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数学与物理的发端 科学之王——数学
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古印度数学的传说
数学是最集中、最深刻、最典型地反映了人类理性和逻辑思维所能达到的高度，所以，11世纪大数学家、物理学家和天文学家高斯说：“数学是科学之王。”
话说在印度舍罕王时代，舍罕王发出命令：谁能发明一件让人娱乐，又要在娱乐中使人增长知识，使人头脑变得更加聪明的东西，本王就让他终身为官，并且皇宫中的贵重物品任其挑选。
于是乎，全国上下能工巧匠纷纷而动，发明创造的一件又一件东西被送到舍罕王的面前，但是没有一件让他满意。
这是一个风和日丽的早晨，舍罕王闲着无聊，便和众爱卿准备到格拉察湖去钓鱼。舍罕王忽然发现宰相西萨·班·达依尔没有同来，便问道：“宰相干什么去了？”
“宰相因宫中有一件事未处理好，正在那里琢磨呢。”一个大臣答道。
舍罕王没有追问下去，便拿起鱼竿钓起鱼来，众爱卿均忙乎着，于是，一枝枝长竿便同指湖心。
这时，小湖起着微微的涟漪，湖面在阳光照射下，闪烁出金刚钻、绿宝石般的光芒，耀得人直眨眼。垂柳的枝条沐浴在湖水之中，湖岸边长满了菖蒲。
不一会儿，薄云遮住了太阳，太阳仿佛骤然扭过脸去，不理睬小湖，于是湖泊、村庄和树林全都在刹那间黯淡下来；浮云一过，湖水便又闪闪发光，庄稼简直像镀上一层黄金。
舍罕王贪婪地吸着这乡野的新鲜空气，眼前的美景使他目不暇接，连鱼竿都横躺在湖面上了。正在这时，有人来报：宰相达依尔飞马来到。
达依尔匆匆下马，来到舍罕王的面前，禀道：“陛下，为臣在家中琢磨了许多天，终于发明了象棋，不知大王满意否？”
舍罕王一听此言，连忙说道：“什么象棋，赶快拿来看看。”
原来这位宰相有着超人的智慧和聪明的头脑，尤其喜爱发明创造以及严密的数学推理。他发明的象棋是国际象棋，整个棋盘是由64个小方格组成的正方形。
国际象棋共32个棋子，每方各16个，它包括王一枚、王后一枚、仕两枚、马两枚、车两枚、卒八枚。双方的棋子在格内移动，以消灭对方的王为胜。
舍罕王看到此物后，喜不胜收，连忙招呼其他大臣与他对弈，一时间，马腾蹄、卒拱动，车急驰，不一会，舍罕王大胜。
舍罕王于是打算重赏自己的宰相，便说道：“官不能再封了，你已做到顶了，如再要封，恐怕只有我让位了。现在重赏你财物，你要些什么？”
宰相“扑通”跪在国王面前说：“陛下，为臣别无他求，只请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给二粒，第三格内给四粒，第四格内给八粒。总之，每一格内都比前一格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给我，我就心满意足了。”
看来，这位聪明的宰相胃口并不大，于是国王说道：“爱卿，你所求的并不多啊，你当然会如愿以偿的。”
国王心里为自己对这样一件奇妙的发明，所许下的慷慨赏诺不致破费太多而暗喜。便令人把一袋麦子拿到宝座前。
计数麦粒的工作开始。第一格放一粒，第二格两粒……，还不到第 20格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前。
但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，开始是人扛，后来是马车拉，再后来，干脆一个粮库也填不满一个小格。很快就可以看出，即便拿来全印度的粮食，国王也兑现不了他对宰相许下的诺言了。
这到底是怎么回事，让我们来算一算这位宰相到底要多少麦粒：
2 3 4 6263
1+2+2+2+2+……+2+2
上面这个算式就是宰相所需要的麦粒，让我们用现代的数学方法算出其结果，即：
264 2 这个数字不像宇宙间的原子总数那样大，不过也已经够可观的。1蒲式尔（约35.2升）小麦约有500万颗，照这个数，那就得给宰相拿来四万亿蒲式尔才行。
这位宰相所要求的，竟是全世界在2000年内所生产的全部小麦！
这样一来，舍罕王觉得自己金言一出，又不能兑现，怎么办？一大臣献计，找个原因杀他的头。宰相西萨·班·达依尔的头就这样被献上数学的祭坛。
上面这个故事可能是前人所编，只是传说。但它说明一个问题，就是说古印度在数学科学方面，已有相当大的成就。
中国古代的数学
中国古代从“结绳记事”时起，就有了初步的数学。古代甲骨文、金文中就有了记数的符号。如有“1”、“11”、“+”等记数法，这些记号可从出土的彩陶上得到证实。
中国古代的进位制主要是十进位。无论是进位制还是长度都与古人的生理结构直接有关，如人的手指、脚趾都是十个等。
中国古代对“几何学”的认识也非常早，如他们使用的石器、骨器、陶器以及住宅、坟墓等，都具有一定的几何形状。
中国古代原始社会晚期对数和形的初步认识，以及他们制做各种形状并有一定比例的用具时，就出现了初等数学的萌芽。
到了夏、商、周时期，我国的记数方式以十进位的方式从一记到万。如用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等的组合来记十万以内的自然数。
在这一时期，商代的数学系统比古巴比伦、古埃及同时代更先进、更科学。
大约在西周时期，出现了一种十分重要的计算方法——筹算。筹算是用算筹来进行的。算筹是圆形竹棍，直径约0.2厘米，长约14厘米，以271根为一“握”。
在这一时期，还出现了简单的四则运算，这在数学史上，应该说是一件非常了不起的事情，是一个创举。
而春秋战国时期数学的进步主要表现在四则运算的完善和计算工具的进步方面。如在出土的战国楚墓里，有一个竹筒，内装毛笔、铜削、天平、砝码、算筹等。
总之，当时在数学上既有工具，又有符号，还有部分口诀，如把这些成就和其他地区比较，可以明显看出是处于先进地位。
到了秦汉时期，我国的数学科学有了重大进步，这表现在许多数学专著的出现。这一时期，有我国最早的天文数学专著《周髀算经》、《九章算术》等。
在《周髀算经》中，有一段被尊为古代圣人的周公同一个名叫商高的数学家的对话，在对话中就提到了勾股弦定理，也即毕达哥拉斯定理。
这个定理，就是“直角三角形斜边平方等于两个直角边平方之和”，这个定理在中国也被称作是“商高定理”。
下面简要介绍商高定理部分，周公和商高的部分对话：
周公：“我听说你很精通数的艺术。可否请您谈谈古人是怎样测定天球度数的？没有一种梯子可以使人攀登上天，地也无法用尺来测量。这些数据从何而来？”
商高：“数的艺术从圆形和方形开始，圆形出自方形，而方形又出自矩形，矩形出自9×9=81这个事实。
“假如把矩形的对角线切开，让宽等于3个单位长，长等于4个单位，那么对角线的长度就是5个单位。古代大禹用来治理天下的方形，就是从这些数字中发展出来的。”
周公感叹地说：“数学这门艺术真是了不起啊！我想再请教怎样应用直角三角尺？”
商高：“使直角三角尺平卧在地上，可以用绳子设计出平直的和方形的工程。把直角三角尺竖立起来，可以测量高度。倒立的直角三角尺可以用来测量深浅，而平放着就可以测量距离。让它旋转，就可以画圆；把几个合起来，就可以得到正方形和长方形。”
周公：“这真是太奇妙了！”
《周髀算经》的伟大不仅仅在于对数学知识的阐述，更重要的是在占星术和卜筮占支配地位时，他们在讨论天地现象时，却丝毫不带有迷信色彩！
这部数学专著还谈到日影、不同纬度上日影的长度差、用窥管测量太阳直径等等，还列出了一年中各个节气的日影长度表。
《九章算术》
和《周髀算经》几乎同时，还有一部数学专著，科学史上称它为《九章算术》，这是我国第一部最重要的数学专著。
《九章算术》大约成书于东汉初年，书中载有246个应用题目的解法，涉及到算术、初等代数、初等几何等多方面内容。
其中所载述的分数四则运算、比例算法、用勾股定理解决一些测量中的问题等，都是当时世界最高科学水平的工作。而关于负数的概念和正负数加减法则的记载，也是世界数学科学史中最早的。
书中还讲述了开平方、开立方、一元二次方程的数值解法、联立一次方程解法等许多问题。《九章算术》在我国古代数学史上有很大影响，在世界数学史上也占有重要地位。
《九章算术》大致可分为9个方面内容：
（1）土地测量。书中列有直角三角形、梯形、三角形、圆、弧与环形等，并给出计算这些形状面积的方法。
（2）百分法和比例，根据比例关系来求问题答案。
（3）算术级数和几何级数。
（4）处理当图形面积及一边长度已知时，求其他边长的问题。还有求平方根、立方根等问题。
（5）立体图形体积的测量和计算，实际计算的有墙、城墙、堤防、水道和河流等。
（6）解决征收税收中的数学问题。像人们从产地运送谷物到京城交税所需的时间等有关问题，还有按人口征税的问题。
（7）过剩与不足的问题。也就是解决ax+b=0的问题。
（8）解方程和不定方程。
（9）直角三角形的性质。
在“直角三角形的性质”这一章中，有这样一个问题：
一个水池，长宽各一丈，有棵芦苇生在池中央，芦苇出水面一尺高，让芦苇倒向池边，正好芦苇尖与池边平齐。问水有多深？
这个问题后来又见于印度的数学著作中，又传到了中世纪的欧洲。解决此问题只有利用相似直角三角形来完成。
《九章算术》对中国古代数学发生的影响，正像古希腊欧几里得《几何原本》对西方数学所产生的影响一样，是非常深刻的。
在此后的一千多年的时间里，它一直被直接作为教科书使用。日本、朝鲜也都曾用它作教科书。各代学者都十分重视对这部算书的研究，在欧洲和阿拉伯的早期数学著作中，过剩与不足问题的算法，就被称为“中国算法”，可见其独创性。
我国古代杰出的数学家
到了三国两晋南北朝时代，我国的数学科学已闪烁着耀眼的光芒，出现了历史上杰出的数学家刘徽和祖冲之。这两个不朽的人物为我国数学奠定了牢固的基础。
先说刘徽，他是三国时代魏国人。关于他的身世和生平事迹，由于资料有限，我们了解得很少。他的活动区域大致在山东半岛和江苏北部一带。
刘徽自幼熟读《九章算术》，在魏陈留王景元四年（263）前后，为我国古代数学经典著作《九章算术》作注，做了许多创造性的数学理论工作，对我国古代数学体系的形成和发展影响很大，在数学史上占有突出的地位。
《九章算术》体现了中国古代自先秦到东汉以来的数学成就。但当时没有发明印书的方法，这样好的书也只能靠笔来抄写。
在辗转传抄的过程中，难免会出现很多的错误，加上原书中是以问题集的形式编成，文字过于简单，对解法的理论也没有科学的说明。这种状况明显地妨碍了数学科学的进一步发展。
刘徽为《九章算术》作注，在很大程度上弥补了这个重大的缺陷。在《九章算术注》中，他精辟地阐明了各种解题方法的道理，提出了简要的证明，指出个别解法的错误。
尤其可贵的是，他还做了许多创造性的工作，提出了不少远远超过原著的新理论。可以说，刘徽的数学理论工作为建立具有独特风格的我国古代数学科学的理论体系，打下了坚实的基础。
刘徽在《九章算术注》中，最主要的贡献是创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，开创了圆周率研究的新阶段。
圆周率即圆的周长和直径的比率，它是数学上的一个重要的数据，因此，推算出它的准确数值，在理论上和实践上都有重要的意义和贡献。
在世界数学史上，许多国家的数学家都曾经把圆周率作为重要研究课题，为求出它的精确数值作了很大努力。在某种意义上说，一个国家历史上圆周率精确数值的准确程度，可以衡量这个国家数学的发展情况。
《九章算术》原著中，沿用自古以来的数据，即所谓“径一周三”取π=3，这是很不精确的。到了后来，三国时期的王蕃（230～266）采用了3.1566，这虽然比“径一周三”有了进步，但仍不够精密，而且也没有理论根据。
怎样才能算出比较精密的圆周率呢？刘徽苦苦地思索着。
一天，刘徽信步走出门去，去大自然呼吸新鲜的空气。在他的眼前，群山绵绵不断地伸展开去，好像数学哲理似的奥妙莫测。
刘徽的思路仿佛进人群山的巍峨中，鉴证着大自然的不可思议的创造。刘徽抬眼望去，远处一个高耸入云的顶峰上，有一座小小的庙宇，他猜测着，数学的殿堂是不是也和这庙宇一样，风光而又曲折。
一阵叮叮当当的响声引起了刘徽的注意，他朝着响声走去，原来这是座石料加工场。这里的石匠师傅们正把方形的石头打凿成圆柱形的柱子。
刘徽颇感有趣，蹲在石匠师傅的身边认真地观看着。只见一块方石，经石匠师傅砍去四角，就变成一块八角形的石头，再去掉八角又变成十六角形，这样一凿一斧的干下去，一方形石料加工成光滑的圆柱了。
刘徽恍然大悟，马上跑回家去，认真地在地上比划着，原来方和圆是可以互相转化的。
他把一个圆周分成相等的6段，连接这些分点组成圆内正六边形，再将每一分弧二等分，又可得到圆内接正12边形，如此无穷尽地分割下去，就可得到一个与圆完全相合的正“多边形”。
刘徽由此指出：圆内接正多边形的面积小于圆面积，但“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”
这段话包含有初步的极限思想，思路非常明晰，为我国古代的圆周率计算确立了理论基础。
综合上面的论述，刘徽实际上建立了下面的不等式：
S＜S＜S+（S-S）
2n 2n 2n n
这里S是圆面积，S、S是圆内接正多边形的面积，n是边数。
2n n
刘徽使用了这个方法，从圆内接正6边形算起，边数依次加倍，直到正
192边形的面积，得到的圆周率π的近似值是157/ 50，这相当于π= 3.14 。
他还继续计算，直到求出了正3072边形的面积，进一步得到π的近似值
是3927 / 1250，这相当于π= 3.1416。
3.14和3.1416这两个数据的准确程度比较高，在当时世界上是很先进的数据。
刘徽还明确地概括了正负数的加减法则，提出了多元一次方程组的计算程序，论证了求最大公约数的原理，对最小公倍数的算法也有一定的研究。
这些都是富有创造性的成果，因此可以说，刘徽通过注解《九章算术》，丰富和完善了中国古代的数学科学体系，为后世的数学发展奠立了基础。
刘徽撰写的《重差》，原是《九章算术注》的第十卷，后来单独刊行，被称作 《海岛算经》。这是一部说明各种高度或距离的测量和计算方法的著作。就是关于几何测量方面的著作。
有一次，刘徽和朋友们到海边去散步，刘徽抬眼望去，那是一片伟丽而宁静的、碧蓝无边的海。它在眼光所及的远处，与淡蓝色的云天相连。
微风爱怜地抚摸着海的绸缎似的胸膛，太阳用自己的热烈的光线温暖着它。而海，在这些爱抚的温柔力量之下睡梦似的喘息着，使沸热的空气充满了蒸发的盐味。
淡绿的波浪跑到黄沙上来，抛掷着雪白的泡沫，吻着刘徽及朋友们的脚，刘徽心旷神怡，索性坐在沙滩上，让那微咸的海水润湿着裤脚。
这时，一个朋友指着茫茫大海中耸立着的一座孤岛问道：“谁知道小岛有多高？多远？”另一朋友想了想：“只要准备一只小船和足够的绳子，我就能量出小岛的距离和高度。”
众人哄地笑了起来，这得需要多少绳子，即使给你绳子，你也量不出小岛的距离和高度。因为绳子有伸缩性，而小岛有斜坡。再说，这办法也太笨了。
这时，刘徽在一旁沉默不语，有人请他发表意见。刘徽说：“我根本不需要到小岛去，只需两根竹竿，即可量出它的高和远。”
朋友们睁大双眼愣愣的望着刘徽，刘徽见朋友不相信他，便在水滩上画出图来。
然后解释道：“在岸边垂直竖立两根一样长的杆子GH和EF，使它们与小岛AB位于同一方向上，然后分别在与两杆顶E、G与岛尖A成一直线的地面C和D点作记号，便可以了。
这样一来CF、DH、HF、EF的长度我们都可量出来，现在来算出岛的距离BF和岛的高度AB，刘徽算出的结果是：
EF ×HF
AB DH CF ×HF
BF DH 具体怎样计算，我们就不再一一赘述了，读者诸君如有兴趣的话，不妨一试，来证明刘徽的公式。
刘徽在《九章算术注》的自序中说：“事类相类，各有攸归。故枝条虽分，而同本干者，知发其一端而已。”
刘徽的研究方法和研究成果对我国古代数学的发展产生了非常深刻的影响，为我国数学科学史增添了光辉的一页。
近年来，国内外出版了许多种关于研究的专集和专著，他的《九章算术注》和《海岛算经》被翻译成许多国家的文字，向世界显示了中华民族灿烂的古代文明。
刘徽之后的200年，我国南北朝时期又出现了一位大科学家祖冲之。他认为刘徽采用割圆术只算到正3072边形就停止了，得出的结果还是不够准确。
如果能在刘徽3072边形的基础上割之又割，作出6144、12288……边形，不就可以求出更精确的圆周率吗？
祖冲之不满足于前人的成就，决定攀登新的高峰。他通过长期刻苦钻研，在儿子祖暅的协助下，反复测算，终于求得了精确度更高的圆周率。
《隋书·律历志》记载了他的成就：
“宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒7忽
（3.1415927丈），朒数3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒6忽
（3.1515926丈），正数在盈朒之间。密律：圆径113，圆周355。约律：圆径7，周23。”
从上述文字记载来看，祖冲之对圆周率贡献有3点：
1.计算出圆周率在3.1415926到3.1415927之间，即3.1415926＜π＜3.1415927，在世界数学史上第一次把圆周率推算准确到小数点后7位。
这在国外直到1000年后，15世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西计算到小数16位，才打破祖冲之的纪录。
2.祖冲之明确地指出了圆周率的上限和下限，用两个高准确度的固定数作界限，精确地说明了圆周率的大小范围，实际上已确定了误差范围，这是前所未有的。
3.祖冲之提出约率20/7和密率355/113。这一密率值是世界上第一次提出，所以有人主张叫它“祖率”。在欧洲，德国人奥托和荷兰人安托尼兹得到这一结果，已是16世纪了。
祖冲之是怎样得出这一结果的呢？他应该是从圆内接正 6边形、12边形、24边形……一直计算到12288边形和24576边形，依次求出它们的边长和面积。
这需要对有9位有效数字的大数进行加减乘除和开方运算，共一百多步，其中近50次的乘方和开方，有效数字达17位之多。
当时，数字运算还没有用纸、笔和数码，而是用落后的筹算法。通过纵横相间的小竹棍来演算，可见祖冲之付出多么艰巨的劳动，需要具备多么严肃认真的精神。
祖冲之和他的儿子祖暅还用巧妙的方法解决了球体积的计算问题。在他们之前，《九章算术》中已经正确地解决了圆面积和圆柱体体积的计算问题。
但是在这本书中，关于球体积的计算公式却是错误的。刘徽虽然在《九章算术注》中指出了这个错误，但是也未能求出球体积的计算公式。
200年后，祖冲之父子继续刘徽的工作，在我国数学史上第一次导出了正确的球体积公式。值得注意的是，祖暅在推算求证的过程中，得出了“等高处的横截面积相等，那么二个立体的体积必然相等”的结论。
这个问题在1000年后才由意大利数学家卡瓦列利提出，被人称为“卡瓦列利定理”，其实我们完全有权利称它为“祖暅定理”。
祖冲之父子的研究成果汇集在一部名叫 《缀术》的著作中，被定为“十部算经”之一。可惜的是，到了宋朝以后，这部伟大的著作就失传了。
祖冲之的科学成就，在我国以至世界科学技术发展史上，将永远放射光芒。为了纪念这位伟大的科学家，国际上把月球背面的一个山谷，命名为“祖冲之”，可见人们对祖冲之的敬仰。
李淳风与数学
到了隋唐五代时期，数学科学有了较大的发展，在这一时期，国家创办的学校中设置了数学教育，在科举中有“明算科”。
在数学教育时，学生主要学习十部算经：《九章算术》、《海岛》、《孙子》、《五曹》、《张邱建》、《夏侯阳》、《周髀算经》、《五经算》、
《缀术》、《缉古算经》等。
其中《缉古算经》是唐代著名数学家王孝通的专著，其他算经均是前人所著。在《缉古算经》中，王孝通已经提出解三次（高次）方程的问题。
在数学科学上有特出贡献的要算是唐高宗时代的李淳风。他的贡献倒不是在数学上有多大才能，而是注释和校核了《算经十书》。
唐朝初年，统治者为了培养能够胜任计算工作的低级官员，决定开设专门考试数学的“明算科”。并在国子监中设置算学馆，招收“算学生”学习数学。
一开始，考试和学习都没有统一教材，于是李淳风奉命与梁述等人一起编辑整理一套规范的数学教材，它们就是我们上面介绍的十部算经。
这是一项十分艰巨的工作，因为这些书不是成于一时一世，古代又没有发明印刷术，全凭人手来抄，工程巨大。
另外，由于时代的局限性，古人的著作中也难免会有一些错误，如果完全照搬下来岂不是误人子弟？
因此，李淳风在这项工作中，不但对各种抄本进行了认真的核对，而且还校正了若干错误，为当时的“算学生”和后人的学习带来了极大的便利。
更重要的是，他把自己对某个数学问题的见解与其他后学者的科学成就以注解的形式附于有关正文之后，为中华民族的文化宝库保存了不少瑰丽的珠宝。
其中最有代表性的要算祖暅推导球体积公式的记载，原来祖暅的成就和祖冲之一起被记载在 《缀术》中，但后来《缀术》失传，只能从李淳风的注释中得知。
纵观中国古代数学，自《九章算术》成书后出现了两个高潮期：一是我们前面说过的魏晋南北朝，一是我们马上就要谈到的宋朝和元朝。
在第一个高潮期，以“算经十书”为代表的中国古代数学体系已经形成；第二个高潮期将要出现一系列具有世界意义的成果。李淳风正是处于这两个高潮期之间的一个最为关键的人物。
设想一下，如果没有唐初李淳风校注的“算经十书”，可能也不会有北宋年间的大量的刊刻算书和数学知识的普及，那么宋元时代的数学发展也许会推迟。
因此，李淳风在中国数学史上占有不容忽视的地位。
另外，隋唐五代时的应用数学发展较快，在历法和天体的计算中，徐昂于公元822年创立了二次内插法，并把数学用于税收、工商业活动的大量的实际计算中。
秦九韶的高次方程
公元1819年7月1日，英国人霍纳在皇家学会宣读了一篇数学论文，提出了一种解任意高次方程的巧妙方法，一时引起了英国数学界的轰动。
由于这一方法有其独到之处，而且对数学科学有很大的推进作用，因而这一方法被命名为“霍纳方法”。
但是没过多久，意大利数学界就提出了异议，因为他们发现自己的同胞鲁菲尼已在15年前就得到了同样的方法，只是没有及时地报道罢了。
因此，意大利数学界要求将这一数学方法命名为“鲁菲尼方法”。于是英、意双方开始了喋喋不休的争论。
正巧，有个阿拉伯人前往欧洲，听到了双方的争论后，不置可否地大笑起来。争论双方问他，为何这般嘲笑。
这位阿拉伯人从背包中掏出一本书，递与争论双方，说道：“你们都不要争了，依我看来，这个方法应该称作 ‘秦九韶方法’”。
他们这才知道，早在570多年前，有个叫秦九韶的中国人就发明了这种方法。双方觉得他们的这场争论已显得毫无意义了。
秦九韶，生于1202年，南宋普州安岳（今四川安岳）人。他自幼随做官的父亲周游过许多地方。20岁的时候，秦九韶随父亲来到南宋的都城——临安（今杭州）。
秦九韶被父亲送到掌管天文历法的大史院学习。在这里，他了解了制定历法的一些基本算法和理论依据，这对于他后来写作著名的《数书九章》大有益处。
后来他回到四川老家，在一个县城里当县尉，这时，北方的元兵大举进犯，战乱频繁。他在这种动乱的环境中度过他的壮年。后来他在《数书九章》中写了“天时”和“军旅”等问题，想必与这段生活有关。
过了几年，秦九韶的母亲去世了，他按照封建社会的传统，回家为母亲守孝三年。正是在这段时间里，秦九韶完成了他的辉煌的数学著作——《数书九章》。
《数书九章》共分九大类，每类各有九题，全书共有81道数学题目，内容包括天时、军旅、赋役、钱谷、市易等类问题。
在这81道题目中，有的题目比较复杂，但题后大多附有算式和解法。正是在这些解法中包含着许多杰出的数学创造，高次方程的解法就是其中最重要的一项。
高次方程就是未知数的最高次幂在3次以上的。对于一元二次方程，我们可以用求根公式来解，三、四次的求根公式很复杂，至于五次以上的方程，那就没有求根公式。
那么用什么办法来解决呢？秦九韶创造的这种解法是一种近似的解法，但是它能够把结果算到任意精确的程度，只要你按照一些简单的程序，反复地进行四则运算即可。
除了高次幂方程的解法之外，这本书中的另一项伟大成就是关于同余式方面的工作。什么叫同余式呢？
我们还是从“韩信点兵”的故事来说起：传说汉代开国功臣韩信有一次到练兵场，只见军士们龙腾虎跃，你来我往，好不热闹。
韩信问带兵的军官：“你们这里共有多少士兵？”
军官说：“人太多太乱，数不准确。”
韩信说：“你把令旗给我，我来给你点数。”
军官一听，慌忙将令旗奉上，只见韩信挥起令旗，命令道：“排一长队。”
韩信见军士们已排好长队，便交待道：“先从1到3报数，再从1到5报数，最后从1到7报数。报完后，把剩余的人数告诉我，我便知总的军士人数。
于是，军士们便认真地报起数来，第一报数后余2；第2报数后余3，第3报数后余2，韩信掐指一算，共计233人。
其实，“韩信点兵”问题又叫“孙子问题”，最早出现在公元4世纪的数学著作《孙子算经》中。原来的问题是这样表述的：
“有物不知其数，三个一数余2，五个一数余3，七个一数余2，问该物总数几何？”
这个问题按照现在的人可以列出方程来：设总数为N，X为3人一数的次数，Y为5人一数的次数，Z为7人一数的次数，则：
N=3x+2 N=5y+3 N=7z+2
三个方程式，但却有四个未知数，这就叫不定方程。解不定方程在现代数论中有一个著名定理：剩余定理。
但这个问题出现在公元4世纪的中国算书中，他们虽然给出了算法，但却没有明确地表述和证明这个定理。
到公元13世纪，大数学家秦九韶集前人之大成，在同余式的研究上获得了超越前人的成果。
什么叫同余式呢？在上面的故事中，如果三人一组剩2人，那么总人数可能是5、是8、也可能是11……。
换句话说，5、8、11……这些数被3除后余数相等，那么我们就说5、8、11……等数对于3是同余的，用数学符号写出来就是5≡8≡11（mod3），这个式子叫同余式。
秦九韶在写作《数书九章》时，把当年在太史局学到的天文学知识与《孙子算经》的数学问题结合起来，发展了同余式的理论和算法，从而圆满解决了韩信点兵之类问题。
秦九韶还有许多数学创造，他是世界上最早提出十进小数概念和表示法的人。他还独立地推导出已知三边求三角形面积的公式：
1 2 2 a2 S 4 2
秦九韶在多元一次方程组和几何测量方面也有创新。他是世界上最伟大数学家之一，《数书九章》标志着中国的古代数学达到了一个新的高峰。
杨辉与数学
宋元数学四大家之一的杨辉，他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。
说起杨辉的这一成就，还得从偶然的一件小事说起。
一天，台州府的地方官杨辉出外巡游，路上，前面铜锣开道，后面衙役殿后，中间，大轿抬起，好不威风。
迷人的春天慷慨地散布着芳香的气息，带来了生活的欢乐和幸福。杜鹃隐藏在芒果树的枝头。用它那圆润、甜蜜、动人心弦的鸣啭来唤醒人们的希望。
成群的画眉鸟像迎亲似的蹲在树的枝丫上，发出婉丽的啼声。楝树、花梨树和栗树都仿佛被自身的芬芳熏醉了。
杨辉撩起轿帘，看那杂花生树，飞鸟穿林，真乃春色怡人淡复浓，唤侣黄鹂弄晓风。更是一年好景，旖旎风光。
走着、走着，只见开道的镗锣停了下来，前面传来孩童的大声喊叫声，接着是衙役恶狠狠的训斥声。杨辉忙问怎么回事，差人来报：“孩童不让过，说等他把题目算完后才让走，要不就绕道。”
杨辉一看来了兴趣，连忙下轿抬步，来到前面。衙役急忙说：“是不是把这孩童哄走？”
杨辉摸着孩童头说：“为何不让本官从此处经过？”
孩童答道：“不是不让经过，我是怕你们把我的算式踩掉，我又想不起来了。”
“什么算式？”
“就是把1到9的数字分三行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都是等于 15。我们先生让下午一定要把这道题做好。我正算到关键之处。”
杨辉连忙蹲下身，仔细地看那孩童的算式，觉得这个数字，从哪见过，仔细一想，原来是西汉学者戴德编纂的《大戴礼》书中所写的文章中提及的。
杨辉和孩童俩人连忙一起算了起来，直到天已过午，俩人才舒了一口气，结果出来了，他们又验算了一下，觉得结果全是15，这才站了起来。我们把
4 9 2
3 5 7
8 1 6算式摆出来：
（在左边的方块中，无论你横、竖、斜着加结果都是15。请试一下）
孩童望着这位慈祥和善的地方官说：“耽搁你的时间了，到我家吃饭吧！”
杨辉一听，说：“好，好，下午我也去见见你先生。”
孩童望着杨辉，泪眼汪汪，杨辉心想，这里肯定有什么蹊跷，温和地问道：“到底是怎么回事？”
孩童这才一五一十把原因道出：原来这孩童并未上学，家中穷得连饭都吃不饱，哪有钱读书。而这孩童给地主家放牛，每到学生上学时，他就偷偷地躲在学生的窗下偷听，今天上午先生出了这道题，这孩童用心自学，终于把它解决了。
杨辉听到此，感动万分，一个小小的孩童，竟有这番苦心，实在不易。便对孩童说：“这是10两银子，你拿回家去吧。下午你到学校去，我在那儿等你。”
下午，杨辉带着孩童找到先生，把这孩童的情况向先生说了一遍，又掏出银两，给孩童补了名额，孩童一家感激不尽。自此，这孩童方才有了真正的先生。
教书先生对杨辉的清廉为人非常敬佩，于是俩人谈论起数学。杨辉说道：
“方才我和孩童做的那道题好像是《大戴礼》书中的？”
那先生笑着说：“是啊，《大戴礼》虽然是一部记载各种礼仪制度的文集，但其中也包含着一定的数学知识。方才你说的题目，就是我给孩子们出的数学游戏题。”
教书先生看到杨辉疑惑的神情，又说道：“南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履，一五居中央。”
杨辉默念一遍，发现他说的正与上午他和孩童摆的数字一样，便问道：
“你可知道这个九宫图是如何造出来的？”
教书先生也不知出处。杨辉回到家中，反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄着这些数字，终于发现一条规律。
他把这条规律总结成四句话：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：一开始将九个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横三行，就构成了九宫图。
下面我们演示一下：
（九子斜排）（上下对易，左右相更）（四维挺出）
按照类似的规律，杨辉又得到了“花16图”，就是从1到16的数字排列在四行四列的方格中，使每一横行、纵行、斜行四数之和均为34。读者诸君，不妨一试。
后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”、“易数图”、“九九图”、
“百子图”等许多类似的图。
杨辉把这些图总称为纵横图，并于1275年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，并流传后世。
纵横图，也叫幻方，它要求把从1到n个连续的自然数安置在n个格子
2 2
n(1里，使纵、横、斜各线上的数字和等于 ，这其中包含着很深刻的道
2理。
但长期以来，人们习惯于把它当作纯粹的数学游戏，没有给予应有重视。随着近代组合数学的发展，纵横图显示了越来越强大的生命力，在图论、组合分析、对策论、计算机科学等领域中，找到了用武之地。
杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了其构成规律的数学家。
杨辉除此成就之外，还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”。
有一次，杨辉得到一本《黄帝九章算法细草》，这是北宋数家贾宪写的。这里面有不少了不起的成就，如贾宪描画了一张图，叫作“开方作法本源图”。
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
图中的数字排列成一个大三角形，位于两腰上的数字均是1，其余数字则等于它上面两数字之和。
从第二行开始，这个大三角形的每行数字，都对应于一组二项展开式的系数，下面试举例说明：
3 3 2
在第三行中，1、3、3、1，这4个数字恰好是对应于（X+1）=X+3X+3X+1；
4 4 3 2
再如第四行对应于 （X＋1）=X+4X+6X+4X+1。以此类推。
杨辉把贾宪的这张画忠实地记录下来，并保存在自己的《详解九章算术》一书中。
后来人们发现，这个大三角形不仅可以用来开方和解方程，而且与组合、高阶等差级数、内插法等数学知识都有密切关系。
在西方，直到16世纪才有人在一本书的封面上绘出类似的图形。法国数学家巴斯加在1654年的论文中详细地讨论了这个图形的性质，所以在西方又称“巴斯加三角”。
杨辉除上述成就外，还分别写了《日用算法》、《乘除通变本末》和《田亩比类乘除捷法》等书，这为后世的人们了解当时的数学面貌提供了极为重要的资料。
杨辉的几部著作极大地丰富了我国古代数学宝库，为数学科学的发展做出了卓越的贡献，他不愧为“宋元四大家”之一。
朱世杰的 《四元玉鉴》
朱世杰是元朝一位杰出的数学科学家。
朱世杰，字汉卿，号松庭，燕山 （今北京）人氏。他长期从事数学研究和教育事业，以数学名家周游各地20多年，四方登门来学习的人很多。他的主要著作有《算学启蒙》三卷和《四元玉鉴》三卷。
说起朱世杰周游各地，这里还有一段鲜为人知的佳话，我们把这段佳话介绍给读者。
13世纪末，历经战乱的祖国为元王朝所统一，遭到破坏的经济和文化又很快繁荣起来。蒙古统治者为了兴邦安国，便尊重知识，选拔人才，把各门科学推向新的高峰。
有一天，风景秀丽的扬州瘦西湖畔，来了一位教书先生，在寓所门前挂起一块招牌，上面用大字写着：“燕山朱松庭先生，专门教授四元术”。
不几天，朱世杰门前门庭若市，求知者络绎不绝，就在朱世杰在接待学生报名之时，突然一声声叫骂声引起他的注意。
只见一穿绸戴银半老徐娘，追着一年轻的姑娘，边打边骂：“你这贱女人，大把的银子你不抓，难道想做大家闺秀，只怕你投错了胎，下辈子也别想了。”
那姑娘被打得皮开肉绽，连内身衣服都被撕坏了。姑娘蜷成一团，任凭她打，也不跟她回去。
朱世杰路见不平，便上前询问，那半老徐娘见冒出一个爱管闲事之人，就嘲笑道：“你难道想抱打不平，你送上50两银子，这姑娘就归你了！”
朱世杰见此情景，大怒道：“难道我掏不出50两银子。光天化日之下，竟胡作非为，难道没有王法不成？”
那半老徐娘讽刺道：“你这穷鬼，还谈什么王法，银子就是王法，你若能掏出50两银子，我便不打了。”
朱世杰愤怒已极，从口袋里抓出50两银子，摔在半老徐娘面前，拉起姑娘就回到自己的教书之地。
原来，那半老徐娘是妓女院的鸨母，而这姑娘的父亲因借鸨母的10两银子，由于天灾，还不起银子，只好卖女儿抵债。今天碰巧遇上朱世杰，才把姑娘救出苦海。
后来，在朱世杰的精心教导下，这姑娘也颇懂些数学知识，成了朱世杰的得力助手，不几年，两人便结成夫妻。
所以，扬州民间至今还流传着这样一句话：
元朝朱汉卿
教书又育人
救人出苦海
婚姻大事成
上面这段佳话是不是事实，已不好考证，但说明了朱世杰在做学问的同时，还有着一颗慈爱的心。
再说朱世杰在数学科学上，全面地继承了秦九韶、李冶、杨辉的数学成就，并给予创造性的发展，写出了《算学启蒙》、《四元玉鉴》等著名作品，把我国古代数学推向更高的境界，形成宋元时期中国数学的最高峰。
《算学启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（1299）刊印的，全书共三卷，20门，总计259个问题和相应的解答。
这部书从乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。
它的体系完整，内容深入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。这部著作后来流传到朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。
而《四元玉鉴》更是一部成就辉煌的数学名著。它受到近代数学史研究者的高度评价，认为是中国古代数学科学著作中最重要的、最有贡献的一部数学名著。
《四元玉鉴》成书于大德七年（1303），共三卷，24门，288问，介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法——四元术，以及高阶等差级数的计算——垛积术、招差术等方面的研究和成果。
“天元术”是设“天元为某某”，即某某为x。但当未知数不止一个的时候，除设未知数天元（x）外，还需设地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次联方程组，然后求解。
这在欧洲，解联立一次方程开始于16世纪，关于多元高次联立方程的研究还是18至19世纪的事了。
朱世杰的另一重大贡献是对于“垛积术”的研究。他对于一系列新的垛形的级数求和问题作了研究，从中归纳为“三角垛”的公式，实际上得到了这一类任意高阶等差级数求和问题的系统、普遍的解法。
朱世杰还把三角垛公式引用到“招差术”中，指出招差公式中的系数恰好依次是各三角垛的积，这样就得到了包含有四次差的招差公式。
他还把这个招差公式推广为包含任意高次差的招差公式，这在世界数学史上是第一次，比欧洲牛顿的同样成就要早近4个世纪。
正因为如此，朱世杰和他的著作《四元玉鉴》才享有巨大的国际声誉。近代日本、法国、美国、比利时以及亚、欧、美许多国家都有人向本国介绍《四元玉鉴》。
美国已故的著名的科学史家萨顿是这样评说朱世杰的：
“（朱世杰）是中华民族的、他所生活的时代的、同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学科学家。”
“《四元玉鉴》是中国数学著作中最重要的，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。它是世界数学宝库中不可多得的瑰宝。”
从此中可以看出，宋元时期的科学家及其著作，在世界数学史上起到了不可估量的作用。
除了以上成就外，朱世杰还在他的著作中提出了许多值得注意的内容：
1.在中国数学史上，他第一次正式提出了正负数乘法的正确法则；
2.他对球体表面积的计算问题作了探讨，这是我国占代数学典籍中唯一的一次讨论。结论虽不正确，但创新精神是可贵的；
3.在《算学启蒙》中，他记载了完整的“九归除法”口诀，和现在流传的珠算归除口诀几乎完全一致。
总之，朱世杰继承和发展了前人的数学成就，为推进我国古代数学科学的发展做出了不可磨灭的贡献。朱世杰不愧是我国乃至世界数学史上负有盛名的数学家。
由于朱世杰和其他同时代数学家的共同努力，使宋元时期的数学达到了光辉的高度，在很多方面都居于世界前列。
自朱世杰之后，我国这种在数学上高度发展的局面不但没有保持发展下去，反而很多成就在明、清一段时期内失传。这实在是科学史上的一件憾事。
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