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勾股定理
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勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。可是，我国周朝初年 （约公元前1100年）的数学家商高早就讲到过“勾广三，股修四，径隅五”，这实际上就是勾股定理的一个特例。根据我国史书记载，早在公元前五六世纪，就用过勾方加股方等于弦方的公式，不过没有证明过程。我国对勾股定理认识的发展是在西汉时期。这一时期的研究既有理论又有应用，在《九章算术》中有详细的记载。而定理的证明，三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》进行了详细的记述。
赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角三角形 （三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起来形成矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间留出了一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄实”，也叫“差实”）。
赵爽释注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。”开方除之
2 2 2是当时开方运算的术语。上面这句话实际上就是勾股定理即：a+b=c。他又巧妙地证明出：“按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四。以勾股之差自相乘中黄实。加差实亦成弦实。”
2 2
即2ab+（b-a）=c
2 2 2
化简便得出：a+b=c
这个证明不但是勾股定理最早的严谨的证明，而且也是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个。
勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索过它的证明方法。据说，它的证明方法有500来种。我国在清朝初年有一位数学家叫梅文鼎（1633～1712年），他发明的一种证法极为简便，只需用一张硬纸，剪上几剪刀，一拼就可证明出来，读者如有兴趣不妨试一试。在 1940年，一本名为《毕达哥拉斯命题》的书中，就专门搜集了367个不同的证法。其中有一个证法最令人感兴趣，它是由一位美国总统作出的！
根据当代著名数学科普作家马丁·加德纳的报道，1876年4月1日，波士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂志》上刊出了勾股定理的一个别开生面的证法，编者注明资料是由俄亥俄州共和党议员詹姆土·A·加菲尔德提供的，是他和其他几位议员一起做数学游戏时想出来的，并且得到了两党议员的一致同意。后来，加菲尔德被选为美国总统。于是他的证明也就成为人们津津乐道的一段珍闻轶事了 （据说这是美国总统对数学的唯一贡献）。
加菲尔德的证法的确十分干净利落。作直角三角形ABC，设其边长分别为BA=c是斜边，AC=b，BC=a。作AE⊥BA，并使AE=BA，再延长CA到D，使AD=BC=a，连D、E，则四边形CBED梯形，
1 1其面积等于 DC(BC 2 2
求证△DAE与△CBA是全等三角形，于是△DAE、△CBA与△ABE的面
1 ab积之和等于 C2 2 c
由于三个三角形面积之和即是梯形的面积，因此可得出等式：
1 1
(a 2 2
2 2 2
化简后即得等式：a+b=c
这样勾股定理便得到证明。
人们在研究勾股定理时还发现一个有趣现象。古巴比伦人就知道三条边为下列各数的一些三角形：
120，119，169；
3456，3367，4825；
4800，4601，6649；
13500，12709，18541；
72，65，96；
360，319，481；
2700，2291，2541；960，799，1249；
600，481，769；
6480，4961，8161；
60，45，75；
2400，1697，2929；
240，161，289；
2700，1771，3229；
90，56，106。
以上每个数组中的数，我们称为勾股数。
一般说来，如果正数x，y，z能满足下列不定方程
2 2 2
x+y=z（1）
则这些整数叫做勾股数。
那么怎样求出勾股数呢？我们再观察几个简单的直角三角形的边：
3，4，5；5，12，13；
7，24，25；9，40，41；
11，60，61；13，84，85；
……
从这些数中，可发现以下规律：
第一个数是奇数，第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第一个数的平方加1再除以2，即设m为奇数，则一般会有：
m2 m2 2 2
于是就有
m2 m2 2 2
其中m为奇数。
但这只是一部分勾股数的规律。
（2）式两边同乘以4，则变形得：
2 2 2 2 2
（2m）+（m-1）=（m+1） （3）
很显然 （3）式不论m是奇数还是偶数，等式都能成立。
然而由（3）式仍不能得到全部的勾股数。
那么怎样才能得到全部的勾股数呢？在公式（3）中，m为任意自然数，1是一个特殊的自然数，若它也变成任意自然数，设它变成n，为了使（3）
2 2式保持恒等， （3）中的第一项（2m）应变成 （2mn），则有
2 2 2 2 2 2 2
（2mn）+（m-n）=（m+n） （4）
其中m＞n，（m，n）=1且m除以n的余数不等于2。
那么，可以证明出式（4）包括了全部勾股数。对于勾股定理的深入研究，人们不仅要问
n n n
x+y=x（5）
其中n＞2，n是自然数。（5）式是否也有正整数解呢？这就是到现在还仍未解决的“费马猜想”。
通过上面的介绍，各位读者是否觉得勾股定理十分有趣呢？
欧几里得妙法
数论与几何学一样，是最古老的数学分支。欧几里得的《几何原本》的七、八、九章，讲的就是数论。
对于素数的研究，在数论中占有很重要的位置。
我们知道，正整数是由 1、素数（也叫质数）与合数这三类数组成的。一个大于1的正整数，如果只能被1和它本身整除，不能被其他正整数整除，这样的正整数就叫做素数；否则就叫做合数。在整数 1、2、3、4、……中，去掉1与全部合数，所得的表：
2，3，5，7，11，13，17，称为素数表。在素数表中，除了第一个素数2，其余都是奇素数。现在世界上最好的素数表是查基尔编的，列有大不大于50000000（五千万）的素数。
关于素数，最古老的问题是：素数有多少个？欧几里得在《几何原本》中，最先证明了素数有无穷多个。他的巧妙的证明方法，闪耀着智慧的光辉。2000多年来，人们虽也提出过一些别的证法，但是直到今天，还是欧几里得的证明方法最好。
欧几里得证明素数有无穷多个的方法，大意是：
假若素数只有有限多个，设最大的一个是P，从2到P的全体素数是：
2，3，5，7，11……，P。
所有的素数都在这里，此外再没有别的素数了。
现在，我们来考察上面从2到P的全体素数相乘、再加上1这个数，设它是A，即
A=2×3×5×7×11×……×P+1。
A是一个大于1的正整数，它不是素数，就是合数。
如果A是素数，那么，就得到了一个比素数P还要大的素数，这与素数P是最大素数的假设矛盾。
如果A是合数，那么，它一定能够被某个素数整除，设它能被g整除。
因为A被从2到P的任何一个素数除，余数都是1，就是都不能整除，而素数g是能整除A的，所以素数g不在从2到P的全体素数之中。这说明素数g是一个比素数P更大的素数，这又与P是最大的素数的假设矛盾。
上面的证明否定了素数只有有限多个的假定，这就证明了素数是无穷多个。
这个证明的构思非常巧妙，它的基本思路是：既然对于无论多大的素数，都一定有比它更大的素数，那当然素数就是无穷多个了。
素数虽然有无穷多个，但是在自然数中，它是排列得相当稀的。人们证明了这样一个道理：无论给定一个多大的正整数，比方说100亿万，一定能找到一个正整数，在这个正整数中，一个素数也没有。如果你不是说100万，而是说100亿万，这个结论也成立。
这个定理的证明，在构思上与证明素数无穷相象。
素数虽然有无穷多个，但人们能具体写出来的，总是有限个。因此，找一个比现在所知道的最大素数更大的素数，是人们经常探讨的难题之一。
素数类型
在对素数的长期研究中，有几种类型的素数特别受到重视，这里介绍两种素数的类型Rn与Mn。
Rn
n个1
是一个n位数，n位都是1。R如果是素数，就称为R型的素数，例如
n nR=11就是R型的素数。显然，如果R是素数，n必定是素数。
2 n n
这样的素数一共发现了四个，即R，R，R，R 。从发现R到发现
2 19 23 317 23R ，中间经历了50年的时间。R ，这个素数，是1978年初，由加拿大数
317 317学教授威廉斯证明的。他在检验R 不可能有任何别的素数因子时，是用计
317算机来检验的。现在研究数论，大量的计算都是用电子计算机来完成的。
目前，人们猜想下一个Rn型的素数是R 。
1031
R
凡是形状是2-1的数记作Mn，叫做麦什涅数，如果是素数，就叫做麦什涅素数。例如M=3，M=7，M=31等是麦什涅素数。
2 3 5
人们证明了：如果Mp是麦什涅素数，p一定是素数。但是，不能认为p
11是素数，Mp就是麦什涅素数。例如M=2-1=2047=23×89，就不是麦什涅素
11数。
1978年底，美国加利福尼亚大学的两个学生尼克尔和诺尔，利用电子计
21701算机证明了M 是素数。M =2 -1，是当时能写出来、并且能加以证
21701 2170明的最大素数。
我国在报导这一素数时，曾有过这么一段故事：
1978年11月21日，我国有报纸刊登了：
“[法新社美国加州赫沃兹十一月十五日电]两位美国学生发现了最大的
21701已知质数2 。”
报纸出版没几天，这家报纸的编辑部和很多科技报刊以及许多大学的数学系，就收到了大量的群众来信，内容主要是指出：
21701
2 肯定是合数 （2的倍数），怎么能是素数呢？
21701
后来，有的报刊更正说，新发现的最大已知素数，应该是2 -1，报
21701纸上把2 -1的“-1”都丢了。
紧接着，一些数学教师就围绕着这个数据，出了一些供青少年解答的有趣的数学题目。比如
21701
2 -1有多少位？头两位与末两位各是什么数？ （答：有6533位；头两位是44，末两位是51。）
21701 m n
2 +1是素数吗？你能不能证明：若2+1是素数，则m=2。
44497
到1979年底为止，人们已知的最大素数是2 -1。
值得注意的是：数学家在判断具体的Rn、Mn和Fn是不是素数时，虽然一般都要借助于大型电子计算机，但是困难的研究工作，还得靠人来完成。
16384 214
例如，有人已经证明了2 +1（即F=2+1）是一个合数，可是无论
14用现有的什么样的计算机，也找不出它的任何一个因子来。因为人们还没有把这个问题，转化到计算机能帮得上忙的程度。
斐波那契的数列
中世纪最有才华的数学家斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利比萨市的一个商人家庭。因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学。成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛。
斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究。他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大数学的发展。他在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料。回国后，便将这些资料加以研究和整理，编成《算经》（1202年，或叫《算盘书》）。《算经》的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家。继《算经》之后，他又完成了《几何实习》（1220年）和《四艺经》（1225年）两部著作。
《算经》在当时的影响是相当巨大的。这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作。
在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内，一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零”。斐波那契的《算经》，介绍了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌。他在这本书的序言中写道：“我把自己的一些方法和欧几里得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本15章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏。
在斐波那契的《算经》中，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种解法都进行了严格的证明。下面是书中记载的一个有趣的问题：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？
现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。
第1个月到第6个月兔子的对数是：
1，2，3，5，8，13。
我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。
显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内1对兔子能繁殖成233对。
在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。
这个数列可以由下面递推关系来确定：
a = a = 1
另外，我们还可以利用等比数列的性质，推导出斐波那契数列的一个外观比较漂亮的通项公式：
1 1 an 5 2 2
读者可以用数学归纳法去加以证明。
在美国《科学美国人》杂志上曾刊登过一则有趣的故事：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长和宽都是13分米的地毯，他想把它改成8分米宽、21分米长的地毯。
他拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔，并对他说：“我的朋友，我想请您把这块地毯分成四块，然后再把它们缝在一起，成为一块8分米×21分米的地毯。”奥马尔听了以后说道：“很遗憾，兰迪先生。您是一位伟大的魔术家，但您的算术怎么这样差呢！13×13=169，而8×21=168，这怎么办得到呢？”兰迪说：“亲爱的奥马尔，伟大的兰迪是从来不会错的，请您把这块地毯裁成这样的四块。”
然而奥马尔照他所说的裁成四块后。兰迪先生便把这四块重新摆好，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块8分米×21分米的地毯。
奥马尔始终想不通：“这怎么可能呢？地毯面积由169平方分米缩小到168平方分米，那一平方米到哪里去了呢？”
将四个小块拼成长方形时，在对角线中段附近发现了微小的重叠。正是沿着对角线的这点叠合，而导致了丢失一个单位的面积。读者不妨自己用纸试一下。
2
涉及到四个长度数5，8，13，21都是斐波那契数，并且13=8×21+1，
28=5×13-1。多做几次上述的试验，就可以发现斐波那契数列的一个有趣而重要的性质：
2
a=a·a ±1（n≥2）
n n-1 n+1
除此之外，斐波那契数列还有一些有趣的性质，例如：
2 2 2m
n -a=a·a
m+n m-n 2n
0 n
若用[i]表示不大于i的最大非负整数，i为非负实数。C=1，而C =0，
n n-j其中j、n为非负整数。则斐波那契数列的前n项和S为：
n
n
( )
2
S n n j
有兴趣的话，读者可以证明一下，或者参阅有关的书籍。
斐波那契数列在实际生活中有非常广泛而有趣的应用。除了动物繁殖外，植物的生长也与斐波那契数有关。数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第1年它只有主干，第2年有两枝，第3年就有3枝，然后是5枝、8枝、13枝等等，每年的分枝数正好是斐波那契数。
生物学中所谓的“鲁德维格定律”，也就是斐波那契数列在植物学中的应用。
从古希腊直到现在都认为在造型艺术中有美学价值，在现代优选法中有重要应用的“黄金率”，实际和斐波那契数列密切相关。
a 5 实际上，黄金率= Lim n n n+1优选法中的分数法：
1.所有可能试验个数恰好是a-1个
n
a 这时将前两个试验点放在试验范围的 n 和 n 位置上，也就是
a a n n选在第a-1点和第a-2点上作试验。比较这两个试验结果；如果第a-1点
n n n好，就划去第a-2点以下的试验范围；如果第a-2点好。就划去第a-1点
n n n以上的试验范围。在留下的试验范围中，还剩下a -1个试验点，另一个是
n-1下一步要作的新试验点。两点比较后，和前面作法一样，由坏点将试验范围切开，短的一段不要，留下包含好点的长的一段。这时新的试验范围只有a -1个试验点了。由此类推，直到试验结束为止。
n-2
显然，用分数安排上述试验，在a-1个可能的试验中，最多只须作n-1
n个试验就能找到它们中的最好的点。
2.所有可能的试验个数大于某一个a ，而小于a -1
n-1 n+1
此时，只须在试验范围内虚设几个试验点，凑成a -1个试验。于是，
n+1这类问题也就归结为第1种情况，就可按照上述方法去处理了。
谈谈π和e
公元前550年，希腊数学家毕达哥拉斯发现毕氏定理 （即我国发现的勾股定理），他当时非常高兴，曾杀猪宰牛，广宴宾客，以示庆贺。在应用勾股定理求直角三角形的某一边时，就要把一个数开平方，这时可能开得尽，也可能开不尽，若开不尽便出现了无理数。
无理数分为根数和超越数两种，其中π和e是两个重要的超越数。如果一个数是某个有理系数的多项式的根，这个数叫做代数数，否则就叫做超越数。
首先说π。
π，在国外又叫鲁道夫数，在我国却叫祖率、环率、圆率等。
最先得出π～3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出
π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家
62鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过 2边形计算π到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。
以上都是古典方法计算π值。
3 3 3
x x x
在1706年，丁·麦金利格列格里的级数arctgx = x - 3 5 7
（|x| ≤1）和下面的关系：
4 5 8
1884年，德国人Z ·达什利用格列格里的 4 2 5 8计算出π的准确的200位数字。
值得提出的是，达什1824年生于汉堡，只活了短短的37年，便离开了人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法，在6分种内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法；他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用。
1873年，英国人威廉·桑克斯利用麦新的公式计算π到70位。
1961年，美国的雷思奇和D·桑克斯用电子计算机得出π值的100000位数字。
1706年，英国的威廉·姆士首先使用π这个符号，用来表示圆周和直径的比值，但只是在欧拉于1737年采用了这方法以后，π才在这种情况下得到了普遍的应用。
π在科学中的应用是极为广泛的，但有时它的出现也会是意想不到的。例如，1777年，法国数学家毕封做过一个“小针实验”：先在桌上铺一张等距为平行横线的纸，再准备很多长为2cm的小针，然后将针随便地掷在纸上，掷完后，再将投掷次数除以针与平行线交叉的次数，却惊奇地发现：其所得值竟接近π！π，竟在一个与圆“无关”的问题中奇迹般地出现了。
我们再来说e。
在中学数学书中这样提出：以e为底的对数叫做自然对数。那么e到底有什么实际意义呢？
1727年，欧拉最先用e作为数学符号使用，后来经过一个时期人们又确定用e作为自然对数的底来纪念他。有趣的是，e正好是欧拉名字第一个小写字母，是有意的还是偶然巧合？现已无法考证！
e在自然科学中的应用并不亚于π值。像原子物理和地质学中考察放射性物质的衰变规律或考察地球年龄时便要用到e。
在用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度时也会用到e，在计算储蓄最优利息及生物繁殖问题时，也要用到e。
像电容器的充放电过程，也是按以e为底的指数规律变化的，以电容器放电为例，电容器的电压变化是随时间t作指数衰减的，即
t
V c 0
同π一样，e也会在意想不到的地方出现，例如：“将一个数分成若干等份，要使各等份乘积最大，怎么分？”要解决这个问题便要同e打交道。答案是：使等分的各份尽可能接近e值。如，把10分成10÷e=3.7份，但
43.7份不好分，所以分成4份，每份为10÷4=2.5，这时2.5=39乘积最大，如分成3或5份，乘积都小于39。e就是这样神奇的。
1792年，15岁的高斯发现了素数定理：“从1到任何自然数N之间所含素数的百分比，近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这个规律越准确。”这个定理到 1896年才由法国数学家阿达玛和几乎是同一时期的比利时数学家布散所证明。以e为底还有很多优越性。如以e为底编制对数表最好；微积分公式也具有最简的形式。
有趣的是，π和e虽不能用有限的式子表示出来，但却可用无穷级数表示：
1 1
e 2 ！ 3！
1 1 1 1
1 3 5 7
要补充说明的是：1882年德国数学家林德曼首先证明了π是超越数，从而完全否定了“化圆为方”作图的可能性。1844年，法国数学家刘维尔最先推测e是超越数，一直到了1873年才由法国数学家爱米特证明e是超越数。这样人们逐步认识了有理数、无理数、代数数、超越数，建立了一个完整的实数系统。它的意义是十分巨大的。
出入相补原理
我国古代几何学不仅有悠久的历史，丰富的内容，重大的成就，而且有一个具有我国自己的独特风格的体系，和西方的欧几里得体系不同。这一几何体系的全貌还有待于发掘清理，本文仅就出入相补原理这一局部方面，就所知提出几点，主要根据是流传至今的以下各经典著作：
《周髀算经》（简称《周髀》），
《九章算术》（简称《九章》），
刘徽《九章算术注》（简称《刘注》），
《海岛算经》（简称《海岛》），
赵爽《日高图说》和《勾股圆方图说》（简称《日高说》和《勾股说》）。
田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，这和外国没有什么不同，二者导出面积问题和勾股测量问题。稍后的计算容积、土建工程又导出体积问题。
我国古代几何学的特色之一是，依据这些方面的经验成果，总结提高成一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理——出入相补原理，并且把它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。
以下将列举这些不同的应用。
所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。
应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例，，如果看作把△ACD移置△ACB，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ′、Ⅱ′，那么依出入相补原理有：
Ⅲ=Ⅲ′，□PC=□BO，……（指面积相等）由此得
PO×OS=RO×OQ，PQ×QC=RB×BC，……而 PO=AR，OS=QC，PQ=AB，RB=OQ，……因而AR：OQ=RO∶QC，AB∶OQ=BC∶QC，……就是相似勾股形ABO和OQC、ABC和OQC的相勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。
以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出，但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题。
在《周髀》中，就有用两表测日影以求日高的方法，计算的公式是：
表高×表距
日高 影差
其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后两表，DH和FI是日影。《海岛》改测日高为测海岛的高，同图AB是海岛，H、I是人目望岛顶和两表上端相参合的地方，于是日高公式成为：
表高×表距
岛高 表目距的差
明末耶稣会传教士利玛窦（1552～1610）来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。他曾口授《测量法义》一书，其中载有和海岛题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要在FI上取一点M使 （4）式成立，再用比例理论作证。按常理来说，利玛窦应该作平行线而取M′使FM′=DH，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合，颇使人迷惑不解。
在《周髀》和《九章》中，都已经明确给出了勾股定理的一般形式：勾2 2 2
+股 =弦 。虽然原证不传，但是据《勾股说》以及《刘注》，都依出入相补原理证明，并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残图，这几方面互相参照，原证应该大致如下：
勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△
2IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG=弦 ，由此就得到勾股定理。欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明，其中要先证有关三角形全等形以及三角形面积的一些定理，为此要作不少准备工作，因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理，而在整个《几何原本》中几乎没有用到。而在我国，勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用，成为2000来年数学发展的一个重要的出发点。
在东西方的古代几何体系中，勾股定理所占的地位是颇不相同的。勾、股、弦和它们之间的和差共九个数，只须知道其中的二个就可以求得其他几个。
除勾、股、弦互求就是开方之外，《九章》勾股章中有不少这方面的问题：
第一，知股弦差、勾，求股、弦（五题）；
第二，知勾股差、弦，求勾、股（一题）；
第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一题）；
第四，知股弦和、勾，求股、弦（一题）。
各题都列出了一般公式，《勾股说》的许多命题也属这一类，《刘注》还给出了证明，公式的来历和证明的方法都依据出入相补原理，有的也用比例作别证。
事实上，《周髀》中已经给出了若干具体数目的平方根，而在《九章》中，更详细说明了开平方的具体方法步骤。这一方法的根据是几何的，就是出入相补原理。
试以求55225的平方根为例。这相当于已知正方形ABCD的面积就是55225，求边AB的长，。按我国记数用十进位位值制。因AB显然是一个百位数，所以求AB的方法就是依次求出百位数字、十位数字和个位数字。先估计
（《九章》中用“议”字）百位数字是2，因而在AB上截取AE=200，并且作正方形AEFG，它的边EF的两倍称为“定法”。把AEFG从ABCD中除去，所
2余曲尺形EBCDGF的面积是55225-200=15225。其次估计十位数字是3，在EB上截取EH=30，并且补成正方形AHIJ。从AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以
2分解成三部分： FH， FJ， FI，面积依次是30×EF，30×FG，30，其中EF=FG=200，所以从ABCD中除去AHIJ，所余曲尺形HBCDJI的面积是
2
15225-（2×30×200+30）=2325。
现在再估计个位数字是5，在HB上截取HK=5，并补作正方形AKLM，从ABCD中除去AKLM后所余曲尺形面积和前同法应该是
2
2325-（2×5×230+5）=0。
由此知K和B的平方根恰好是235。
求立方根的方法步骤和这相似，但是要把一立方体逐步进行分解，比平方根求法稍复杂，所依据的仍是出入相补原理，这在《九章》中也有详细叙述。
我国开平立方法来源很古，它的几何本质十分清晰，而且方法上可以看出我国独有而世界古代其他民族所无的位值制记数法的高度优越性。不仅这样，至迟到11世纪中叶，我国就已经把开平立方法推广到开任何高次幂，就是所谓“增乘开方法”，并且出现了有关的二项式定理系数表，就是所谓“开方作法本源图”。从这一方法的几何渊源看来，如果说当时我国数学家已经有高维方体和高维几何的稚影，似乎不是全无根据的。
下面的例取自《九章》，ABCD是一方城，出北门北行若干步到G有木，出南门南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望见木G，问题是求方城每边的长。据《刘注》的方法是依山入相补原理得
ET=2EG=2KG=2×北步×西步” 为实，以“南步十北步”为从法，开平方除之，得EI，也就是方城边长。
不仅应用开平方法可得问题（A）的数值解，而且应用出入相补原理，还可以求得解答的精确表达式。如果以长方形的阔作为勾，长作为股，那么问题 （A）相当于：
（C）已知勾股积、勾股差，求勾、股。
大小两正方形的边长各是勾股和、勾股差，所以得
2 2
勾股和 =4×勾股积+勾股差 。
由此得勾股和，因而得勾和股。同样也可从勾股和、勾股积求得勾和股，这一方法可以参阅 《勾股说》的末一命题。
宋元时期明确引入了未知数的概念。如果以x（当时称为天元一）表长
2方形阔，那么问题（A）相当于解一个二次方程x+ax=b，其中a相当于从法，b相当于实。所以在古代实质上已经给出了这一形式二次方程 （a，b都是正数）的近似解和精确解，前者在宋元时期发展为求任意高次方程的数值解法，后者虽文献散佚不可查考，但是据唐初王孝通的著作以及史书关于祖冲之的引述看来，不能排除我国曾经对三次方程用几何方法求得精确表达的可能性。
在其他各国，公元九世纪的时候，阿拉伯数学家花刺子模 （约780～约850）的代数学名著中列举了各种类型二次方程的精确解法，它的方法是几何的，它的精神实质和出入相补原理颇相类似。公元16世纪，意大利数学家关于三次方程的解法，也完全是几何的。
如果规定长方形的面积是长阔的积，那么依据出入相补原理，容易得到：
1
（1）三角形面积= ×高×底，
2
由此可以完全奠定平面多角形的面积理论。但是在空间情形，如果规定长方体的体积是长、广、深的积，是否依据出入相补原理，可以推得
1
（2 ）四面体体积= ×高×底面面积，
3
由此以建立多面体的体积理论，就不是那么明显而极其困难的问题。欧洲直到19世纪末，才把它作为一个难题明确地提了出来。公元1900年德国数学家希耳伯特 （1862～1943）在国际数学会上所作著名讲演中，把体积理论列为23个问题之一。这一问题立即为德恩（1878～1852）所解决，答案是否定的：两个多面体要分割成彼此重合的若干多面体，必须满足某些条件，通称德恩条件。自此以后直到1965年，一位瑞士数学家西德勒才证明了德恩条件也是充分的。但是问题决不能认为已经彻底解决。从希耳伯特直到晚近，多面体体积理论仍不断成为一些知名数学家研讨的课题。德恩条件叙述复杂，也难认为是合宜的最后形式。
韦达定理
韦达生于法国西部普瓦图的丰特标勒贡特，曾经在法王亨利四世手下任职，还当过律师，数学原本只是他的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。
他在数学方面的主要贡献有，第一次用字母代替已知量，确定了符号代数的原理和方法，使当时的代数学系统化，并把代数学作为解析的方法使用，因此有“代数学之父”之称。
在几何学方面，他利用阿基米德的方法，通过多边形来计算圆周率π，在计算中，他使用了393216边形，得到π的近似值为
3.141592653……。精确到小点后面的第9位，是第一个超越祖冲之的人
（祖冲之当时算到第六位）。
韦达不仅是一个数学家，而且还是一个破译密码的专家。他在法国政府任职时，曾经帮助法国政府破译了西班牙国王菲利浦二世使用的密码，对法国战胜西班牙起了重要作用，这样引起了西班牙国王的大怒，致使菲利蒲二世认为是法国人使用了什么“巫术”，因而还向罗马教皇指控法国“犯罪”。
青少年朋友们在初中学了一元二次方程
2
ax+bx+c=0（a≠0）
方程的根α，β和系数a、b、c的关系式是
b c
α a a
这就是我们熟悉的韦达定理。
但是这种说法不是很确切。请看下面几个定理的发表时间就清楚了。
定理1.一元二次方程
2
ax+px+q=0
两个根为α和β，则
α+β=-p，αβ=q
定理2.一元三次方程
3 2
x+px+qx+r=0
的三个正根是α、β、γ，则
α+β+γ=-p，αβ+βγ+αγ=q，αβγ=-r
定理3.一元n次方程
n n-1 n-2n-3
x+ax+ax+x+…+ax+a=0的n个正根为x，x，x，…x，则
n-1 n 1 2 3 n
x+x+x+…x=-a
1 2 3 n 1
xx+xx+xx+…xx+xx+…x x=a
12 13 14 23 24 n-1n 2
xxx+xxx+…+xxx+xxx+…+xx x=-a……。
123 124 234 235 n-2n-1n 3
n
xx…xn=（-1）a
12 n
定理4.（把定理2中的“正”字去掉就得到定理4）
定理1的发表时间在历史上没有记载，然而定理2却是意大利数学家卡丹 （1501～1576年）在1545年发表的，所以定理1应在此之前，而法国数学家的创作年代应在1550年之后，因此定理2也不应当是韦达的功劳。只有定理3才是韦达于1559年之后发表，但却有一个“正”字，直到1629年，那个“正”字才被荷兰数学家基拉德（1595～1632年）删掉，才使这个定理完整化，而这时韦达已离开人世20～30年之久了。
从这几个定理发表的时间来看，虽然定理1不是韦达发现，但对于这个定理他的贡献是很大的，所以用他的名字命名是有一定道理的。但为了慎重起见，因此我国中学教材已不再使用此名了，还是称作“根与系数的关系”。
罗巴切夫斯基几何
欧几里得几何（或称抛物几何）是我们大家所熟悉的，然而几何世界是广阔的，并非欧氏几何一枝独秀，还有着各式各样的非欧几里得几何，简称非欧几何。但通常意义下，非欧几何是指罗巴切夫斯基几何（或称双曲几何）和黎曼几何 （或称椭圆几何）两种。
罗氏几何与欧氏几何有着明显的区别。在罗氏几何中，承认：
过直线外一点有无穷多条直线和已知直线共面但不相交。共面而不相交的两条直线被第三条直线所截，同位角（或内错角）不一定相等；
同一直线的共面的垂线和斜线不一定相交；
三角形内角和小于180°：
对应角相等的两个三角形全等 （就是说，罗氏平面上不存在相似而不全等的三角形）；
三个内角是直角的四边形，其第四个内角却小于直角（就是说罗氏平面上没有矩形）；
通过不共线三点不一定能作出一个圆；
三角形三条高线不一定相交于一点；等等。
那么对于只熟悉欧氏几何的人来说，这些都是不可思议的。
罗氏几何是以其创建者俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（1792～1856）的名字命名的，罗巴切夫斯基在证明欧几里得的平行公理时，力图由否定“同一直线的共面的垂线和斜线必相交”而引出矛盾。然而推论一个接一个，便形成了一个严密完善的系统而逻辑上并存在的任何矛盾。于是他相信建立起来的几何体系代表着一种新的几何学，称它为“虚几何”。1826年2月23日罗巴切夫斯基在喀山大学数学物理系宣讲了他的关于这种新几何的论文即
《关于几何原理的概述》，随后他又陆续出版了许多著作来阐述自己的观点，直到逝世的前一年，眼睛几乎失明了，他还坚持通过口授写下了俄文和法文的《泛几何学》。由于罗氏几何的结论与我们的直觉并不一致，因而遭到同时代的绝大多数的数学家的非议，甚至讽刺、嘲笑。就连当时俄国最大的两位数学家也说这是荒唐至极。罗巴切夫斯基却毫不顾忌这一切，始终坚持他的发现，他不遗余力地丰富它，发展它和捍卫它！
然而最早发现罗氏几何的并非是罗巴切夫斯基，而是德国的高斯，他也是从证明欧氏平行公理中得来，最初他称这种几何为反欧几里得几何，后来又改称星空几何，最后称之为非欧几何。但由于害怕引起别人的反对和攻击，他没有发表过关于这种几何的任何见解。
发现罗氏几何的另外还有F·鲍耶的儿子，匈牙利军官亚·鲍耶，他根本不听从父亲的劝阻，在试证欧氏平行公理时，发现了这种几何。1823年11月23日给父亲的信中说：“我已经得到如此奇异的发现，连我自己也为之惊讶不止……，我已经从乌有创造了整个世界。”1832年他的关于新几何的著作以附录的形式发表在他父亲的一本书的后边，根据“附录”的拉丁文字，亚·鲍耶的工作在数学文献上获得“亚编的克斯”的称号。
高斯，鲍耶，罗巴切夫斯基他们各自独立的工作，因此说罗氏几何的问世当归功于他们三人，只是罗巴切夫斯基发表在先，所以命名罗巴切夫斯基几何，遗憾的是，他们三人在生前都没能亲眼看到罗氏几何被社会所公认。罗氏几何直到1871年即罗巴切夫斯基死后15年才获得公认。
罗氏几何与欧氏几何之所以有如此大的差别，其根源在于罗氏平行公理是欧氏平行公理的反面命题，当我们把欧氏平行公理及等价命题，如过直一外一点恰有一条直线和已知直线共面不相交；
共面不相交的二直线被第三直线所截，同位角（或内错角）相等；
一直线的共面的垂线和斜线必相交；
过不共线三点恒有一圆；
三角形三高线交于一点；
任何三角形内角和等于180°；
等等。
的反面命题写出来，是否可找到前面出现的那些离奇的罗氏几何定理的踪影了。
其实，罗氏几何中也不尽是离奇的结论，由于罗氏几何的公理中除平行公理外都和欧氏公理相同，因此凡是涉及平行公理的定理都是共有的，如：对顶角相等，三角形全等的判定，外角定理以及三角形中边、角的不等关系等。两者的公共部分被称做绝对几何。就是说：绝对几何的公理加上欧氏平行公理组成了欧氏几何的公理系统，演绎推理构成欧氏几何；绝对几何加上罗氏平行公理构成罗氏几何公理系统，演绎推理就形成了罗氏几何。从公理法的角度看问题，两种几何之间的关联、同异是这样简单的清晰。
孕育了罗氏几何的是由于“平行公理试证”，这是几何学发展史上的一件大事。公元前6世纪几何学在古希腊得到了很大的发展，成为至高无上的学科，人人争学几何，数学家柏拉图就在他创建的学院门前高悬“不懂几何学的人莫入”大字条幅。公元前3世纪，欧几里得《几何原本》成功地反映了证明几何，完美地实践了当时的公理化思想。它的问世，人们如获至宝，然而，人们为了证明它的平行公理，以为可以由其他公理推证出来，即认为它不是公理而只是个定理，掀起了证明平行公理的热潮，从而导致了罗氏几何的诞生，罗氏几何被公认即定论了欧氏平行公理是独立的，不能由其他的公理推证出来。
罗氏几何的诞生，不只是为几何学增添了一个新的分支，它是一次数学思想的重大飞跃，使几何学从古典阶段进入了现代化阶段。欧几里得《几何原本》是古典几何的代表，是建立在对现实世界的感知之上的，这反映了现实空间形式。因此，古典几何又叫实证或实体几何。
罗氏几何却离开了感知，改变了几何学对直觉真实性的追求，尝试了思维的创造、人为地构造几何空间。人们开始了在几何领域里充分地施展自己的聪明才智，创造精神，接踵而来的是黎曼几何，仿射几何，射影几何等等，极大地发展了几何学。
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