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诺贝尔
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有机化学是在资本主义大工业生产中，应社会的需要才产生和逐步发展起来的。
日益丰富的有机化学知识为合成有机化合物创造了条件。
在人工合成有机化合物中，染料首先异军突起，并迅速走向市场，创造了极大的社会效益。
过去人们使用的染料都是从有机植物中提取的。但在1856年英国皇家化学学院霍夫曼的学生柏琴却在实验中偶然发现，利用无机物也可以人工合成染料，便改变了这种局面。
从此，人们有目的地先分析天然染料的结构，然后用无机物做原料，相继合成了多种染料。
德国是个有机化学研究异常活跃的国家，染料的合成研究以野火燎原之势在德国迅速发展起来，并很快把入工染料堆人了市场，合成染料给德国的化学工业增添了异彩。
在 1886年到 1900年期间，德国 6家最大的化学公司共取得了948项染料专利，而英国只取得86项，德国人几乎垄断了全世界人造染料的生产。
德国人发了大财！
人工染料的合成缓解了大工业生产中的纺织业对染料的需要。而且由于成本低，价格相对便宜，很受欢迎。
可以说，人工合成染料的发现，真正达到了丰富人民生活，造福于人民的目的。
但是事物的发展往往是出人意料的。“有利必有弊”这是中国的一句古话。当诺贝尔研制出近代炸药时，他可能没有想到，仅仅在他去世后的半个世纪，就有数以千万计的人倒在他所研制的炸药的硝烟中……
1833年10月21日，一个瘦弱的婴儿在瑞典首都斯德哥尔摩诞生，听他的啼哭，看他的身体，使人难以相信，他就是后来的震撼了整个世界的炸药大王艾尔福雷德·诺贝尔。
诺贝尔的父亲伊墨纽·诺贝尔，是一个普通的机械师，很早就在工厂做工，虽然他没有受过高等教育，可是他喜欢化学实验，特别钟爱于制造炸药，对建筑学也很有见解，是个热心于科学的人。
诺贝尔从小体弱多病，但意志顽强，从不甘心落后，父亲对他非常赏识，也很关心诺贝尔的兴趣爱好。
一天，年幼的诺贝尔看见他的父亲又在制造炸药，便问道：
“爸爸，炸药伤人，是可怕的东西，你为什么要制造它呢？”
“因为它还可以用来开矿，筑路，许多地方都需要它呀！”父亲说。
“那我长大了也要做炸药。”诺贝尔似懂非懂地点了点头说。
“我倒希望你成为一名出色的机械师。”父亲抚摸着他的头说。
1841年，诺贝尔8岁，进了当地的一所正规小学学习，但他只读了一年就被迫退学了。
1842年春，他的母亲带着他们兄弟几个离开了家乡来到了圣彼得堡，与父亲一起生活。
由于此地没有瑞典学校，诺贝尔兄弟只能由家庭教师教授学业。
这时他的父亲因创制了一种水雷，受到了一个俄国将军的重视，后来又从事机械发明，境遇已经有了很大的改变。
在父亲的鼓励下，年岁稍大的诺贝尔就离开家庭，去各地旅行，访求名师。18岁时，他对科学、文学和哲学已经有了一定的修养。
对年轻的诺贝尔来说，学习上的最大障碍，就是语言的障碍。为了学好外语，他常常选一些外国名著译成瑞典文，再转译成外文，然后将译稿与原著对照，来检查自己的掌握情况。依此方法，他先后学会了俄文、英文、法文和德文。
1852年，他回到家里，在父亲的工厂里工作，渐渐在技术上显示出他的非凡才能。父亲有了这个得力的助手，事业如日中天，日渐兴旺。
然而，好景不长，由于俄皇易人，俄国政府废弃前约，使父子俩的事业跌入深谷，1859年，父子俩不得不返回瑞典再谋生计。
当时，许多国家迫切要求发展采矿业，加快采掘速度，炸药不能适应这种需要，成了一个急待解决的大问题。
年近60的父亲，回国后重整旗鼓，和三个儿子一起研究制造炸药。
1862年，父亲突然中风，从此再未能康复。
按照父亲的想法是要用硝化甘油制造出更好的炸药。
硝化甘油是意大利人苏雷罗在 1847年用硝酸和硫酸处理甘油得到的一种有机化合物，是一种比其他火药威力大得多的猛烈炸药。
但是，这种炸药特别敏感，容易爆炸，制造、存放和运输都很危险，人们不知道该怎么使用它。
他的父亲在实验中和前人一样失败了，而且不能再实验了。诺贝尔继续了父亲的实验和研究，从此，他就在死神的威胁下为人类向大自然索取动力。
1862年的夏初，诺贝尔做了一次十分重要的实验：
在一个小玻璃管内盛硝化甘油，塞紧管口；然后，把这个玻璃管放入一个稍大一点的金属管内，里面装满黑色火药，插入一只导火管后，再把金属管塞紧。
装好以后，诺贝尔兄弟俩人一起来到水沟旁，点燃导火管后，把金属管扔入水沟。
结果，发生了剧烈的爆炸，水花四溅，地面震动，显然比同等数量的黑色火药的爆炸要猛烈得多。
这次成功的实际意义不在于实用，而在于诺贝尔第一次发现了引爆硝化甘油的原理——黑色火药的爆炸，可以引发分隔开的硝化甘油完全爆炸。
1863年，诺贝尔和他的弟弟一起，在斯德哥尔摩海伦坡建立了一所实验室，从事硝化甘油的制造和研究。在实验中他努力寻求硝化甘油爆炸的引爆物。
经过无数次的试验，这年的年底，诺贝尔终于发明了使硝化甘油爆炸的有效方法。
起初，诺贝尔用黑色火药作引爆物；后来，他发明了雷管来引爆硝化甘油。
1864年，他取得了这项发明的专利权。
但是，在当时大批量生产硝化甘油，仍然充满了风险；而且在运输和贮存时，经常发生事故。诺贝尔是个永不满足而又具有丰富想象力的人，他继而发明了固体炸药，后又以胶质炸药取代了它。
诺贝尔发明炸药经不断地创新与改进，在西欧各国的爆破工程中被广泛采用，盛行起来。
炸药的广泛使用，给采矿和筑路带来了效益，也给诺贝尔带来了巨大的财富。但他关注的并不是钱。在诺贝尔著名的遗嘱中，他把财产中的大部分留作基金，以基金的利息作为奖金，每年颁发一次，给予在物理、化学、生理和医学、文学、和平事业方面有贡献的人。
这就是自1901年起颁发的举世闻名的诺贝尔奖金。
物理化学的产生
19世纪，西欧及北欧各国仍处于工业革命时期，各工业部门以更高的速度向前发展；地质部门为提供更多的矿物原料，进行大规模勘探和广泛的地质科学研究；在化学理论的领域正展开一场辩论……
于是分析化学便肩负起了两个重要方面的任务，一方面为生产的需要，为地质科学的发展，提供更多更可靠的分析方法；另一方面，要为各种新科学理论的建立、巩固、完善继续作出贡献。
因此，19世纪以来，分析化学得到了迅速的发展，化学家们几乎分析了他们能找到的一切化学物质。通过分析，进一步研究它们的组成和性质。
早期的分析，主要是组成分析。这一时期对组成的化学分析的特色，主要是定量化，从一般的定量发展到微量化，并形成分析的系统方法。
19世纪早期，系统定性分析日渐成熟。德国化学家罗塞，比较明确地提出了系统定性分析方法，这种方法经过深入研究后，越来越完善，被用于地质普查、冶金、考古、医药、食品等方面成分分析工作。
定性分析，逐步向定量分析转化，逐步形成重量分析和容量分析方法。
当时的定量的分析是把析出的沉淀烘干灼烧，仔细称量获得的定量，分析结果是很准确的。这种方法称为“干法分析。”
在“干法分析”发展的同时，“湿法分析”也发展起来了。
“湿法分析”早期是滴定分析。以滴定法为主的容量分析，在19世纪30年代以后，达到了极盛时期。容量分析中的关键要素是指示剂，在 1893年，灵敏的指示剂已有14种之多。
在无机化学、分析化学、有机化学发展的同时，物理学和化学的边缘学科——物理化学也发展起来了。
物理化学的形成是19世纪下半叶的事情。这个时期的资本主义生产造成了比过去世世代代总共造成的还要大的生产力，又以异乎寻常的精力致力于自然科学，创造了无可比拟地超过以往各个时代的高度发达的技术。自然科学的各个学科，包括物理化学，正是在这个时期得到了迅速的发展。
“物理化学”这个术语，是18世纪中叶首先为罗蒙诺索夫所使用的。但这一学科真正成功地发展起来，有赖于荷兰的范霍夫、德国的奥斯特瓦尔德，他们两人在1887年合办了《物理化学杂志》，此后物理化学的概念被化学界所接受。
物理化学这一学科的理论体系和各不同分支的建立，与各国化学家坚持不懈的研究和实验分不开，更与范霍夫、奥斯特瓦尔德、阿累尼乌斯三位伟大化学家的名字分不开。
他们三人后来都获得了诺贝尔化学奖金，被一些科学史家称为“物理化学三剑客”。
化学热力学是以热力学定律为基础的，还包括质量作用定律和化学平衡。
质量作用定律的主要内容包括：
①化学反应中质量的作用，也就是反应“力”的作用，这一作用与反应物的质量乘积成正比；
②如果相同质量的不同体积的物质起作用，这时质量的作用与体积成反比。
这一定律，经范霍夫等人的研究，达到定量化，其现代形式可以表示如下：
A＋B=C＋D①
正反应速度V=K〔A〕·〔8〕（2）
正 1
负反应速度V=K〔C〕·〔D〕（3）
负 2
在反应速度的研究基础上，又提出了化学平衡的概念。
法国科学家勒夏特列创立了比较完整的化学平衡学说，提出了著名的勒夏特列平衡原理，这一原理描述了化学体系中的各种因素对化学平衡状态的影响。
美国化学家吉布斯又把化学平衡的研究由单相平衡推进到复相平衡，提出著名的“吉布斯相律”。
吉布斯的工作，使质量作用定律、勒夏特列原理等经验定律纳入了和谐的理论体系之中。
辉煌的数学世纪
数学之王
高斯，1777年4月30日生于德国布伦什维克，父亲是一位勤杂工，没有受过正规教育，母亲是一位石匠的女儿。
高斯的舅舅是一位精明能干又懂得不少知识的商人，经常给他讲故事，并教他读书写字。
高斯有一个出众的数学头脑，很小就表现了杰出的数学才能。在他3岁的时候，有一次，当工头的父亲正在算帐，给工人发薪水，这时小高斯怯生生地说：“爸爸，您算得不对，应这样算。”
原来，小高斯一直暗地里跟着父亲计算。
“真的吗？”父亲惊异地复核了一次，果然孩子说的是正确的。
7岁时，高斯上了小学，特别喜欢算术课，在他三年级时，又一次表现出了他非凡的数学才能。
一天，彪特耐尔老师照例来上算术课。
“今天我给大家出一道难题，计算从1到100所有数字的总和，看谁能做出来，如果做好了，就把答案送到讲台上来。”彪特耐尔看不起这些农村的孩子，不安心在乡村小学的教学工作。
这一道题对于小学生来说，确实是一道难题，只见其他同学都在费劲地把数字一个接一个地相加着，但没过多久。小高斯就把答案交到讲台上去了。答案是5050，一点没错！
高斯怎么算得如此迅速呢？原来他没有把100个数字机械地累计相加，而是发现了其中的规律，就是距两端等远的两数之和都等于 101，即
1+100=101；
2+99=101；
3＋98=101；
……
50＋51=101。这样一共是50个101，就推出从1到100的数字总和是：
50×101=5050
高斯的才华使彪特耐尔非常惊异，同时感到内疚。他原来认为农村孩子笨，而高斯比城里的孩子还要聪明，从此他便安心于乡村教学，努力教好这些孩子们。为了使高斯的求知欲能在自己的课堂之外得到更多地满足，老师特地从汉堡买来各种数学书送给高斯。
在这以后的几年里，彪特耐尔悉心教导高斯，和他一起讨论问题，促使高斯加速进入数学王国。
由于高斯在童年时代就表现了惊人的数学才能，因而受到了布伦什维克公爵的重视，他答应资助高斯接受高等教育。1792年，高斯被送到卡罗琳学院深造。
1795年，高斯进入哥廷根大学。从此踏上了科学研究的道路，在数学、物理学和天文学方面都做出了杰出的贡献。
在数学方面，高斯第一个用尺规作出了正十七边形，解决了这个数学史上著名的难题。
尺规作图，是古希腊学者提出的数学问题。在高斯以前，人们已经能用直尺和圆规作出正三边形、正四边形、正五边形、正六边形、正十边形和正十二边形。当他们试图作正七边形、正十一边形、正十七边形时，遇到了很大的困难。
于是他们认为这样的正多边形不可能用尺规作出。高斯把正十七边形作出来了，是一个非常了不起的成就，推翻了人们的错误认识。高斯还进一步证明了这种作图可能性的条件。
在代数学方面，高斯证明了代数基本定理，即每个代数方程必具有一个复数形式的根。在数论中，他19岁时就发现并证明了二次互反律。他证明了算术基本定理——每个自然数都可以表示为素数乘积的形式，而且这种表示是唯一的。
高斯还对数学的许多分支，像复变函数、微分几何、超几何级数、统计数学、椭圆函数论、分析等都有重大贡献。
由于他对数学的许多贡献和许多新思想，而受到了所有数学家的赞誉。一位数学家说：“如果把18世纪的数学家想像为一系列的高山峻岭，那么最后一个使人肃然起敬的峰巅是高斯——那样一个广大的丰富的区域充满了生命的新元素。”
由于高斯的光辉成就，他受到了同代及后代人的赞扬和尊重，并称他为
“数学之王”。
高斯一生善于独立思考，不断地学习和钻研。他对自己的论文都是深思熟虑并经过反复修改才拿去发表，不成熟的论文决不发表。他的座右铭是：
“宁可少些，但要好些。”
但是，高斯的谨慎、求全、求好的品德，一方面在某种程度上影响了他的聪明才智更好地发挥，一方面由于他不愿意把不成熟或他自己认为不成熟的数学思想公诸于世，而又影响了数学的更快发展。
美国数学家贝尔曾说：在高斯死后，人们才知道他早就预见了一些 19世纪的数学，而且在 1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把所知道的一些东西泄漏，很可能现代数学比日前还要先进半个世纪或更多的时间。
高斯对千古之谜的第5公设问题也进行了研究。
早在1792年高斯15岁时，就有了非欧几何的思想萌芽，17岁时发现欧氏几何平行公设不能成立。
高斯在进行大地测量学的研究中，对球面内的几何学进行了研究。后来在研究前人经验的基础上，用包括反证法在内的各种方法对第5公设进行了试证。
经过多年的探索，高斯在1816年终于发现，第5公设根本不可证明。并由此发现，在欧氏几何之外，实际上还存在另外一种几何，高斯先后把它称为：“反欧几里德几何”、“星际几何”、“非欧几里德几何”等，这就是
“非欧几何”。
高斯的非欧几何思想十分卓越，而且形成得很早，多次发现了一些重要定理。
由于欧氏几何根深蒂固，同时，早已闻名于欧洲数学界的高斯特别谨慎，又受康德唯心主义学说的压力，而害怕别人嘲笑他“无知”，怕人们发出“愚人的叫喊”和攻击，不敢发表自己的观点和研究成果，并终止了对非欧几何的研究，直至1855年2月 23日逝世。
这样，一朵有可能在高斯那里开出的科学之花，含苞萎缩了。
另一路进军者
在高斯发现非欧几何的同时，匈牙利数学家亚诺什·波耶也几乎同时发现了非欧几何，并勇敢地把它公诸于世。
且说1820年的一天，在维也纳工程学院读书的一个青年小伙子收到了一封家信，父亲在信中说：“你必须像痛恶淫荡的社交一样痛恶它。它能剥夺你的所有的闲暇，你的健康，你的休息，以及一生的所有快乐。这个无底的黑暗或许可以吞吃掉一千个灯塔样的牛顿，而在大地上将仍不会有光明。”
痛恶什么？竟如此严重！
这是一封父亲亚诺什·法卡什写给儿子亚诺针·波耶的信，严厉告诫儿子放弃对欧氏几何第5公设的证明。
法卡什之所以对第 5公设的证明深恶痛绝，是由他亲身体验总结出来的。
法卡什有一肚子的苦水。
法卡什早年在数学上很有造就，对第5公设之谜也产生了浓厚的兴趣，在1796年有幸去德国游学，在哥廷根结识了数学之王高斯，共同的志趣使两人很快成为关系密切的挚友，从此不断地进行书信往来，研讨学术问题。
不过，高斯和法卡什研究第5公设有所不同。高斯认为第5公设不可证明，并发现了非欧几何。而法卡什始终认为第5公设是可以证明的，因此注定要失败。
法卡什在第5公设的研究中，耗费了大半生时间，始终没有在数学上取得重大成就，只能在一个小城中学当一个普通的数学教师。
法卡什回想自己的一生，虽然耗费了大量的时间和精力，却得不出任何结果，断送了光辉的前程，就连数学之王高斯在第5公设的研究中，也没有发表任何成果。
前人的失败，自己的教训，使法卡什对这个数学之谜深恶痛绝。当得知儿子步人后尘时，做父亲的怎能不苦心相劝呢？
大家不禁要问，波耶是怎样对第5公设产生兴趣的呢？他听从父亲的劝告了吗？
波耶于 1802年出生在匈牙利的柯罗日瓦尔，在父亲的影响下，从小喜欢数学。波耶中学毕业后，在父亲的指导下，已掌握了高等数学的基础知识。这时，法卡什想把儿子送到高斯手下深造，未能实现。
1820年，波耶以优异成绩考入维也纳皇家工程学院，但对数学仍然抱有特殊的偏好。
就在这一年，波耶开始试证第5公设，并征求父亲意见。法卡什知道后，多次写信劝告：“老天啊，希望你放弃这个问题……”“希望你不要再尝试了……我熟知一切方法都到尽头了；并且我在这里埋没了人生的一切亮光，一切快乐。”
波耶不听父亲的劝告，没有被父亲的悲观言论所吓倒，执意研究第5公设。
1822年，波耶从维也纳工程学院毕业后，因成绩优秀，被留校进行特种军事工程研究，一年后，被征到军队服役，成为一名勇敢的军官。
从工程学院的学习，到后来的军旅生活，波耶一直把全部业余时间用于第5公设的研究上。在研究过程中，他广泛吸取前人的研究成果，力图证明第5公设。
经过几年的苦心研究，波耶终于证明第5公设在欧氏几何理论中是一个独立的公设，企图用欧氏几何的其他公设来证明第5公设是不可能的。从而解决了这一数学难题。
1823年，波耶写成论文《空间的绝对几何学》，阐述这一发现。他在写给父亲的信中说：“我坚决地决定出版自己的关于平行线的著作，只要情况一旦允许我把资料整理就绪。现在我还没有达到目的，但是我已获得这样可注目的一些结果；如果这些遭受摧残的话，那真是太可惜啦。”
法卡什不相信21岁的儿子会超过自己，更不相信儿子能在平行线理论上有什么作为。
波耶在证明第5公设不可证明后，由此引出一条相反的定理：过直线外一点，可引无穷多条平行线。从这一定理出发，波耶又推出了一系列新的定理，从而形成了一个严密而完整的新的几何系统，创立了非欧几何。
当高斯发现非欧几何时，由于害怕遭到传统势力的围攻，而不敢发表，把它锁在书柜里。但年轻的波耶勇敢地向传统观念挑战，决心把自己的见解公布于众。
1825年，波耶在完成了他的非欧几何学后，亲自回到柯罗日瓦尔，向父亲详细介绍自己的研究过程和结果，并请求帮助把自己的论文《一种包含绝对真实的空间科学》出版。
法卡什已失去了探索和创新的勇气，在传统观念的束缚下，对波耶非凡的工作抱着不以为然的态度，拒绝了儿子的要求。
波耶对父亲感到失望，便向维也纳工程学院的老师求援。1826年，他把非欧几何学的德文抄本，寄给艾克维尔数学教授。不幸的是，这个抄本被遗失了。
波耶毫无办法，只好再去求父亲。在多次请求后，法卡什才勉强同意把波耶的论文以附录的形式，出版在他自己正在写的《试论数学定理》这一著作中。
法卡什似乎看到波耶发现了什么新东西，但无法评价。从小就崇拜高斯的波耶，请父亲把自己的论文寄给高斯，希望能得到这位数学权威的评价。1831年6月，法卡什写了一封信连同儿子的论文一起寄给了高斯。
信件向哥廷根飞去，也带走了波耶的心。他多么希望得到高斯的支持啊！
波耶急切地盼望高斯的回信，满怀信心地认为，对数学无所不知的高斯一定能理解和赞赏自己的研究工作。
1832年3月，高斯终于回信信了。
高斯在信中说：“……称赞他等于称赞我自己，因为这研究的一切内容，你的儿子所采用的方法和他所得到的一切结果，几乎全部和我的一部分在30至35年前已开始的个人沉思相符合。……关于我自己的著作，虽只有一小部分已经写好，但我的目标本来是一生里不愿意发表的，大多数人对于那里所讨论的问题都抱着不正确的态度。”
他又说：“使我快乐地感到惊奇的是现在可以免去这劳力的耗费，并且特别高兴的，在我面前有这样惊异姿态的正是老友的儿子。”
从这封信的内容来看，高斯肯定了波耶的研究成果，但也不能过分称赞，那样等于自夸，之所以不愿意发表自己的成果，是为了回避传统势力的围攻。
波耶对高斯模棱两可的回信很失望，同时为和高斯的想法相符合而感到欣慰，更加坚信自己的理论是正确的，期待着尽快得到科学界的承认。
由于学术上的分歧，法卡什只给很小的篇幅附印儿子的论文。经过一再压缩，波耶的论文和他父亲的著作终于在1832年出版了。
罗巴切夫斯基的非欧几何
然而俄国数学家罗巴切大斯基的非欧几何论文，已经在这之前发表了。
就在波耶论文发表的这一年，俄国数学家罗巴切夫斯基因为车祸，几乎成了一个半残废，第二年从军队退役，回到老家。
在这以后，波耶一直过着穷困潦倒的生活。就是在这样艰难困苦的生活中，他仍然从事非欧几何的研究。
1860年，波耶逝世。他的非欧几何没有得到世人的承认。
就在波耶潜心研究第5公设，并发现非欧几何时，比他大10岁的俄国数学家罗巴切夫斯基也大体同时发现了非欧几何。
罗巴切夫斯基于1792年出生在俄国的下诺夫哥罗德，就是现在的高尔基市。他3岁丧父，由善良的母亲把他一手拉扯长大。
由于家境贫寒，生活都难以维持，母亲样无法把儿子送去读书，后来在政府的救济下，罗巴切夫斯基才转为公费上学。
1808年，罗巴切夫斯基进入喀山大学学习。他更加发奋读书，努力学习。他的思想活跃，具有生动活泼的气质，敢于主持正义，见义勇为，并且关心他人，助人为乐。
罗巴切夫斯基有坚强的意志，惊人的毅力，能勤奋地学习，不断地探索，又有良好的学习方法，因此他的各门功课都是优秀，特别是他的数学才能和独创精神赢得了全校师生的赞扬，为他后来攀登数学高峰奠定了坚实的基础。
1811年，罗巴切夫斯基大学毕业，因成绩突出而留在喀山大学任教。由于他在数学上的成就，22岁时就当了喀山大学的副教授，24岁晋升为教授。
罗巴切夫斯基在1816年出任教授后，也加入了试证第5公设的行列，通过几年的努力，他失败了。但是，在失败中，罗巴切夫斯基对第5公设产生了怀疑，并进一步认识到第5公设是不可证明的。
在第5公设不可证明的思想基础上，罗巴切夫斯基开始探索一种新的几何学体系。1823年，他在一份教学提纲中提出建立新几何体系的可能性，并把它上交给校方。
校长马格尼斯基认为，罗马切夫斯基的设想是狂妄的，彼得堡科学院认为他的学说是邪说。
在困难和挫折面前，罗巴切夫斯基没有像其他数学家那样失败后就放弃了对第5公设的研究，他的最大特点是对于大家难以解决的问题敢于提出新见解，敢于碰硬，敢于创新，勇往直前。
罗巴切夫斯基对新的几何学体系进行不断的理论探索。他提出一个与第5公设相反的假设：过直线外一点至少可以作两条直线和已知道线不相交。
这是一个与第5公设相矛盾的假设，按照这一假设应当推出与欧氏几何相矛盾的结果。但是并没有引出矛盾，而是推出了一个新的几何传统，逻辑严密。罗巴切夫斯基把这种抽象的新的几何系统最初称为“抽象几何学”。
1826年 2月 11日，罗巴切夫斯基在喀山大学的一学术会议上，宣读了他的不朽论文——《几何原理的扼要简释及平行线定理的一个严格证明》。
在这篇论文里，罗巴切夫斯基提出了“过直线外一点至少可以作两条直线和已知直线不相交”的“罗氏公设”，与欧氏几何中前四条公设相结合，推出了逻辑上毫无矛盾的非欧几何，或叫双曲几何。
罗巴切夫斯基宣读论文的这一天，后来被定为非欧几何学的诞生日。
但在当时，参加学术会议的委员们根本不相信罗巴切夫斯基的学说，否定它的价值，《喀山大学学报》也拒绝发表。
罗巴切夫斯基认为：“任何科学赖以开始的起初概念是由感觉获得的，而由先天获得的是不应该完全相信的。”他坚信自己的思想是正确的，并不因为受到攻击和谩骂而退让，相反，为了维护真理而不屈不挠地坚持斗争，继续发展自己的思想和学说。
这时候，喀山大学的政治形势发生了变化。1825年老沙皇亚历山大一世死后，惯于献媚的马格尼斯基向王太子康斯坦丁大献殷勤，而贬低尼古拉。但是他根本没有想到尼古拉继承了王位，于是被撤职，压制和打击罗巴切夫斯基就是他的罪行之一。
罗巴切夫斯基升任物理数学系主任，1827年又担任喀山大学校长。
罗巴切夫斯基就是在喀山大学这样特定的政治形势下，得以在该校的学术会议上宣读了非欧几何的论文，让世人知晓，而匈牙利的波耶作为一个服役军官，虽经种种努力和斗争，都无力使他的论文尽快问世。
罗巴切夫斯基是一位十分大胆的数学家、管理学家和教育家，对旧的传统势力和封建思想不卑躬屈膝，敢于抵制各种不正之风。
他在担任物理数学系主任和大学校长期间，对上级教育部门下达的指示有时不听，在他看来，教育部门的指示有时违反教育规律，不符合实际情况，不应该盲目执行。对违反客观规律和学校声誉的指示和意见，不管官职多大，一律抵制和反对，不怕丢官，不怕坐牢。
一些不明真相受欺骗的人，对他的正义行为经常进行诬蔑和诽谤，甚至嘲笑和谩骂，但他从不因为这些舆论而放弃自己的观点和理想，从不放弃对科学的真诚，对真理的追求。
罗巴切夫斯基在从事教育行政事务活动之余，继续研究他的新几何体系。1829年，他写成了《论几何学的定理》的论文，终于在1829年底至1830年初的一期《喀山大学学报》上发表了。
罗巴切夫斯基的不朽功绩，在于他向人类几千年来确信不疑的欧氏几何体系进行了挑战，推翻了欧氏几何是唯一可能的空间形式的说法。非欧几何的产生，改变了欧氏几何中的平行公理，是几何学的重要组成部分，对整个数学的发展起了很大的促进作用。
非欧几何是人类空间认识史上的一次质的飞跃，它后来在相对论中得到了论证，并在天体物理学和原子物理学中得到应用。
然而在非欧几何创立之初，它备受冷落，即使在波耶、罗巴切夫斯基和高斯的故乡匈牙利、俄国和德国，同样没有引起人们的重视。
到德国杰出数学家黎曼创立了一种更为广泛的非欧几何时，非欧几何才逐渐为人们所瞩目。
接力赛中又一棒
1826年9月17日，黎曼生于德国汉诺威的一个乡村牧师家庭，虽然家庭贫困，但小黎曼的头脑特别聪明。
6岁时，黎曼上学后即崭露出他的数学天才。几年后，他甚至超过了乡村数学教师的水平，解题方法更高明。由于贫穷的乡村教师在教学之余，还要忙一些家里的活计，便经常请黎曼代他上数学复习课，这对黎曼数学水平的提高很有好处。
1840年，黎曼进入大学预科学习，因学习的勤奋和成绩的突出而得到校长的赏识，便把自己的私人图书馆向黎曼开放。
黎曼立即钻进图书馆里，如饥似渴地阅读起来，对那些数学书籍尤感兴趣，以惊人的速度和难以令人相信的理解力，攻读数学名家的著作。
1845年，黎曼以优秀的成绩考进哥廷根大学。父亲希望他学习神学，将来成为一名出色的牧师，然而黎曼迷恋于数学。又被哥廷根大学浓郁的数学研究气氛所感染，便放弃神学而改学数学。
这时，高斯已经年迈，黎曼便成了德国另一个著名的数学家狄黎克雷的学生。狄黎克雷在数论和级数方面取得了很大成就，并熟悉德国和欧洲其他数学家的成就和思想，这对指导黎曼的数学发展起了很大作用。
黎曼在数学上很快成长起来。
1851年，黎曼完成了博士论文《复变函数论的基础》。在这篇论文里，他把单值解析函数推广到多值解析函数，并且引入“黎曼曲面”的重要概念，确立了复变函数的几何理论基础。因而他是复变函数论的创始人之一。
这是数学史上的一篇出色的论文，高斯给予了很高的评价：“作者对论文中讨论的课题进行了深入而透彻的研究，能够进行创造性的、真正数学的思维，具有极其丰富的独到见解。”
高斯最后肯定这是一篇很有价值的论文，远远超过了对博士论文的要求。
黎曼开始研究非欧几何学。波耶和罗巴切夫斯基认为第 5公设不可证明，都提出了自己的新几何体系。
罗巴切夫斯基的非欧几何体系是以“过直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不相交”为前提的。黎曼在研究这个问题中，认为在一种更为广义的曲面中，根本没有平行直线。
根据这一结论，黎曼又演绎出了一种新的几何体系，这样就出现了两种非欧几问，一种就是罗巴切大斯基的双曲几何，一种就是黎曼的椭圆几何。
黎曼在学术上有所进展，然而他的工作却无着落。在获得博士学位后，他由于出身贫寒等原因，一直没有找到正式工作。
黎曼希望能在数学研究气氛浓厚的哥廷根大学工作，第一步便是申请编外讲师。
按照德国大学的惯例，申请人首先要进行论文演讲，由申请人自己呈报3个演讲题目，然后学校学术委员会根据其水平最后定夺。
一般来说，申请人要呈报3个题目，学术委员会让申请人演讲第一个题目，第二个题目和第三个题目只是做做样子而已。因此，第一个题目都是申请人花费时间最多的，经过精心准备和深思熟虑的。
黎曼向学术委员会呈报了3个演讲题目，认真地准备着，希望能像博士论文那样获得评委们的高度评价，从而登上这所著名大学的数学讲坛。
欧洲最大的数学权威高斯，也是学术委员会的评委之一。当他看到黎曼的演讲题目时，不禁被吸引住了；“关于几何基础”不就是自己从18世纪未就开始思考的问题吗？由于害怕世人的围攻而没有发表，后来匈牙利的波耶和俄国的罗巴切夫斯基终于大胆地把它发表出来，并创立了非欧几何，了却了自己的一桩心事。
现在黎曼又提出这个问题，难道又有什么新见解吗？高斯很想知道。
但是，从题目的排列顺序来看，“关于几何基础”排在第三位，高斯不禁眉头一皱，难道这个题目仅仅是做做样子吗？
对于黎曼，高斯是了解的。这个青年数学根底深厚，思想活跃，对很多数学问题都有独到的见解，对这个题目肯定有所研究，于是决定打破常规，让申请人演讲第三个题目，一方面看看“具有独创精神”的黎曼如何应付这个挑战，一方面满足自己难以遏制的好奇心理。
学术委员会向黎曼发出通知，要求他演讲第三个题目。
黎曼感到非常突然。
为了应付这一次演讲，黎曼集中精力准备了第一个题目，而把第二、第三个题目搁置一边了。当演讲日期快要临近的时候，却临时换了一个题目，这是黎曼没有料到的。
在通常情况下，申请人如果准备不充分，可以拒绝演讲，等准备成熟时，再一次申请。
而富有挑战精神的黎曼并没有放弃这次机会，他对提出的3个题目都有所研究，只不过第一个题目研究得更充分罢了，何况他对第三个题目已有思路和结果，只缺少严密的论证。
黎曼立即投入到第三个题目的研究中，力争在最短的时间内完成这一工作。
夜深人静，人们早已结束一天的劳作而进入了梦乡。
在一片黑暗中，哥廷根大学宿舍区却透出一点微弱的光亮。煤油灯好像已经疲倦了，只放射出昏暗的弱光。灯光下，一个青年好像毫无倦意，正在进行紧张的数学研究。
这个青年就是黎曼，演讲日期越来越近，他不得不夜以继日地奋战。为了写出出色的论文，他的大脑像一台高速机器，超负荷地转动。
演讲日期到了，高斯和其他评委们静静地坐在演讲厅上。高斯心情激动，急切地期待黎曼汇报新成果。
黎曼胸有成竹地走上讲台，滔滔不绝地演讲起来。
“在欧氏几何中，过直线外一点只能作一条与已知道线平行的平行线；在罗巴切夫斯基的非欧几何中，过直线外一点至少可以作两条与已知直线平行的平行线；而我认为，过直线外一点根本不能作出与已知直线平行的平行线……”
在黎曼的演讲过程中，高斯和其他教授为之惊异，赞叹不已。
这是数学史上最为成功的学术演讲之一。黎曼对已知几何作了纵贯古今的理论概括，创立了新的非欧几何体系，即椭圆几何，开辟了微分几何发展的新途径。
黎曼终于成为哥迁根大学的编外讲师，自豪地站在哥廷根大学神圣的讲坛上，传授自己丰富的数学知识。
此后，黎曼义取得了一系列的成果。
在《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》的论文里，指出可积分函数不一定是连续的，并给出判断积分存在的准则。而在这之前，法国著名数学家柯西曾证明，连续函数必定是可积分函数。
在论文《在给定大小之下的素数个数》中，提出“黎曼猜想”，至今还没有人能证明。
黎曼对数学的许多重要分支都曾作出贡献，以他名字命名的数学术语、概念和方法有十几条，诸如“黎曼曲面”、“黎曼几何”、“黎曼猜想”、
“黎曼函数”、“黎曼映射定理”等。
1866年7月20日，由于过度劳累，黎曼因病逝世，年仅
通过一代又一代数学家的研究，关于第5公设的数学之谜终于揭开了。
欧氏几何和非欧几何的关系。有点类似牛顿力学和相对论力学的关系，当考虑局部不变的性质时，欧氏几何是正确的；当考虑宏观宇宙时，就要采用非欧几何。
非欧几何的创立，不仅在微分几何、微分方程、复变函数论等领域里有重要作用，而且也为后来的现代物理学，特别是广义相对论的建立准备了必要的数学工具。
高等代数的开创性进程
19世纪数学的另一伟大成就，是高等代数的开创性进展。
代数学的主要内容之一是求解代数方程和代数方程组。
早在古代数学的发展中，数学家们就发现了一次、二次、三次、四次代数方程的根式求解法。后来数学家们开始向五次和五次以上的高次代数方程进军，力图用同样的方法求解高次代数方程。在这个过程中，开创了一个新的数学分支——群论。
在对高次方程的根式求解中，做出杰出贡献的是两位不到30岁的年轻数学家阿贝尔和伽罗华。
阿贝尔是挪威人，于1802年8月 5日出生在克里斯卡尼亚附近的一个贫苦乡村牧师的家庭里，幼年丧父。由于家里生活非常困难，使阿贝尔不能按部就班地求学深造。
阿贝尔自幼聪明好学，数学成绩出众，因家境贫寒，常常依靠周围的人和亲友的帮助，使他在求学时期就结交了许多朋友。
从中学时代起，阿贝尔对数学更感兴趣，这和学校的数学教师霍伦波很有关系。霍伦波有较高的数学知识，对班级的数学尖子阿贝尔非常喜欢，注意培养他的数学才能，发掘他的数学天赋，借给他数学家的名著。
从此，阿贝尔一头扎进数学家的著作里，刻苦攻读，成了“数学迷”。
中学还没有毕业，阿贝尔就向当时公认的数学难题，关于五次方程的代数解法展开了进攻。
我们知道一元一次方程的求根公式，也了解一元二次方程的两个根的求根公式。
2
比如在二次方程ax＋bx＋c=0，其中 x是未知数， a， b，C都是
- b ± b2 已知数，那么这个二次方程的根可用公式：x = 来计算。
2a
凡是给出这样一个公式的，就把方程称为“可以代数求解”，凡是给不出这样一个公式的，就把方程称为“不可以代数求解”。
二次方程的代数解法，很早就解决了。三次、四次方程的代数解法，已在16世纪由意大利数学家塔塔里亚和费拉利等人解决了。
数学家的目光自然地转移到五次方程或更高次方程的求根公式上。在 17世纪和18世纪，几乎所有数学家都研究过这个问题，但都没有成功。著名数学家欧拉和拉格朗日也研究过这个问题，拉格朗日说，这个问题好像是在向人类的智慧挑战。
既然许多人的尝试都失败了，是否像欧氏几何中的第5公设不可证明一样，根本不存在四次以上高次方程的代数解法呢？但是，这也需要数学证明。
1801年，高斯在他的《算术研究》一书中指出，某些高次代数方程能够用根式法求解。但是，他没有进行严格的证明。
阿贝尔在中学就向这个难题进军，充分发现了他初生牛犊不怕虎的闯劲，以及青年人那敢想敢干的蓬勃朝气。当然，他的努力失败了，毕竟他还太小，掌握的数学知识太少，单凭朝气和闯劲是解决不了问题的。
1820年，阿贝尔在亲友的帮助和支持下，考入大学。当时，这所大学没有数学系，而阿贝尔的特长在数学方面，于是他在完成学校规定的课程外。把全部时间和精力用于研究数学。
在大学期间，阿贝尔继续研究五次方程的求解问题。怎样用加、减、乘、除和开方的代数运算，来求出五次方程的解呢？他冥思苦想，反复运算，希望有朝一日能解决这个难题。
阿贝尔善于学习前人的经验，特别对一些数学大师的著作深有研究。欧拉、拉格朗日、柯西、高斯等人的著作和文章，都对阿贝尔很有启发。
通过不断的探索和研究，在1824年，22岁的阿贝尔根据意大利数学家鲁芬尼的预言，证明了五次代数方程用加、减、乘、除、开方等代数运算将根明显地表达出来是不可能的。
在此基础上，阿贝尔写成论文《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，从而解决了几百年一直没有解决的问题，开辟了近代代数方程论的道路。这篇论文，以后被收进阿贝尔的全集，流传至今。
但在当时，阿贝尔必须自己掏钱来印刷论文。贫穷的阿贝尔读书都要别人资助，哪里有钱呢？阿贝尔深知这一结果的重要性，为了让更多的人知道，便咬紧牙关，把论文浓缩成只有6页的小册子，印刷了出来。可惜的是，由于论文太短，他的证明就显得不够充分了。
阿贝尔满怀信心地把这些小册子寄给外国一些著名的数学家，希望得到他们的肯定。
但是，阿贝尔役有想到，一个22岁的不知名的小人物，解决了几百年悬而未决的大问题，这能叫人相信吗？当那些数学权威们收到他那印得很差的论文时，有的人随手翻了一下便扔进了垃圾堆，甚至有人连翻都没有翻，就弃之一边了。
当数学之王高斯收到小册子时，觉得用如此短的篇幅来证明这个著名的问题是不可能的，便随手放进了书堆里。他哪里知道，这个小册子是阿贝尔无钱出版而高度浓缩的呢？
大学毕业后，阿贝尔为了得到名家指点，钻研自己喜爱的数学，在1825年来到德国柏林。由于找不到工作，只得靠投稿加做工来维持生活。但不管遇到什么困难，他都离不开数学，而是仍然按照他的计划和目标向数学王国冲锋陷阵。
阿贝尔是一个意志非常坚强的人，他钻研数学的目的，不是为了金钱，也不是为了出人投地，更不是为了成名成家，而是为了科学。即使再极端的困难，甚至在连肚子都填不饱的情况下，他仍然没有放弃数学研究，而是信心十足地探讨数学问题。
1826年，阿贝尔到了法国。他把写成的长篇论文《论一个非常宽广的超越函数族》，托人转交给大数学家柯西，直到年底一直音讯杳然。
由于阿贝尔在国外受到冷遇和歧视，生活又没有保证，1827年，他只好回到挪威。回国并不意味着生活有了保障，等待他的仍然是穷困潦倒。
不久，阿贝尔在朋友的帮助下，到一所军事学院代课，生活稍有改善。由于贫穷就像老朋友一样始终没有离开过他，已经把他的身体折磨得越来越虚弱了，生命留给他的时间已经很少了。
阿贝尔抓紧最后的时间，拼命研究数学，又取得了一些成就。
1829年4月 6日，这位年仅27岁的青年教学家逝世。
在阿贝尔短暂的一生中，他在数学的许多方面都取得了很有创见的成就。
首要的成就是，证明了五次方程不可能用一般数学方法求解，震动了整个数学界。
其次是彻底证明了二项式定理。
再次是创立了椭圆函数论，等等。
如果大数学家高斯、柯西等人在认真地看过阿贝尔的杰出论文后，为他说上一句话，就会使他摆脱贫困，而不至于英年早逝，那么阿贝尔将不知道要解决多少数学难题，数学发展的步伐就会大大加快。
英年早逝的天才
挪威27岁的数学家在数学史上写下了光辉的一页，法国21岁的数学家伽罗华也为数学做出了杰出的贡献。
伽罗华于1811年出生在巴黎附近的布拉兰镇。这时的法国已由轰轰烈烈的大革命而转入波旁王朝的复辟时期。他的父亲参与政界活动，是一位热衷于民主共和的政治家；母亲是一位法官的女儿，聪明而有教养，曾当过教师。
法国的政治形势和家庭环境，对伽罗华的成长和处世都有一定的影响。们罗华的启蒙老师是母亲，善良的母亲对他要求非常严格，亲自给他上课和批改作业，在作业中如果哪里有错，必须重做，直到正确为止。母亲不仅教给儿子各种基本知识，还介绍了古希腊文学中的英雄故事。
1823年，伽罗华考入一所皇家中学，在中学时，伽罗华最感兴趣的课程是数学，很快，课本上的数学内容已不能满足他了。数学老师为有这样的学生而高兴，亲自为他找来拉格朗日、高斯、柯西等数学名家的著作，伽罗华如获至宝，津津有味地读起来。
伽罗华很快就坠入数学王国的深河而不能自拔，在数学领域中表现出来的深刻的理解力令人吃惊。
由于他对数学有特殊的偏爱，而对其他科目没有好好学习，因此他在报考巴黎著名的综合技术学校时，没有被录取。1828年，他考入了巴黎师范大学。
这一年，年仅17岁的伽罗华在老师的鼓励和指导下，写出了第一篇学术论文——《关于五次方程的代数解法问题》，并把它提交给法国科学院。
这篇论文标志着伽罗华数学研究的开始。
然而伽罗华太年轻了，才只有17岁，数学界的权威们根本没有把这个毛头小伙子放在眼里，他的论文当然没有受到重视。
经伽罗华和他的老师一再请求，法国科学院决定审查伽罗华的论文，负责审查的是当时的大数学家波松和柯西。
审查会议终于开始了，不幸的是，柯西怎么也找不到伽罗华的论文，原来他把这个“小人物”的论文弄丢了，评价无从谈起。
这件事发生在大数学家柯西的身上，是很不应该的，人们无法原谅柯西的草率和不负责任的态度。
柯西无可奈何地建议伽罗华重写论文，去参加科学院举办的大奖赛。
1829年，伽罗华把论文修改整理后，又呈送科学院。因柯西离开法国，这次负责审查的是院士傅立叶，然而，傅立叶不久因病逝世，在他遗留下来的文稿中，伽罗华的论文又被弄丢了。
伽罗华的研究成果再次石沉大海！
法国科学院的草率令人难以容忍！
伽罗华的论文又一次失去了被肯定的机会。当他在1830年底得知这一消息时，显得非常暴躁，但他血气方刚，相信自己的理论是正确的，便继续努力，勇往直前。
1831年，伽罗华写成了《关于用根式解方程的可解性条件》的论文，第三次送交审查。
审查人波松无法对伽罗华的论文做出判断，当然也就不会发现其中所包含的划时代的数学思想，于是写下了他的审查结论：“完全不能理解！”
伽罗华生不逢时，他的光芒四射的论文就这样被否定了。
伽罗华的论文三次遭到厄运，是很不公平的，这个20岁的年轻人能经受住这种挫折和打击吗？伽罗华没有退缩，倔强的性格使他继续向方程论、群论、函数等领域进军。
伽罗华在勤奋研究数学的同时，积极参加政治活动。
1830年7月，法国人民掀起了推翻波旁王朝的第二次资产阶级革命，革命取得了胜利，推翻了波旁王朝复辟的封建专制制度，但是革命的成果落到了金融资产阶级的代理人路易·菲力浦的手中。
伽罗华积极参加这一革命，走在人民斗争的前列，并组织同学共同为推翻封建国王的独裁统治而斗争。他还揭发学校的校长在“七月革命”中的两面派行为，而被学校开除。
被开除后，伽罗华并没有改变自己的主张，而是更积极地投身到反对路易·菲力浦的斗争中，还参加了激进的共和主义组织“人民之友”，经常串联一些进步青年，进行革命宣传和集会，上街游行示威。
他的这些活动，引起了官方的注意，遭到了反动政权的迫害，两次被捕入狱。
伽罗华在监牢里毫不屈服，慷慨陈词，进行不妥协地斗争，并发誓：“如果为了唤起人民需要我死，我愿意牺牲我的生命。”
伽罗华性格倔强，刚正不阿，既痴情于数学研究，又热心于政治活动，从而把科学理想和政治信念结合起来，追求真理，并为真理而不懈地斗争。
监狱生活没有阻止伽罗华的数学研究。监狱里虽然生活苦，条件差，但伽罗华仍能静下心来，抓紧一切时间刻苦钻研数学。
9个月的监狱生活，伽罗华的身体遭受了严重的摧残，1832年4月，因病出狱就医，不久期满释放。
伽罗华出狱后，打算继续从事数学研究，可是，由于受人挑斗和爱情的原因，伽罗华与人相约在5月30日决斗。
在决斗前夕，伽罗华写了两封遗书。
一封是写给革命战友的。他说，我请求我的革命战友们不要责备我不是为自己的祖国而献出生命，我曾想尽办法拒绝决斗，但是迫不得已才接受了挑战。
伽罗华在生命的最后时刻，仍然想着他的祖国，他的战友。
另一封是写给好友舍瓦列耶的，内容是他精心研究的数学成果。伽罗华说：“这些想法在我的脑海里已经有一段时间了”，请你把它“刊载在《百科评论》杂志上”，并请你“公开向雅可比和高斯请教，请他们发表自己的意见，谈谈这些理论的意义和价值”。
伽罗华还是忘不了数学。
1832年5月30日，伽罗华在决斗中身受重伤，第二天去世，年仅21岁。
伽罗华的一生是极其短暂的，然而却为数学做出了重大贡献。
伽罗华的主要成就，是彻底解决了用根式解代数方程的可能性的判断问题。他发现了每个方程必有反映其特性的置换群存在，从而应用群论的方法解决了代数方程可用根式求解的条件。
从此，代数学的中心问题不再是解方程，而渐渐转向代数结构本身的研究。
伽罗华为群论的建立、发展和应用奠定了基础。他和阿贝尔是近世代数的创始人。
可是，伽罗华的成就在当时没有受到重视。
直到1846年，法国数学家刘维尔把伽罗结的成果刊印在自己创办的数学杂志上，人们才开始了解这些成果的重要性。法国数学家若当在1870年出版的著作《置换和代数方程专论》中，进一步阐述了伽罗华的思想。
这样，枷罗华超越时代的天才思想，才逐渐被人们理解和承认。
人们为伽罗华这样的天才过早地离开人间而感到惋惜。有人说，如果伽罗华还活着，将使数学发展加快数十年。
的确如此。
然而，他的论文三次遭厄运，他本人被学校开除，又两次被捕；即使在死后，他的成果也不被人理解和尊重，我们怎么能责怪这位不足21岁的年轻人呢？
康托尔的集合论
科学的道路是崎岖不平的，创立新思想的人，大多受到传统势力的反对、打击和迫害，康托尔创建的集合论，是又一个典型的例子。
1845年3月3日，康托尔出生在俄国波得堡一个具有犹太血统的家庭，11岁时，与父母移居德国法兰克福。
康托尔从小就学习勤奋，喜欢独立思考问题，并对数学产生强烈的兴趣，成为一名数学家是他的远大志向。
1863年，康托尔考入德国著名的柏林大学，按照他父亲的主张学习工程学。当时处于科学研究旺盛时期的数学大师魏尔斯特拉斯，正在柏林大学任教，他对康托尔影响很大。
康托尔越来越不喜欢工程学，在征得父亲的同意后，不久转为学习纯数学。
1867年，康托尔获得数学博士学位。他的数学论文没有什么独创性的见解，为此产生了是否授予他博士学位的争论。以严厉著称的克罗内克教授提出反对意见；而魏尔斯特拉斯等教授认为，康托尔的论文写得是很出色的，观点鲜明，证据充分，虽然没有创新，但还是基本符合博士论文的要求的。
为了激励青年人勇攀科学高峰，康托尔最终还是得到了博土学位。
魏尔斯特拉斯把这一情况告诉了康托尔，并勉励他要刻苦钻研，不断进取，多出成果，为母校争光。
康托尔非常激动，决心为数学发展做出贡献，报答母亲的关怀。
1869年，康托尔担任哈勒大学的讲师。
1872年，康托尔在研究高斯的论著时，将其数论中的一个结论，外推到适合无穷集合的情形，开始了他的集合论的研究。
我们知道，数字1的后面是2，2的后面是3，3的后面是4……那么最后边的是什么呢？数学家称之为“无穷”，从1到“无穷”组成的集体，被数学家称为“无穷集合”。
从古希腊以来，人们在讨论集合的时候，有很多问题迷惑不解。
伟大的科学家伽利略也与无穷集合打过交道，提出过一个悖论：一方面，整数和偶数可以一一对位，从而认为它们同样大；另一方面，偶数又是整数的一部分，这样一来就得出了部分可以等于整体的结论。
伽利略最终以“不可理解”而放弃了对这个问题的研究。
在19世纪以前的科学家，对无穷集合这个无底的深渊，绝大多数都是绕着走，躲开它。而康托尔勇敢地对这个深渊进行探秘。
康托尔废寝忘食地进行研究，首先熟悉一下这一领域的历史发展状况，看前人的思路是怎样的，研究不下去的问题是什么，为什么研究不下去。然后，根据自己的研究，解决这些问题，并进一步发现新问题，解决新问题。
康托尔的数学思想是有创造性的，提出了一一对应的概念，从而得出了比较无穷集合大小的方法：
比如，是整数集合大还是偶数集合大？对这个问题，康托尔采取配对的方法，把每一个整数和每一个偶数配成一一对应：
1，2，3，4，5，
2，4，6，8，10……
这样的排列和配对将永远进行下去，以至无穷。
康托尔的配对方法不是随意的，而是要所有的元素都恰好配对，如果能找到这种配对，那么这两个集合就有相同的“势”，或称这两个集合是等势的。
从上面的排列和配对来看，整数集合的每一个元素正好对应偶数集合的另一个元素，因此，整数集合和偶数集合是等势的。两者一样大。
于是，康托尔得出结论：如果在两个集合的元素之间可以建立某种一对一的对应关系，则这两个集合就定义为等势的，也就是大小一样的。
这是测量有穷集合和无穷集合大小的一把“尺子”。
无穷集合都是等势的吗？不一定。康托尔证明了，一个正方形面上的点的集合，并不比正方形一边上的点的集合有更高的势；一条线段上的点的集合，比自然数集合有更高的势。
康托尔研究的结果，是非常有趣和怪异的。这使他感到困惑，他说：“我得到了它的结论，但我不敢相信它。”
难道是这个结论错了吗？
康托尔检查了每一步骤，反复运算，无论是研究过程还是研究方法，都是正确的。
摩托尔深信不疑。
1874年，康托尔发表了无穷集合理论的第一篇论文，标志了集合论的诞生。
对这一篇论文，康托尔是忐忑不安的，自己怪异的结论能使数学界接受吗？同时，他也认为新生事物的产生不是一帆风顺的，过一段时间，自然会得到人们的承认，阿贝尔和伽罗华的理论就是一个例证。
然而，论文发表后，并没有引起普遍的斥责和打击。
康托尔信心倍增，1878年，又发表了第二篇关于集合论的论文，数学界仍然风平浪静。
紧接着，摩托尔发表了一系列论文。
在论文中，他引进了“可列”一词，把凡能与正整数构成一一对应的任何集合都叫可列集合。他还证明了有理数集合是可列的，所有代数数全体构成的集合也是可列的，而实数集合则是不可列的。
康托尔还提出了“超穷基数”和“超穷序数”的概念，关于它们的理论，更是一大创举。
随着康托尔发表的集合论的论文不断增多，他立即遭到了一些人的攻击，有人说他“信口开河”，有人说他“无病呻吟”。渐渐地讽刺、嘲笑、围攻接踵而来，几乎压得康托尔透不过气来。
当时的权威克罗内克，对康托尔进行了严厉的批评和打击，更带动了一大批人向康托尔射去了讨伐之箭。
在巨大的压力和打击下，1884年，康托尔得了精神分裂症，并发展到精神崩溃，成了一个疯子，每天都自言自语地说：“我是对的！”“你们是错的。”
康托尔被送进了医院。
真理毕竟是真理。康托尔的集合论得到了一些数学家的支持，著名的希尔伯特说过：“没有人能把我们从康托尔为我们创建的乐园中赶出去！”
1897年，康托尔的集合论在第一次国际数学家会议上，最终得到了承认。
康托尔的集合论对现代数学的结构产生了重大影响，它在数学的不少分支得到了应用。
一代数学巨人康托尔于1918年1月6日逝世。
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