“数的科学”

“科学之父”的推动 　　且说古希腊对数学似乎有着特别大的兴趣，尤其是在几何学方面。这在一定程度上应当归功于毕达哥拉斯和柏拉图。他们都是数学的崇拜者和鼓吹者。 　　据说柏拉图在他所创办的学园的大门口就有着“不懂几何学者不得入内”的牌子，可见数学在古希腊的重要性。 　　在其他古老的国家里，数学基本上是一门实用性的学科，而在古希腊，也像我们在前面所看到的天文学的情况那样，他们是着重于向理论发展的。 　　古希腊最早的数学家可能要算被西方称作是“科学之父”的泰勒斯了。据说他提出并证明了下列几何学基本命题： 　　1.圆为它的任一直径所平分； 　　2.半圆的圆周角是直角； 　　3.等腰三角形两底角相等； 　　4.相似三角形的各对应边成比例； 　　5.若两三角形两角和一边对应相等，则两三角形全等。 　　这些定理是每一个现代中学生都知道的，他们简单得不能再简单了。但是，就是这些简单的理论，构成了今天极其复杂而又高深理论的根基。 　　试想，今天的球面几何学，射影几何学，非欧几何学等等，有哪一门不是从这最简单的定理发生推演出来的呢？ 　　泰勒斯年轻时去过埃及，在那里，他向埃及人学习了几何学知识。但埃及人的几何学在当时只是为了划分地产而研究的。 　　在那里，埃及的人们只懂得在一块具体的地面上来规划、计算，以弄清人们的地产界线。因为，每年尼罗河一涨水，所有的地面痕迹都被冲毁了，人们在涨水后不得不重新进行测量计算。 　　埃及人很早在实践中就懂得“所有直径都平分圆周；三角形有两条边相等，则其所对的角也相等”，但都没有从理论上给予概括，并科学地去证明它。 　　泰勒斯并不满足于仅仅向埃及人学习这些，他经过思考将这些具体的，只是实际操作的知识给予抽象化、理论化，使之概括成为科学的理论。 　　上面所概括的几条定理，是埃及人在几百年前在实践中便得知的，但并没有把具体的知识提升到理论高度。泰勒斯在这方面做出了卓越的贡献。 　　泰勒斯不仅把具体的知识理论化，而且还天才地将理论运用到实际中去。下面讲一个泰勒斯解决金字塔高度的故事。 　　这是一个夏天，静寂的热气在大地上蒸腾，闪着光，闲散而轻柔的晃动着，俨如在小溪里游动着的鱼。 　　而远处，那些挡住了视野的山崖不停地闪着青的白的反光。底下是一片被灼热的阳光所临照的田野，裸麦的花粉在田间飘浮着，像一片轻烟。 　　泰勒斯正在金字塔的阴影下歇息着，他身边坐着几位和他同龄的贵族子弟。他们边抽着烟边议论着琐事。 　　一贵族说道：“亲爱的泰勒斯先生，请您告诉我，你到埃及的日子里有些什么收获呢？总不会空空而回吧？” 　　因为泰勒斯也是贵族出身，在和家人分家的时候，泰勒斯一样东西也不要，只带些钱去埃及游学了。所以，认识他的人都把他叫做傻子。而这个贵族正是基于此，想找个法子戏弄他。 　　泰勒斯从容不迫地答道：“亲爱的先生们，我们或许追求不同、也许你喜欢金钱，也许你喜欢女人，而我则不同，只以追求科学知识为光荣。” 　　众贵族子弟望着他，泰勒斯又说道：“我这次到埃及游学，我认为我得到了我一生中最大的收获，我把埃及人的几何知识提到了理论高度，并给予证明。” 　　那贵族说道：“我请问泰勒斯先生，你的那些东西我们都看到过了，那又有什么用呢？它能算出金字塔有多高吗？” 　　泰勒斯听这么一说，当时没有马上想出办法，便说：“怎样测出金字塔的高度，让我回去好好想一想，咱们5天后见！” 　　其实，不但这些贵族子弟想知道金字塔的高度，全埃及的人都想知道。最着急的应该算尼罗河的祭司们，因为正是这些祭司们掌握着埃及的数学。 　　到了第5天，泰勒斯如约而至。由于这些贵族子弟回去后，把泰勒斯要算出金字塔高度的消息告诉了全城百姓，所以金字塔旁人山人海，尼罗河祭司站在最前边。 　　泰勒斯望着人们，清了清嗓子，说道：“你们不是想知道金字塔的高度吗？这其实是很简单的事。” 　　人们听他这么一说，嘈杂的人群立时静了下来，千百双眼直盯着泰勒斯。 　　泰勒斯说道：“当你自己的影子和你身体一样高时，你就去测量金字塔的影长，这便是金字塔的高度。” 　　多聪明的主意！ 　　全城的老百姓怔了一会，忽地拥向泰勒斯，把他高高抬起，欢呼着。而想戏弄泰勒斯的贵族为自己的无知深深地低下了头。那时祭司们慌慌忙忙回去拿皮尺了。 　　讲到这里，这使我们想起我国古代曹冲称象的故事 （我们另章介绍），他们进行逻辑推理的根据都是一种“代换法”。值得指出的是，在泰勒斯之前，没有人想到这种合理的推论。 　　泰勒斯是第一个以思维的理性头脑和科学精神面向自然界的人，他一生以自己的思考寻求问题的答案，如果我们追寻人类第一个进行科学思维的代表人物，那么，泰勒斯是当之无愧的。 　　关于泰勒斯的传说和轶事流传很多，这些传说虽然未必真实，但对我们了解他的生平和性格，是很有帮助的。 　　有一次，一个邻舍讥笑泰勒斯说：“人家都说你是天才，但依我看，你是个笨蛋。试想，如果你真的聪明的话，为什么不发财呢？” 　　泰勒斯笑着说：“要想发财，那还不易如反掌！” 　　邻居不屑地说：“做出来给我们看看，不要光说大话。” 　　其实，泰勒斯利用各方面的知识，已经预见橄榄今年必然要获得大丰收。为了回敬这位邻居的诬蔑，他就垄断了这一地区的全部榨油机。 　　果然不出所料，橄榄获得空前丰收，于是人们争相购买榨油机，但无一台榨油机出售，因为全被泰勒斯事先用低价买下了。 　　于是，人们纷纷奔向泰勒斯家，泰勒斯用自定的价格出售，榨油机还是供不应求，就这样，泰勒斯获得巨额财富。 　　他用现身说法，痛斥了邻居的不敬，用事实证明发财不见得比研究天文学更加困难。他终于走上了探讨大自然奥秘的道路。 　　还有一个故事，是由普卢塔克记载的，叫梭伦的故事，也颇为幽默。 　　有一天，梭伦到米利都去探望泰勒斯，见他还是孤身一人，便问道：“泰勒斯，你已功成名就，为什么不结婚？” 　　泰勒斯当时没有回答。几天之后，泰勒斯带着一个陌生人到了梭伦的家中。那陌生人对梭伦说：“十天前，我还在雅典呢。” 　　梭伦的妻子儿女均在雅典，所以梭伦对雅典很关心，便问道：“雅典有什么新闻？” 　　那人说：“有一个青年人的葬礼轰动了全城，因为其父是一位尊贵人物。儿子死时父亲不在家，他很久以前就出外游历去了。” 　　梭伦急切地问：“他叫什么名字？” 　　那人说已记不清，只听说他很聪明、很正直。 　　当惊慌失措的梭伦就要猜出死者是自己儿子的时候，泰勒斯笑着说：“这就是我不娶妻生儿的原因，这点事连你那么坚强的人都承受不了。不过，这个消息完全是虚构的，是我们的双簧，请不必介意。” 　　梭伦这才如释重负地舒了一口气。 　　其实泰勒斯是比较温和的，他之所以对梭伦这样做，是因为他们之间是真挚的老朋友，开个玩笑而已。 　　泰勒斯言谈幽默并常含哲理。他对于“怎样才能过着正直的生活？”的回答是：“不要做你讨厌别人做的事。”这和中国的“己所不欲，勿施于人”如出一辙。 　　有人问泰勒斯：“你见过最奇怪的事情是什么？”他回答道：“长寿的暴君。” 　　又有人问：“你作出一项天文学的发现，想得到什么？”他答道：“当你告诉别人时，不说是你的发现，而说是我的发现，这就是对我的最高奖赏。” 　　泰勒斯的影响是巨大的，数百年的希腊科学的繁荣，泰勒斯的首创之功，不可磨灭。 　　泰勒斯的学生 　　在这一时期，另一位为后世称颂的古希腊学者要算是泰勒斯的学生，提出数学是宇宙万物之本源的毕达哥拉斯。 　　毕达哥拉斯生于公元前582年，他父亲叫姆内撒克斯，是一位很有钱的希腊人。他想让儿子受到很好的教育，便请了当时著名的两位老师来教儿子。 　　毕达哥拉斯是一位天才少年，在很短时间里，他的数学和哲学程度就超过了他的老师。当他还不到20岁时，就离开家乡到文化发达的地方去寻求知识了。 　　毕达哥拉斯是个纯粹的少年，身体修长，面孔充满热情，他怀着理想和好奇来到了求知的第一站——巴比伦。 　　在巴比伦的几年时间里，他学到了许多知识，但他并不满足，结束了在巴比伦的学习后，他又来到另一文明古国——印度。 　　几百年的印度文化深深地吸引着毕达哥拉斯，他一头钻进科学的海洋里，吮吸着科学之蜜。这是他能够在以后成为著名科学家，所必须的前题。 　　在印度，他还学习了印度的佛教。佛教对他后来的生活产生了相当大的影响，使他的思想追求某种神秘性，带上了某种喜欢不切合实际的梦想的色彩。 　　结束了印度之行，毕达哥拉斯回到西方，住在埃及，他又被埃及那精深的几何学深深吸引住了，他便向祭司们学习了几何学。 　　毕达哥拉斯定理，也即勾股弦定理，就是在这里发现的。这里，也有一段美妙而动人的故事。 　　却说毕达哥拉斯在向祭司学习几何的过程中，与祭司的表妹长久相处，渐渐双方有了感情，而且相爱甚笃。 　　毕达哥拉斯是个极富天才旦人长得又帅的小伙子，而祭司的表妹则是一枝鲜美花朵似的姑娘。她倾羡他的美貌，又仰慕他的才华。于是，双方陷入情网之中。 　　那天傍晚，温和的太阳颜色只是淡淡的，田野懒洋洋地仿佛快睡着了。各处村子上的小钟在静寂的原野上悠悠地响着，一缕缕烟在阡陌纵横的田间缓缓上升。 　　毕达哥拉斯带着女友漫步在田野上，一片轻盈的暮霭在远处飘浮。白的雾铺在潮湿的地下，等着黑夜降临。 　　毕达哥拉斯拉着女友的手慢慢地走着，他极目望去，远处金字塔在暮霭中闪着粉红色的光芒，他蓦地想起白天的问题。 　　华达哥拉斯的问题是，在直角三角形中，已知两边的长，怎样算出第三边的长度。下午，他和女友在屋内已经讨论了半天，也没有讨论出头绪。 　　女友也是极有知识之人，她的出现无疑给毕达哥拉斯带来活力。华达哥拉斯边走边想着：如果画上十个直角三角形，再量第三边长度，先把它们之间的关系弄明白，然后再用理论求证，岂不是一条捷径？ 　　毕达哥拉斯想到这，拉着女友转回头，朝住处跑去。女友到他的住处后，才弄明白他的想法，便按照他的吩咐，画出了一个又一个三角形。 　　当画到一边长为3，另一边长为4时，奇迹出现了，毕达哥拉斯量出斜边竟是5。3、4、5，毕达哥拉斯默念着。 　　要弄清三边之间的关系，首先弄清楚3、4、5之间的关系，毕达哥拉斯在屋中来回踱步，一边走，一边想。 　　已是午夜2点了，女友端来热腾腾的夜宵，毕达哥拉斯刚要拿起餐具， 　　2　2 2忽然，他头脑一亮：3＋4=5。 　　是呀，这是多么奇妙的等式，难道是巧合吗？毕达哥拉斯连忙离开饭桌，用心地在纸上画了起来，经过上百次验算，直角三角形的两边的平方和等于斜边平方。 　　毕达哥拉斯高兴若狂，抱起女友亲吻起来。 　　下一步的工作，就是如何证明这个定理成立，毕达哥拉斯在女友的协助下，用了一个月的时间，终于使这个理论得到证明。 　　从此，这个定理被西方命名为华达哥拉斯定理。 　　顺便提一下，华达哥拉斯在离开埃及之时，他和女友已共同生活了 10年之久，由于女友不愿意离开埃及，毕达哥拉斯只得独身归国。 　　毕达哥拉斯在数学上除了证明勾股定理外，还提出了区别奇数、偶数和质数的方法。他和他的学生还发现了无理数，并用数学研究音乐乐律。 　　在研究中，他指出，弦长的比数愈简单，则其音愈和谐。但是，他把数的概念绝对化、神秘化，并断言：凡物皆数。 　　他把数的物质的东西分割开来，把数的关系当做事物的原型，构成宇宙的秩序，结果走向唯心主义。 　　但不容讳言，毕达哥拉斯是那个时代最杰出的代表人物之一。他在数学、天文等方面所做出的贡献，将永远铭刻在后人的心里。他的某些理论，为推动科学的发展，有不可磨灭的贡献。 　　三个流派 　　到了公元前5世纪，在古希腊成立了几个哲学派别，它们分别是智者派、毕达哥拉斯派和柏拉图派。 　　在这一时期，被称为智者派的一些数学家们提出了下列三个著名的几何作图难题，即只用圆规和直尺作出以下图形： 　　1.作一正方形使其面积等于一已知圆的面积； 　　2.作一立方体使其体积等于一已知立方体的2倍； 　　3.三等分一任意角。 　　这三大难题曾在很长的时期内吸引了许多数学家，后来才被证明这是不可能的，任何人借助任何办法都办不到的。 　　虽然这三大难题是办不到的，但是数学家们在积极求证的过程中，却产生了许多有价值的副产品。 　　如智者派中的重要人物希匹阿斯在试图三等分一任意角时，发明了割圆曲线，如能作出这条曲线，即可三等分一任意锐角，但是割圆曲线也是不能用直尺和圆规作出的。 　　这时的毕达哥拉斯派的希波克拉底致力于化圆为方的问题时，得出了求以两不等径圆弧为边的月牙形面积的方法。 　　而智者派的安提丰在研究画圆的问题时，提出可以把圆看成是无穷多边的正多边形。毕达哥拉斯派的布莱生则以圆外接正多边形来思考同一问题。此即穷竭法的开端。 　　另外一学派柏拉图派的数学家们，他们研究数学不是为了实用目的，而在于寻求一种思维中的完善和美，因此，他们特别注意数学的证明方法。 　　有记载说，他们研究过数学中的分析法、归谬法这样一些基本的推理方法，由于他们的工作，数学的推理方法更加严密了。 　　柏拉图派把这些工作推进到什么程度，有哪些具体成果，我们现在不得而知。但是我们确实看到，自柏拉图以后，古希腊的数学更加理论化了。 　　我们当然不能想象古希腊发达的生产技术没有相当的实用数学知识，但数学作为一门学科，确实与实际生活的距离加大了。古希腊的实验科学、物理学等在相当长的时期内没有得到相应的发展，与数学脱离实际这种状况看来也不无关系。 　　柏拉图派的科学家欧多克索不仅在天文学上有重要的贡献，他还是古希腊最有成就的数学家之一。 　　人们发现了无理数后，但又产生了一大困难，就是无理数 2的不可公度，由于更多的无理数的发现，促使人们不得不认真地去研究它。 　　无理数究竟是不是数？原先用先可公度量的那些几何学的证明能否用于这些不可公度量？一个一个可数的数目是不连续的，而量则是连续的，这些都是矛盾。 　　欧多克索面对这些难题，他走出自己的一条路子。他定义了两个量之比和两个量之比相等的关系，即比例关系，以此来解决量之间的问题。 　　这样，从毕达哥拉斯开始的几何和数的简单而直接的关系就被分开了，量并不就是可数的数目，上述困难便迎刃而解。 　　从此，古希腊数学更加偏向于几何学。因为在他们看来，似乎几何学是能处理一切问题的，包括无理数这样的问题在内。 　　对几何学的偏爱却抑制了古希腊代数学的发展，后来在他们那里，有关代数学的问题实际上都用几何学的方法来处理，这不能就被认为是很好的方式。 　　欧多克索的另一项重要贡献，是他继续了智者派安提丰等人的工作，完成了计算曲边形面积和曲面体体积的方法。 　　这项工作的重要意义不只在于计算那些难以计算的量，更在于推进了穷竭法的研究。虽然那时还没有清晰的极限的思想，穷竭法已经预示着微积分学的思想正在萌芽。 　　欧多克索的学生美尼克谟的最重要成就是发现了圆锥曲线。他在这方面的工作可能也是试图解决智者派提出的三大作图难题，而产生的副产品。 　　美尼克谟选取了顶角分别为直角、锐角和钝角三种圆锥，分别以一垂直于锥面一条母线的平面与之相割，这样就得到了抛物线、椭圆和双曲线。 　　圆锥曲线的发现，对于几何学以及天文学、物理学等类科学的发展都十分重要。不过，他的工作还只是一个开端。 　　古希腊的数学高峰 　　在古希腊后期，学术中心转移到埃及的亚历山大城。这时，古希腊的数学达到了高峰，古希腊数学的最后成果均是在这里总结和完成的。 　　生活在亚历山大城的欧几里得（约前330～约前275）是古希腊最享有盛名的数学家。 　　古希腊著名科学哲学家亚里斯多德认为，演绎推理的价值要高于归纳推理。他这一思想形成的原因是什么呢？ 　　如果让我们看一看古希腊几何学的发展，就会容易理解亚里斯多德的这一看法了。事实上可以这样说，整个希腊时代理论上最成功的产物就是几何学这门演绎科学。 　　我们说它成功一是指这一时期几何学理论的完备、严密与系统；二是指直到今天，我们中学里的几何教科书还都是以两千多年前的希腊几何学为蓝本的。 　　而希腊几何学成功的代表者便是我们将要介绍的欧几里得。 　　欧几里得生于雅典，是柏拉图的学生。他的科学活动主要是在亚历山大进行的，在这里，他建立了以他为首的数学学派。 　　欧几里得，以他的主要著作《几何原本》而著称于世，他的工作重大意义在于把前人的数学成果加以系统的整理和总结，以严密的演绎逻辑，把建立在一些公理之上的初等几何学知识构成为一个严整的体系。 　　欧几里得建立起来的几何学体系之严谨和完整，就连20世纪最杰出的大科学家爱因斯坦也不能对他不另眼相看。 　　爱因斯坦说：“一个人当他最初接触欧几里得几何学时，如果不曾为它的明晰性和可靠性所感动，那么他是不会成为一个科学家的。” 　　《几何原本》中的数学内容也许没有多少为他所创，但是关于公理的选择，定理的排列以及一些严密的证明无疑是他的功劳，在这方面，他的工作出色无比。 　　欧几里得的《几何原本》共有13篇，首先给出的是定义和公理。比如他首先定义了点、线、面的概念。 　　他整理的5条公理其中包括： 　　1.从一点到另一任意点作直线是可能的； 　　2.所有的直角都相等； 　　3.a=b，b=c，则a=c； 　　4.若a=b则a＋c=b＋c等等。 　　这里面还有一条公理是欧几里得自己提出的，即：整体大于部分。 　　虽然这条公理不像别的公理那么一望便知，不那么容易为人接受，但这是欧氏几何中必须的，必不可少的。他能提出来，这恰恰显示了他的天才。 　　《几何原本》第1～4篇主要讲多边形和圆的基本性质，像全等多边形的定理，平行线定理，勾股弦定理等。 　　第2篇讲几何代数，用几何线段来代替数，这就解决了希腊人不承认无理数的矛盾，因为有些无理数可以用作图的方法，来把它们表示出来。 　　第3篇讨论圆的性质，如弦、切线、割线，圆心角等。 　　第4篇讨论圆的内接和外接图形。 　　第5篇是比例论。这一篇对以后数学发展史有重大关系。 　　第6篇讲的是相似形。其中有一个命题是：直角三角形斜边上的矩形，其面积等于两直角边上的两个与这相似的矩形面积之和。读者不妨一试。 　　第7、8、9篇是数论，即讲述整数和整数之比的性质。 　　第10篇是对无理数进行分类。 　　第11～13篇讲的是立体几何。 　　全部13篇共包含有467个命题。《几何原本》的出现说明人类在几何学方面已经达到了科学状态，在经验和直觉的基础上建立了科学的、逻辑的理论。 　　欧几里得，这位亚历山大大学的数学教授，已经把大地和苍天转化为一幅由错综复杂的图形所构成的庞大图案。 　　他又运用他的惊人才智，指挥灵巧的手指将这个图案拆开，分成为简单的组成部分：点、线、角、平面、立体——把一幅无边无垠的图，译成初等数学的有限语言。 　　尽管欧几里得简化了他的几何学，但他坚持对几何学的原则进行透彻的研究，以便他的学生们能充分理解它。 　　据说，亚历山大国王多禄米曾师从欧几里得学习几何，有一次对于欧几里得一遍又一遍地解释他的原理表示不耐烦。 　　国王问道：“有没有比你的方法简捷一些的学习几何学的途径？” 　　欧几里得答道：“陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的难走的小路，一条是供皇家走的坦途。但是在几何学里，大家只能走同一条路。走向学问，是没有什么皇家大道的，请陛下明白。” 　　欧几里得的这番话后来推广为“求知无坦途”，成为传诵千古的箴言。 　　关于欧几里得的一生的细节，由于资料缺乏，我们知道得很少。有一个故事说的是欧几里得和妻子吵架，妻子很为恼火。 　　妻子说：“收起你的乱七八糟的儿何图形，它难道为你带来了面包和牛肉。” 　　欧几里得天生是个憨脾气，只是笑了笑，说道：“妇人之见，你知道吗？我现在所写的，到后世将价值连城！” 　　妻子嘲笑道：“难道让我们来世再结合在一起吗？你这书呆子。” 　　欧几里得刚要分辩，只见妻子拿起他写的《几何原本》的一部分投入火炉中。欧几里得连忙来抢，可是已经来不及了。 　　据说妻子烧掉的是《几何原本》中最后最精彩的一章。但这个遗憾是无法弥补的，她烧的不仅仅是一些有用的书，她烧的是欧几里得血汗和智慧的结晶。 　　如果上面这个故事是真的，那么他妻子的那场震怒可能并不是欧几里得引起来的。因为古代的作家们告诉我们，他是一个“温和慈祥的老头。” 　　由于欧几里得知识的渊博，他的学生们简直把他当作偶像来崇拜。欧几里得在教授学生时，像一个真正的父亲那样引导他们，关心他们。 　　然而有时，他也用辛辣的讽刺来鞭挞学生中比较傲慢的，使他们驯服。有一个学生在学习了第一定理之后，便问道：“学习几何，究竟会有什么好处？” 　　于是，欧几里得转身吩咐佣人说：“格鲁米阿，拿三个钱币给这位先生，因为他想在学习中获得实利。” 　　欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机取巧的作风，更反对狭隘的实用观念。后来者帕波斯就特别赞赏他这谦逊的品德。 　　像古希腊的大多数学者一样，欧几里德对于他的科学研究的“实际”价值是不大在乎的。他喜爱为研究而研究。 　　他羞怯谦恭，与世无争，平静地生活在自己的家里。在那个到处充满勾心斗角的世界里，对于人们吵吵闹闹所作出的俗不可耐的表演，则听之任之。 　　他说：“这些浮光掠影的东西终究会过去，但是，星罗棋布的天体图案，却是永恒地岿然不动。” 　　欧几里得除了写作重要几何学巨著《几何原本》外，还著有《数据》、 　　《图形分割》、《论数学的伪结论》、《光学》、《反射光学之书》等著作。