个数，因此，每个图形中白色三角形的增加个数就是前一个图形中黑色三角形的个数。
按此规律，本题第6个图形中白色三角形的个数为1+3+32+33+34=121
三、 抓住题目中隐藏的不变量
有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变。我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律。
例5（资阳）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5=_____________ 。
简析：本题中若学生能够找到△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍这一层关系，每一次操作后的三角形面积是操作前三角形面积的19倍这个面积变化的本质规律，之后的问题就会迎刃而解，易得S5=2476099。
四、 寻找事物的循环节
有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。
例6（潜江）根据下列图形的排列规律，第2008个图形是 （填序号即可）。
（①② ③ ④）
简析：通过观察可以发现，本题中的图形从第6个到第10个为一个循环节，以此规律总结下来，第2008个图形应该就是一个循环节中的第3个图形，故选③.
五、 从式子的特征找到突破口
数学语言是自然语言、符号语言、图像语言等的有机结合。分析函数或数列的特征，往往能找到解题的突破口。
例7（绍兴）如果一个序列an满足a1=2，an+1=an+2n（n为自然数），那么a100 =。
解析：a100 -a99=2×99，a99-a98=2×98，…，a2-a1=2×1，各式相加得a100 -a1=2（1+2+…99），从而a100 =9902。
点评：已知条件是数列的递推公式，本题的叙述方式采用了符号语言，具有高中代数的特征；另外解题方法也是数列问题中常用的方法，是整体思想的运用.这道试题的得分率极低，原因是学生看不懂题目的意思或解题方法想不到，在平时教学中要让学生适当接触用简洁的符号语言表述的题目以及一些需要创新的解题方法。
由于规律探索题能够增强学生的创造意识，提高学生的创新能力，因而成为中考的热点，这就启发广大数学教师必须注重过程教学，用科学的方法引导学生亲身参与、经历探索规律的过程，在这样的过程中让学生认识数学之美,感受探索的愉悦，逐步培养学生的独立探究能力。
（责任编辑刘永庆）
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