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说不尽的阿基米德
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在古希腊后期，又出现了一位最伟大的科学家，他就是阿基米德。
他正确地得出了球体、圆柱体的体积和表面积的计算公式，提出了抛物线所围成的面积和弓形面积的计算方法。
最著名的还是求阿基米德螺线（ρ=α×θ）所围面积的求法，这种螺线就以阿基米德的名字命名。
10 1
阿基米德还求出圆周率的值在3 71 7出了一元三次方程，并得到正确答案。
阿基米德还是微积分的奠基人。他在计算球体、圆柱体和更复杂的立体的体积时，运用逐步近似而求极限的方法，从而奠定了现代微积分计算的基础。
最有趣的是阿基米德关于体积的发现：
有一次，阿基米德的邻居的儿子詹利到阿基米德家的小院子玩耍。詹利很调皮，也是个很讨人喜欢的孩子。
詹利仰起通红的小脸说：“阿基米德叔叔，我可以用你圆圆的柱于作教堂的立柱吗？”
“可以。”阿基米德说。
小詹利把这个圆柱立好后，按照教堂门前柱子的模型，准备在柱子上加上一个圆球。他找到一个圆柱，由于它的直径和圆柱体的直径和高正好相等，所以球“扑通”一下掉入圆柱体内，倒不出来了。
于是，詹利大声喊叫阿基米德，当阿基米德看到这一情况后，思索着：圆柱体的高度和直径相等，恰好嵌入的球体不就是圆柱体的内接球体吗？
但是怎样才能确定圆球和圆柱体之间的关系呢？这时小詹利端来了一盆水说：“对不起，阿基米德叔叔，让我用水来给圆球冲洗一下，它会更干净的。”
阿基米德眼睛一亮，抱着小詹利，慈爱地说：“谢谢你，小詹利，你帮助解决了一个大难题。”
阿基米德把水倒进圆柱体，又把内接球放进去；再把球取出来，量量剩余的水有多少；然后再把圆柱体的水加满，再量量圆柱体到底能装多少水。
这样反复倒来倒去的测试，他发现了一个惊人的奇迹：内接球的体积，恰好等于外包的圆柱体的容量的三分之二。
他欣喜若狂，记住了这一不平凡的发现：圆柱体和它内接球体的比例，或两者之间的关系，是3∶2。
他为这个不平凡的发现而自豪，他嘱咐后人，将一个有内接球体的圆柱体图案，刻在他的墓碑上作为墓志铭。
阿基米德的惊人才智，引起了人们的关注和敬佩。朋友们称他为“阿尔法”，即一级数学家 （α—阿尔法，是希腊字母中第一个字母）。
阿基米德作为“阿尔法”，当之无愧。所以20世纪数学史学家E.T.贝尔说：“任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定包括阿基米德。
“另外两个数学家通常是牛顿和高斯。不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他们的影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。”
我们说，阿基米德的数学成就在于他既继承和发扬了古希腊研究抽象数学的科学方法，又使数学的研究和实际应用联系起来，这在科学发展史上的意义是重大的，对后世有极为深远的影响。
阿波罗尼
亚历山大前期著名的三大数学家除欧几里得、阿基米德外，还有一位重要人物，他就是欧几里得的学生阿波罗尼。
阿波罗尼（约前262～约前190）生于佩尔格，年青时到亚历山大跟随欧几里得的后继者学习。他的主要成就是建立了完美的圆锥曲线论。
他在总结前人的成就的基础上，再加上自己的研究成果，撰写了《圆锥曲线论》8大卷，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。
《圆锥曲线论》是圆锥曲线的经典之作，写作风格和欧几里得、阿基米德是一脉相承的，先设立若干定义，再由此依次证明各个命题，推理是十分严格的。
《圆锥曲线论》的出现，引起了人们的重视，被公认为是这方面的权威之作，被认为是古希腊最杰出的数学著作之一。
阿波罗尼是第一个从同一圆锥的截面上来研究圆锥曲线的人，他以一个平面按不同的角度与圆锥相交，分别得出抛物线、椭圆和双曲线。
同时，他也弄清楚了双曲线有两个分支，并给出了圆锥曲线的定义。
在这一书中，他说明了求一圆锥曲线的直径，有心圆锥曲线的中心、抛物线和有心圆锥曲线的轴的方法和作圆锥曲线的切线的方法，讨论了双曲线的渐近线和共轭双曲线，研究了有心圆锥曲线焦点的性质等等。
阿波罗尼这时尚无坐标的概念，但在他的讨论中已隐含了坐标的意思。
《圆锥曲线论》是一部经典巨著，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步。
直到17世纪的笛卡尔和帕斯卡，圆锥曲线的理论才有所突破。以后便向着两个方向发展，一是笛卡尔的解析几何，二是射影几何，两者几乎是同时出现。
这两大领域的思想和基本原理，都可以在阿波罗尼的工作中找到萌芽。当然这是后话，暂且不提。
和阿基米德相比较，阿波罗尼注意图形的几何性质，而阿基米德侧重数值计算，这是他成为微积分先驱的重要原因。
《圆锥曲线论》的篇幅很大，第1～7卷就有387个独立命题，完全用文字来表达，没有使用符号和公式。命题的叙述相当冗长，言辞有时是含混的，这在希腊的著作中，是较难读的一种。
除了《圆锥曲线论》外，阿波罗尼还有其他一些有价值的著作，它们是
《论接触》，《平面轨迹》、《12面体与20面体对比》、《倾斜》等。
古罗马的三个数学家
到了古罗马时期，其政治、军事日益强大，它雄踞西方，称霸一时。它在经济上曾经很是繁荣，技术上也有不少的成绩，但它在科学上、在科学思想上几乎无所建树。
古罗马以基督教为国教，实行思想统治，禁锢了人们的思想，古希腊时期那种活跃的学术气氛不复存在，新鲜的思想也难露头角。数学科学更是举步不前。
在这一时期，比较著名的数学科学家有丢番图、帕波斯和希帕蒂娅。
说起数学家丢番图的生平，还有一则别开生面的记载，在一本《希腊诗文选》中收录了丢番图的奇特的墓志铭，现转抄于下：
坟中安葬着丢番图，
多么令人惊讶，
它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一，
又过十二分之一，两颊长胡，
再分七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，
享年仅及其父的一半，便进入冰冷的坟墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生的旅途。
细心的读者已经发现，这独特的墓志铭就是丢番图一生的履历表，而且它本身就是一道耐人寻味的年龄计算题。
让我们来解开丢番图的年龄之谜：
设丢番图的年龄为×，则
1 1 1 1
x 6 12 7 2
丢番图大致活动于公元250年前后，其生平不详。他的著作《算术》和关于所谓多角数（形数）一书，这是世界上最早的系统的数学论文。
《算术》共13卷，现存6卷。这本书可以归入代数学的范围。代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。
它根据问题的条件列入方程，然后解方程求出未知数，如我们前边关于丢番图年龄的计算。
算术也有未知数，这未知数就是答案，一切运算只允许时已知数来施行。在代数中既然要对未知数加以运算，就需要用某种符号来表示它。
丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的，因此，他被后人称作是“代数学之父”的美誉。
希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心都在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。
所以一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入僵硬的几何模式之中。直到丢番图的出现，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。
2 2 2
例如，（a＋b）=a＋2ab＋b的关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理，而在丢番图的《算术》中，只是简单代数运算法则的必然后果。
丢番图认为，代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题。解题过程中显示出高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。
如果丢番图的著作不是用希腊文写的，人们就不会想到这是希腊人的成果，因为看不出有古典希腊数学的风格，从思想方法到整个科目结构都是全新的。
如果没有丢番图的工作，也许人们以为希腊人完全不懂代数，有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人。
丢番图在《算术》中，除了代数原理的叙述外，还列举了属于各次不定方程式的许多问题，并指出了求这些方程解的方法，识别了实根、有理数可能是“根”和正根。
为了表示求知数及其幂、倒数、等式和减法，他使用了字母的减写，用并列书写表示两个量的加法，量的系数则在量的符号之后用阿拉伯数字表示。
在两个数的和与差的乘法运算中采用了符号法则。他还引入了负数的概念，并认识到负数的平方等于正数等问题。
丢番图在数论和代数领域作出了杰出的贡献，开辟了广阔的研究道路。这是人类思想上一次不寻常的飞跃，不过这种飞跃在早期希腊数学中已出现萌芽。
丢番图的著作成为后来许多数学家，如费尔马、欧勒、高斯等进行数论研究的出发点。数论中两大部分均是以丢番图命名的，即丢番图方程理论和丢番图近似理论。
丢番图的《算术》虽然还有许多不足之处，但瑕不掩瑜，它仍不失为一部承前启后的划时代著作。
再说古罗马时期的另一位科学家帕波斯，他最有价值的著作是《数学汇编》。
公元4世纪，希腊数学已是强弩之末，“黄金时代”的几何巨匠已离去五六百年了，到公元146年，罗马人占领亚历山大后，科学便凋谢了。
公元后，除了托勒密等科学家有所建树外，理论几何的活力已经用完。在此情况下，总结数百年来前人披荆斩棘所取得的成果，以免年久失传，已是十分重要和必要的。
帕波斯正是在这种情况下，着手搜集整理前人的成果，把它们编成了重要的著作：《数学汇编》。
《数学汇编》在历史上占有特殊地位，这不仅仅是它本身有许多发明创造，更重要的是记述了大量前人的工作，保存了一大批现在在别处无法看到的著作。它和普罗克洛斯的《概要》是研究希腊数学科学史的两大原始资料，其功不可没。
帕波斯还写过关于地理、音乐、流体静力学等方面的书，注释过托勒密、欧几里得的著作。他是博学多才的。
而他的主要的贡献，正是我们介绍的，是收集、总结、补充和评述几乎是整个希腊时期的学术工作，使它流传下来并发扬光大。这些功劳是不可磨灭的。
下面再谈一位科学家希帕蒂娅。我们在这里介绍她，完全是因为希帕蒂娅是有史记载的第一位女科学家、哲学家。
希帕蒂娅早年跟随父亲学习，她在数学上的成就主要是帮助父亲评注托勒密的数学名著《大汇编》，还协助其父编辑了欧几里得的《几何原本》。
据古代一本辞典记载，希帕蒂娅还评注丢番图的《算术》和阿波罗尼的
《圆锥曲线》等名著，可惜这些评注本都已失传。
希帕蒂娅也在亚历山大从事科学和哲学活动，讲授数学和新柏拉图主义。她的哲学兴趣比较倾向于研究学术与科学问题，而较少追求神秘性和排他性。
约在公元400年左右，希帕蒂娅成为亚历山大的新柏拉图主义学派的领袖。由于她的学术声望，甚至有的基督徒也拜她为师。
但是，早期的基督徒在很大程度上把科学视为异端邪说，把传播希腊传统文化视为异教徒加以迫害。公元415年，希帕蒂娅被信奉基督教的一群暴民私刑处死。
她的悲壮身世，成为一些文艺作品的主题，著名作家金斯利把她写进小说《希帕蒂娅》中。小说中的希帕蒂娅，聪明、美丽、展雄辩之才又虚怀若谷。
古印度数学成就
古印度在数学方面有相当大的成就，在世界数学史上有重要地位。自哈拉巴文化时期起，古印度人用的就是十进位制，但是早期还没有位值法。
大约到了公元7世纪以后，古印度才有了位值法记数，不过开始时还没有“0”的符号，只用空一格来表示。公元9世纪后半叶有了零的符号，写作
“.”。
这时，古印度的十进制位值法记数就完备了。后来这种记数法为中亚地区许多民族采用，又经过阿拉伯人传到了欧洲，逐渐演变为现今世界上通用的“阿拉伯记数法”。
所以说，阿拉伯数字并不是阿拉伯人创造的，他们只是起了传播作用。而真正对阿拉伯数字有贡献的，正是古印度人。
《准绳经》是现存古印度最早的数学著作，这是一部讲述祭坛修筑的书，大约成于公元前5至前4世纪，其中包含有一些几何学方面的知识。
这部书表明，他们那时已经知道了勾股定理，并使用圆周率π为 3.09，古印度人在天文计算的时候已经运用了三角形，公元499年成书的《圣使集》中有关数学的内容共有66条，包括了算术运算、乘方、开方以及一些代数学、几何学和三角学的规则。
圣使还研究了两个无理数相加的问题，得到正确的公式，在三角学方面他又引进了正矢函数，他算出的π为3.1416。
公元7～13世纪是古印度数学成就最辉煌的时期，其间的著名人物有梵藏（约589～？）、大雄（9世纪）、室利驮罗（999～？）和作明（1114～？）。
梵藏约于628年写成了《梵明满悉檀多》，对许多数学问题进行了深人的探讨，梵藏是古印度最早引进负数概念的人，他还提出负数的运算方法。
梵藏对零作为一个数已有所认识，但他却错误地认为零除零还是等于零
2的结论。他提出了解一般二次方程的规则，得出二次方程x+px-q=0的根为
p2x 2
2 2
梵藏还给出了ax＋by=0的整数解和处理不定方程ax＋1=y的方法。他最重要的成就是得出了求等差数列末项以及数列之和的正确公式。
在几何学方面，梵藏有以四边形之边长求四边形面积的正确公式，即S 长。
而大雄继续了他前人的工作，他的主要著作是《计算精华》。他认识到零乘以任何一个数都等于零，不过他又错误地认为以零除一个数仍然等于这个数。
大雄对分数的研究也很有意义，他认识到以一个分数除另外一个分数，等于把这个分数的分子分母颠倒相乘。
现存的室利驮罗的数学著作有《算法概要》一书，据说他还有一部专论二次方程的著作。他的主要工作是研究二次方程的解法。
在这一时期，数学上成就最大的要数作明。他的《历数全书头珠》中的
《嬉有章》和《因数算法章》反映了古印度数学的最高成就，是那个时期的代表作。
作明对零进行了进一步的研究，正确地指出以零除一个数为无限大。他继续研究二次方程求解的问题，知道一个数的平方根有两个数，一正一负。
他还明确地指出负数的平方根是没有意义的。作明在不定方程的研究中取得了十分显著的成绩，他用巧妙的方法解决了许多不定方程的求整数解的问题。
如下列方程：
2 4 2 2
6x＋2x=y， -100x5x=y，
2 2 2 3 3 2
等等。
3927
在几何学方面，他给出圆周率的两个数值，即π 1250
22
7古印度数学科学的发展便趋缓慢，没有更多引人注目的东西了。
巴比论的数学
在公元前3000年左右，巴比伦开始有了像点样的数字了。现在考古发现的巴比伦泥板文书对研究数学史，提供了有力的证明。这些泥板书是在胶泥软时刻上字后，晒干保存下来的。
这些泥板书大致是于两个时期制成的，有些是公元前2000年左右，大部分是公元前600年到公元300年的。
较早的泥板是用断面呈三角形的笔斜刻的，刻痕显楔形，因此这种文字叫楔形文字。在楔形文字中，已经出现了1到60的整数写法和记号。
巴比伦人也会表示分数，但一组记号所表示的分数也可以作多种理解，这是一种混淆不清的表示法。
巴比伦人还有表示平方、平方根、立方和立方根的数表。当方根是整数时，给出的是准确值。对于非整数的方根，相应的60进制数值只是近似的。
这时他们使用的圆周率π=3.125。在一块泥板上，我们竟然看到他们解
x了这样一个指数方程：（1＋0.2）=2，x＝3.8。
在巴比伦时期，求给定宽和高的一扇门对角线问题时出现了平方根，他们给出的答案没有说明是怎样求出来的。
但是，他们却很好地用了求对角线长的近似公式：
2
w
d 2h
其中d为对角线长，w为宽，h为高。
早期巴比伦有一个代数基本问题，是求出一个数，使它与它的倒数之和等于已给定的数。这个问题的解答是要解一个二次方程。这说明巴比伦人已经知道二次方程求根方法。
巴比伦人还可以解出含有5个未知量的五元一次方程来。他们用一种特殊的方法结合各个方程，最后算出所有未知量。
数学在巴比伦人的生活中的很多地方都起到了作用。巴比伦位于古代贸易通道上，他们商业活动范围很广。他们用算术和简单代数知识来表示长度和重量，来交换各种商品和兑换钱币。
现在发现的牵涉到数学的大多数楔形文字著作是关于经济问题的。显然，经济对数学的发展是十分显著的。
其次，在工程建设上，需要用到计算，比如挖运河，修堤坝，以及其他水利工程都要用到计算。所以说，巴比伦的数学和人们实际应用是分不开的。
巴比伦的占星术很兴盛，他们认为数学本身就具有一种神秘性，因此可以用数学预卜未来。
在《圣经》中可以看到巴比伦人预卜未来的做法。希伯来人的“科学”测字术就是根据巴比伦人的预卜术而来的。有个预言说：狮子宣告巴比伦城的沦落，就是根据巴比伦预卜学原则而得出的结论。
古埃及的数学
再说在古埃及，文明的发展是在没有外来势力的影响下独自进行的。埃及人靠着尼罗河带来的肥沃的土壤，创造着自己生生不息的文明和科学。
古埃及人造出了几套自己的文字，其中有一套是象形文字，每个文字记号是某件东西的图形，直到公元纪元前后，埃及的象形文字还用在纪念碑文和器皿上。
那时埃及人的书写方式是用墨水写在草片上，草片很容易干裂成粉末，所以除了铭刻在石头上的象形文字外，古埃及的文件很少保存下来。
古埃及人在数学科学上的工作，我们现在知道得不太多，这可能与草书不耐保存，有很大的关系。
埃及的代数中实际上没有成套的记号，加法和减法用一个人走近和离去的腿形来表示。表示平方根的记号是两个 「的直角。
埃及的几何和算术也是合在一起的。埃及人也和巴比伦人一样，把几何看成实用工具。他们把算术和代数用来解有关面积、体积和其他几何性质的问题。
由于尼罗河涨水而产生了古埃及的几何学，使埃及人研究出计算矩形、三角形和梯形面积的死方法。
2
埃及人对于圆面积的计算有其独到之处。如S=（8d/9），其中d为直径。这就等于π取3.1605。
埃及人也有算立方体、箱体、柱体和其他图形体积的法则。有些法则是对的，有些也只能算是近似的。
这里最了不起的法则要算用来计算棱台体积的公式。棱台底是正方形，这个公式用现代记号是：
2 2
V=h/3（a＋ab＋b）， h是高，o、 b是上下底的边长。这个公式之所以了不起，是因为正确，而且形式是对称的。
埃及数学的另一个主要用途是天文测量和计算，这从相当早的时期就是这样了。
尼罗河是埃及人生命的源泉，他们靠耕种河水泛滥后淤土覆盖的田地谋生，但他们也得准备好应付洪水的危害，因此就得预报洪水到来的日期。这就需要计算。
埃及人还把他们的天文知识和几何知识结合起来用于建造他们的神庙，使一年里某几天的阳光能以特定方式照射到庙宇里。
金字塔是代表埃及人对几何的另一种用法。金字塔是帝王的陵墓。埃及人竭力使金字塔的底有正确的形状，那么底和高的尺寸就有重大意义，这又需要精密的计算。
所以说，倘若数学是应人类需要而产生和发展的，那么在古埃及，这一点是最明显不过的了。
古代阿拉伯的数学家
古代阿拉伯的数学是在引进印度和希腊数学之后起步的，在不长的时期内，他们取得了可观的成绩。
阿拉伯头一位著名的数学家是花拉子密，他在数学上的成就比起天文学上的成就还要大一些。他的算术和代数学的著作很早就流传欧洲，对欧洲的数学有颇大的影响。
欧洲人主要就是从他那里学会了使用“阿拉伯记数法”。我们前面已经讲到，欧洲人自古希腊时候起即擅长几何学，他们也习惯于用几何学方法来解决代数学的问题，因此他们的数学有很大的局限性。
花拉子密的代数学著作《还原与对消》记述了800多个代数学问题，包括了一次方程和二次方程的解法。
这部著作在12世纪期间即被译成拉丁文，直至16世纪以前仍是欧洲各大学的主要数学教科书，在欧洲产生了很大影响。
拉丁语中algebra（代数学）一词就是从这部著作中的名称演化而来的。欧洲人对代数的研究从接受阿拉伯人的代数学才正式开始的。这与花拉子密的功劳不无关系。
花拉子密的天文表中包括有三角学的内容，他不仅运用了正弦函数，还引进了正切函数。不过也有人怀疑正切函数是后人修订天文表时加进去的。
另一个阿拉伯数学家白塔尼在天文学的研究中也涉及到三角学的问题。他在他的著作中又引入了余切函数，并且造出了从1°到90°之间相隔1°的余切表。
曾主持马腊格天文台的奈绥尔丁也是一位很有成就的数学家。原先的三角学只不过是天文计算中的一种工具，奈绥尔丁则致力于使它成为一门独立的学科。
他还提出了解球面直角三角形的6个基本公式，并且指出解一般三角形的方法。欧洲人到15世纪中期才知道奈绥尔丁的工作，在此之前，欧洲人还从未把三角学看成是数学上的一个分支。
在这一时期，还有一位重要科学家，他叫卡西 （？～1436？）。他在圆周率的研究上取得了显著的成绩。
他是用穷竭法求圆周率的，他计算了圆内接和外接3×2边正多边形的周长，求得圆周率π=3.141，592，653，589，793，25，即准确至小数后第17位。
他打破了我国祖冲之保持了近千年的世界纪录，1000年后才又为欧洲人所超过。
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