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等分圆周
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人们在研究规尺作图三大难题中，还发现了许多类似的难题。求等圆周的线段的问题，就是一个与化圆为方密切相关的难题。此外，流传很广的是等分圆周问题，它是和三等分角相仿的难题。这个问题又叫做按规尺作图，作圆内接正多边形问题，或者叫做正多边形作图问题。
古希腊人按规尺作图法，作出了正三角形、正方形、正五边形、正六边
n形，以及边数为它们2倍 （n为正整数）的正多边形。他们还想继续作出其他的正多边形，可是正七边形就作不出来。于是，什么样的正多边形能作得出来，就成了一个作图难题。因为这个问题与三等分角问题的性质相同，关系密切，所以人们常常把它们放在一块研究。类似的，还有许多作图难题也不断地涌现出来，比如五等分、七等分任意角问题。
在漫长的年代里，难以数计的人参加了研究这些问题的行列，可是谁也提不出解决的办法。慢慢地，人们开始产生了这样一个问题：有些作图难题之所以难，是不是按规尺作图方法，本来就办不到，而不是有可能办到，只不过人们还没有找到这样的方法呢？这个想法，不是哪一个聪明人的头脑里一开始就有的。它是在一代人接一代人，延续研究了2000多年，总是找不到解决的方法之后，有些人才生了“异心”！
他们想：圆规和直尺不过是一种工具，世界上本来就没有什么事情就能干的万能工具。特别是规尺作图法，实际上是对规尺的使用作了种种禁令，限制它们的作用，所以有些图可以作出来，有些就可能作不出来。
数学是一门非常精确的科学。数学问题是不能根据想象或者看法就能作出结论的，它必须有严格的证明。假设有些图形是规尺作图法不能作出来的，那么，标准是什么？界限在哪里？也就成为一个难题了。
这些难题，直到解析几何出现以后，人们学会了应用代数的方法来研究几何问题，才找到了解决的途径。
用代数方法研究几何图形
数学和其他科学的发展一样，不少长期解决不了的问题，一旦出现了新的认识，或者把它们放到更大的范围去观察，常常很快就找到了解决问题的途径和方法。解析几何的出现，是规尺作图三大难题走向解决的转析点。
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿创立的。笛卡儿和2000年前的柏拉图一样，都是哲学家兼数学家，他们都形成了各自的学派，有的数学史说：柏拉图主义者相信权威，笛卡儿学派相信理性，但是他们同样认为数学是科学之王。
1637年，笛卡儿发表了他的名著《几何学》。这本书起初是作为他的哲学著作《方法论》一书的附录出版的，书中引入了变数，创始了解析几何。
在初等数学中，基本的情况是几何是几何，代数是代数。人们研究和处理几何和代数问题，就方法而言是不同的。比方说，在平面几何中，要考查三点是否共线，或者四点是否共圆，虽然有时也利用某些代数知识，但是一般不讨论直线或者圆的方程，以及它们的解。
解析几何是用代数方法来研究几何图形，通过建立坐标系，在几何与代数之间搭起了一座桥梁。有了这座桥梁，人们就可以把几何问题先“翻译”成代数题目，例如写出它们的方程，用代数的方法加以解决；之后，再把得到的结果，“翻译”成几何的答案。这样，就不只增加了解决几何问题的思路和方法；而且可以把许多几何问题的性质搞得更为清楚，使这些几何题化难为易了。
解析几何大大帮助了人们对规尺作图问题的认识和判断。在这方面，最先突破的是高斯。
1795年，高斯来到德国著名的哥庭根大学学习。入学不久，他就按规尺作图法，作出了正十七边形。不久，他又提出理论，证明了按规尺作图方法，根本就作不出正七边形、正九边形、正十一边形和正十四边形等等。所有这些问题，都是延续了2000多年没有得到解决的难题，被年轻的高斯解决了。特别是关于规尺作图法的不可能问题，是一项惊人的成就。他从思想方法上，促进了规尺作图三大难题的研究和解决。
数学难题的解决，往往要涉及较多的数学知识。要了解高斯的这一成果，先得了解一下费尔马数。
费尔马是一个很有成就的数学家，提出过很多著名的定理。他还与笛卡儿同时奠定了解析几何的基础；与巴斯嘉一起开创了概率论的研究工作；在光学中提出了费尔马极小时间原理；在数学中提出过无限下推法。不过，费尔马的不朽贡献，主要是在数论方面。
在费尔马一生的大量成就中，也包含着两项影响较大的不确切的工作；一项是他的一个猜想，被证明是错误的；另一项就是前面谈到的近代三大数学难题之一的费尔马大定理，在他宣称被他证明了的300年之后，人们还没有找到证明的方法，于是很多人便对他宣称有过的证明明表示了怀疑。这里先介绍前一个猜想。
2n
费尔马研究了形如2+1的数，共中n是非负整数。他令n分别等于0，
2n1，2，3，4，得到相应的2+1如下表：
n 0 1 2 3 4
2n 1 2 4 8 16
2+1 2+1=3 2+1=52+1=172+1=2572+1=65537
2n
在这个表中，所有形如2+1的数：3，5，17，257，65537都是素数。
2n于是，费尔马发表猜相：形如2+1的数，当n为非负整数时，都是素数。
2n
后来，在数论中，把这样的数都称为费尔马数，记作Fn，即Fn=2+1，n为非负整数。
但是，费尔马死了67年之后的1732年，25岁的数学家欧拉，证明了F
5不是素数：
5n 32
F=2+1=2+1
5
=4294967297
=641×6700417
这样一来，就把费尔马的猜想给否定了。在欧拉那个时候，人们要判断F是不是素数，还是相当困难的，因为事先并不知道要判断641是不是它的
5因数。
后来，人们分别证明了n等于6到16的费尔马数，都不是素数；n等于17时是不是素数，到现在还是一个难题。n等于18以后，也分别找出了三四十个不是素数的费尔马数。
总之，除了原来已经知道的n等于0到4的这五个费尔马数是素数外，新的费尔马数是素数的，一个也没有找着。
这样，有一种相反的猜想已经提出来了：只有有限个费尔马数是素数。这也是一个难题。
高斯按规尺作图法作出了正十七边形后，紧接着就证明了一个关于规尺作图的重大定理：
如果一个奇素数P是费尔马数，那么，正P边形就可以用规尺作图法作出，否则就作不出来。
根据这个定理，F=3，F=5，F=17，所以正三角形、正五边形、正十七
0 1 2边形都能作出，而7，11，13等素数都不是费尔马数，所以正七边形、正十一边形、正十三边形等都不能作出。
对应于F的正257边形，是德国的黎克洛于1832年，用规尺作图法作
3出来的；对应F的正65537边形，经德国的赫尔姆斯十年的研究，才按规尺
4作图方法作出来。黎克洛的作法，占了一本数学杂志的80页；而赫尔姆斯的手搞，装了整整一个手提箱，现在还保存在哥庭根大学。
高斯在数学的许多领域中，都作出了杰出的贡献，被称为“数学之王”。他一生工作严谨，生活简朴，坚持每天读报，喜爱文学和研究过多种外语，并且在物理学、天文学、测绘学方面，都作出了重要贡献。
高斯死后，按照他的遗愿，人们在他的墓碑上刻上一个正十七边形（也有的书上说是墓碑的底座是正十七边形），以纪念他少年时代杰出的数学发现。
高斯的墓碑，也是解决规尺作图难题，在2000多年间的一块里程碑。
正多边形的作图问题，其实就是等分圆周的问题，它与三等分角问题有不少相似的地方。有了解析几何，有了高斯等数学家的经验，人们对规尺作图可能作出的与不可能作出的图形，逐渐有了深入的认识。其中，下面两个结论是很重要的：
1.在规定某一线段的长度是单位长度 1后，如果我们要作的线段的长度，可以由单位长度 1，经过有限次的加、减、乘、除、开平方（指正数开平方，并且取正值）后得出来，那么，这一线段就能用规尺作图法作出；
2.圆规直尺作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方所能作出的线段或者点。
举一个例子，要考查圆内接正五边形是否可以作出，我们取圆的半径为
101，计算得圆的内接正五边形的一边长为 ，这合乎第一条，所以规
2尺作图法作圆内接正五边形是可能的。
3再举一个例子，取一个线段的长为1，问求作长为 9 3 能吗？
这里要开三次方，根据第二条规定，规尺作图法只能作出经有限次加、减、乘、除及开平方的线段，看来这条线段作不出。
错了！因为
3 9 3
3
根据第一条，这条线段能作出。你如果有兴趣，不妨一试，把这一线段作出来。
这两个例子说明，要证明一条线段能作出要容易些，要证明一条线段不能作出却困难得多。
但是，标准有了，三大作图难题的解决就提上日程了。
1837年，23岁的马彻尔提出了立方倍积与三等分任意角，不可能用规尺作图法解决的证明，宣布了2000多年来，人类征服初等几何三大难题夺得了重大的胜利。
我们知道，虽然有些角 （例如直角）查以用规尺作图法三等分，但是有些角不可以（例如30°角），所以要按规尺作图法三等分任意给定的角，就不可能了。
事实上，在1830年，19岁的法国数学家伽罗华，就提出了解决这一类问题的系统理论和方法，所以现在的专门著作，一般着重讲伽罗华理论，而把规尺作图三大难题以及等分圆周等问题的解决，当成这种理论的推论、例题或者习题。因此，后来对万彻尔的工作，并不十分注意。
五次方程的挑战
初中的主要数学课程是几何与代数。“代数”一词，是九世纪时亚细亚的数学家阿里·花拉子模首先使用的。英文的“Algebra”一词，是从阿里·花拉子模那里来的。我国从1711年清朝康熙五十年起，先后音译作“阿尔朱巴尔”、“阿尔热巴拉”、“阿尔热八达”等。1859年清朝咸丰九年，李善兰与伟烈亚力合译的《代数学》，是我国意译“Algebra”为“代数”的开始。
前面已经说过，解析几何的出现，使人们可以通过解代数方程来解答几何问题。因此，规尺作图三大难题的解决，同代数方程的解挂上了钩。
公元三世纪的希腊数学家丢番都和九世纪的阿里·花拉子模，都求得二
2次方程ax+bx+c=0的解为
x 2a
但是，很多数学史的书上只说阿里·花拉子模是世界上最先求得二次方程一般解的人，原因是丢番都当时认为只有根式下的数是一个完全平方时，方程才能算有解，并且丢番都只承认正根。
到了16世纪，意大利数学家卡尔丹和他的学生费尔拉利，相继发表了用根式求解三次方程与四次方程的方法。卡尔丹在发表三次方程的公式证明时曾声明，公式是威尼斯的塔尔塔利亚告诉他的。这个公式实际上是公元1500年左右波仑亚的数学教授非尔洛最先研究，几经转折，为塔尔利亚完全掌握，在卡尔丹保证保密后告诉了卡尔丹的，但六年后，卡尔丹给出证明发表了。数学界称这个公式为卡尔丹公式。
由于无论是二次方程、三次方程还是四次方程，都能通过根式求它的一般解，于是很多数学家，争相研究和寻找根式求解五次方程的公式。经历16世纪的后半叶、17世纪、18世纪，直到19世纪初，很多数学家和数学爱好者，都把它作为检验自己才能的试金石，可是毫无例外，他们都失败了。
根式解法虽然没有找到，可是人们却积累了很多的经验和知识，特别值得一提的，是法国数学家拉格朗日。他在高次方程根的排列等方面作了很多的工作，而且提出这是整个问题的关键。他还指出用根号解五次以上的方程，是不可能解决的问题之一。可是，他对不可能没有给出什么证明，他就这个问题的困难性说：“它好像是在向人类的智慧挑战。”
人类的智慧终于夺得了胜利。
在拉格朗日去世后11年的1824年，挪威22岁的数学家阿贝尔，证明了一般五次以上的代数方程，它们的根式解法是不存在的。这就是说，除了某些特殊的五次以上的方程，可以用根式解外，许多五次以上的方程，把它的系数看成字母，无论由这些字母组成什么样的千奇万状的根式，都不可能是这个方程的根。延续300年的难题解决了。阿贝尔的成果轰动了世界！
阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解；另一方面也可以举例证明，有的方程能用根式解。于是，能用根式解或者不能用根式解的方程，到底用什么来判断呢？阿贝尔没有来得及解决这一问题。因为他少年时期备受贫困折磨。身体十分虚弱，在27岁上，就害痨病死了。
科学的接力棒总是要继续往下传的。法国数学家伽罗华在阿贝尔去世后的第二年，完成了这一项艰巨的工作。可惜他的生命更加短促，只活了 21岁。
抽象代数学的诞生
伽罗华于1811年10月26日，出生在法国巴黎附近的一个小市镇上。他从16岁起，就致力于五次以上方程的根式解法的研究。
伽罗华不仅对前辈数学家拉格朗日等的工作，有深入的学习和了解；而且对同时代的数学家阿贝尔等的成果，也有研究和认识。他是在前人的基础上，走上一条崭新的道路的。
1828年，17岁的中学生伽罗华认为自己得到了重大的成果。他写出论文，把它送交有很多当代第一流数学家的法兰西科学院，要求审查。
那年6月1日，在法兰西科学院的例会上，曾决定由当时的大数学家柯西与波阿松，审查这位中学生的论文。但是，那位法国和世界最有名望的大数学家之一的柯西，根本不重视这件事，他把伽罗华的论文给弄丢了。
伽罗华还在继续研究。1829年，他又写了一些重要论文，于1830年第二次把论文提交法国科学院审查。这一回，科学院决定由著名的数学家富里埃审查。可是62岁的富里埃，就在那年离开了人世。人们不但不知道富里埃的审查意见，而且在他的遗物中，没有找到伽罗华的论文，显然是又弄丢了。伽罗华曾对此提出了意见。
幸好，第一次应该和柯西一道负责审查伽罗华论文的那位科学院院士波阿松，注意到了伽罗华的稿件一再被丢失的情况，劝他重写一份。1831年，伽罗华把重写的论文，第三次交给法国科学院。
热心的波阿松，亲自审查了这份多灾多难的论文。他审查了四个月，可是看不懂。波阿松只好在他签署的审查意见上，说自己“完全不能理解”。
当代杰出的数学家波阿松都说他不能理解，怎么办呢？看来，伽罗华应该把自己的论文写得通俗一些，详细一些。
但是，伽罗华不可能有更多的时间和精力来充分阐述自己的观点了。因为他是一个忧国忧民的青年，正在参加当时法国如火如荼的政治斗争。
当时法国的形势是这样的：1830年六七月间，国王查理一世因为违反和破坏了宪法，被愤怒的巴黎群众赶走了。可是前门驱狼，后门进虎，“波旁王朝”被推翻，奥尔良公爵路易——菲力浦，却趁机当上了国王，建立了“七月王朝”。这时伽罗华正在投考大学。
和高斯的情况正好相反。伽罗华在世的时候，很少有人认为他是“天才”或者“神童”什么的。后来，人们谈起伽罗华来，有的老师说：“他没有智慧，不然就是他把他的智慧隐藏得太好了，使我简直没法子去发现它。”有的老师干脆说：“他什么也不懂。”
当时，巴黎最著名的大学是工科大学和高等师范学校。伽罗华很想读工科大学，但是两次都没考上。在第二次考工科大学时，他也考了高等师范学校，幸好考取了。1830年，19岁的枷罗华，进入高等师范学校学习。就在这年的7月，路易—菲力浦篡权上台。
生气勃勃的伽罗华，是个激进的共和主义者，他和他的战友向篡夺政权的路易——菲力浦王朝，展开了激烈的斗争。
这年12月，入学不久的伽罗华被学校开除了。
被开除后，伽罗华以为人补习数学为业，但他的革命斗志更旺。1831年六月，他被捕了，罪名是企图暗杀国王。由于警方拿不出证据，只好释放了他。但是紧接着在七月间，伽罗华第二次被捕，并且被投入监狱，一直关到了1832年春天，因为监狱里流行传染病，才把他释放出狱。
半年多的监狱生活，使这个21岁的青年身心受到了严重的摧残。他的姐姐回忆说，那时伽罗华面色憔悴，两眼发呆，活像一个50岁的老头。
出狱后一个月，反动派设下圈套，让伽罗华与路易—菲力浦王朝的一个反动军官决斗，被击中致命处，第二天——1832年5月31日早晨，不满21岁的伽罗华离开了人世。
伽罗华短促的一生，像一闪而过的明星，照亮了近世代数学前进的道路！
在决斗前夕，伽罗华把他的研究工作写成扼要的信件，托朋友转交《百科评论》杂志发表。这封信在他逝世之后4个月发表了，但是没有引起人们的重视。
伽罗华在他仓促写成的信中，希望他的朋友把他的研究成果交给当代的大数学家，信末有这样的话：“你可以公开请求雅可比或者高斯不是对于这些定理的真实性，而是对于其重要性表示意见。在这以后，我希望有一些人将会发现，把这堆东西注释出来对他们是有益的。”据后来的调查，这些资料在当时并没有交给这两位数学家。
在伽罗华逝世后14年的1846年，法国数学家柳维勒，从伽罗华的弟弟那里得到了一些伽罗华的手搞，并且把它发表在自己创办和编辑的数学杂志上。从此，伽罗华的思想才逐渐引起人们注意和理解。以后，人们又从伽罗华的姐姐、弟弟那里，搜集到他遗留下来的全部手稿。这不到80页的手稿，是伽罗华给人类留下的十分宝贵的财富。数学家在这个基础上，开始注释、追踪、研究和发展伽罗华所开创的工作。
到19世纪晚期，伽罗华所开创的数学工作，逐渐形成了数学的一个重要的分支——近世代数学，又叫做抽象代数学。因为它已经成为了近代代数学的主要内容，所以也有人干脆就叫它代数学的。它的主要内容，包括群论、环论、域论、布尔代数，以及共他代数系统的重要理论。这些理论，是近世代数学的伟大成就，并且在科学技术中有广泛的应用。
伽罗华是群论的奠基人。以伽罗华的名字命名的伽罗华理论，使得五次以上的代数方程，不可能有一般的根式解，初等几何作图三大难题，以及高斯关于正多边形作图的定理等等，都不过是一些明显的推论或者简单的例题、习题了。
今天，大学生在学了伽罗华理论后，稍带就证明了三等分角、立方倍积与化圆为方，是规尺作图的不可能问题。
在规尺作图三大难题中，化圆为方问题是最后得到解决的。
根据伽罗华理论，如果π是超越数，那么，化圆为方是规尺作图的不可能问题。可是，数学家拖了很长的时间，才证明了π是超越数，这就相应地推迟了化圆为方问题的解决。
什么是超越数？这个概念，首先是由著名数学家欧拉提出来的。比如圆周率π是我们很熟悉的。我国南北朝时的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926与3.1415927之间。π的值这样算下去，它是有尽小数呢？还是无穷小数？如果是无穷小数，那么，是不是循环小数呢？如果能证明π是不循环的无尽小数，那就是无理数了。
无理数有不同的情况。像 2是x2 - 2 = 0的根，
7 代数方程。的实数，叫做代数数；凡不是代数数的实数，都叫做超越数。
由此可见，超越数必然都是无理数；但是一个无理数是不是超越数，那就需要证明了。人们发现，要证明π是一个无理数并不太困难，要证明π是一个超越数，却是一个很难的题目。
直到1882年德国数学家林德曼才证明了π是超越数，使方圆问题是规尺作图的不可能问题，得到证明。
到此，初等几何三大难题全部彻底解决。
这三大难题，从传说中的第罗斯岛人改造祭坛的年代起，到 19世纪末叶，前后经历了2000多年。在全世界的几十代人的努力中，不知有多少人为它绞尽脑汁，熬尽心血，吃尽苦头，耗尽精力，才夺得最后的解决。
这真是得来不易的胜利啊！
“虚幻之数”
要让人类接受到一种新数，开始往往是非常困难的，甚至还曾经有人为此丢了性命。第一个发现无理数的人古希腊人希帕索斯就被毕达哥拉斯的忠实信徒们抛进大海喂了鲨鱼。负数虽然没有弄出人命，但是也在好几个世纪中把欧洲的数学家们搞得六神无主晕头转向。大名鼎鼎的英国数学家、牛津大学教授瓦里斯曾经因为负数闹了一个大笑话，他说：“负数比无穷大还要大”，连后来的大数学家欧拉，也对此深信不疑！直至19世纪时，有些数学家如德·摩根、马塞勒还说负数“十分荒唐”，主张把它“从代数里驱逐出去！”
正当欧洲数学家们被无理数和负数弄得晕头转向还没有完全清醒过来的时候，新的问题又来了，他们遇到了一种更为奇怪的数，就是负数开平方。
比如解方程x2 + 1= 0，移项得x2 = -1最后解出x 儿当然指的是实数）的平方能够等于- 1呢？ 最初遇到这种数的人，是法国的舒开。然而第一个认真讨论这种数的，却是文艺复兴时期意大利有名的“怪杰”、三次方程解法获得者之一的卡丹。卡丹在1545年提出一个问题：“把10分成两部分，使它们的面积是40。”
2他列出方程x（10-x）=40整理后得x-10x+40=0，结果解出这两个根是5 嘲地说：“尽管我的良心会受到多大的责备，但是，的的确确5 5 差不多过了100年，1637年，解析几何的创始人笛卡儿才给这种“虚幻之数”取了一个名字叫“虚数”（和“实数”相对）。又过了140年，大数学家欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并且用i（imaginary虚幻）来表示它的单位 牛津大学教授瓦里斯具有丰富的想象力，给虚数找到了一个更巧妙的“解释”“假设某人欠别人10亩地，即他有-10亩，而这-10亩地又恰好是个正方形，那么它的边长不就是 最有名的是莱布尼兹评论虚数时一段颇带神秘色彩的话：“圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的端兆，那个介于存在与不存在之间的两栖怪物，那个我们称之为虚的-1的平方根。”看，虚数竟成了上不着天、下不着地的“两栖怪物”！
虚数从开始出现以后，经过了两个世纪，还是得不到人们的正式承认。
大家都知道，把一个实数和一个纯虚数相加，得到形式如a+bi的这种数，叫做复数。复数这个名词是德国数学家高斯先提出的。高斯虽然感到这种数有点虚无缥缈，但又觉得它很有可爱之处。你看，如果不承认这种数，代数方程便有的无解，有的一个解，有的两个解……五花八门，毫无规律可言；如果承认了它，代数方程就都有解，而且n次方程不多不少恰好有n个解！此外，对复数进行代数运算，其结果还是复数（实数和纯虚数只是复数的特例），这样便形成了一个完整的数域。
复数既然有这么多的“优越性”，为什么数学家对它总是疑虑层层、迟迟不接受呢？直至19世纪中期，剑桥大学的教授们仍然抱着“厌恶”的心情，对它进行抵制。简单点说，就是因为这种数“看不见”，同时也“用不上”，缺乏实践的基础。
为此立功的是挪威测量学家末塞尔，他找到了复数的几何表示法。众所周知，所有实数都可以用直线上的点来表示，正数用0右边的点来表示，负数用0左边的点表示；无理数如 2 ，可以用单位边长的正方形的对角线长度来表示。因为“看得见”，大家才不得不承认了负数和无理数。末塞尔发现，所有复数a+bi都可以用平面上的点来表示，而且复数a+bi与平面上的点一一对应。这样一来，复数就找到了一个“立足之地”，而且开始在地图测绘学上找到了它应用的价值。
同时，数学家又找到了复数的三角表示法r（cosθ+sinθ），其中r叫
Q做复数的模，θ叫做幅角。后来又找到了复数的指数表示法re（e表示自然
Q对数的底）。即复数z=a+bi=r（cosθ+isinθ）=re。若令r=1，θ=π，就
in iπ可以得到e=1，即e -1=0，这个著名的式子是欧拉得到的，它把数学中五个最重要的数1，0，i，π，e溶为一体，被誉为整个数学中最卓越的公式之一。
复数在几何上找到了它的位置以后，人们对它就另眼相看了。从18世纪末起，以欧拉为首的一些数学家，开始发展一门新的数学分支，叫做复变函数论。大家都学过函数，但在中学里，函数自变量的取值范围仅限于实数。如果把函数自变量 z的取值范围扩大到复数，那么这种函数就叫做复变函数。即复变函数W=f（z），其中z，W都是复数。
一个复数如果可以表示为平面上的一个点，那么自变量z的取值范围就是平面上的一个点的集合，相应的函数W的取值范围却是另一个平面上的一个点的集合。从几何角度来看，所谓复变函数，就是把甲平面上的一个图形A（点的集合）变换成乙平面上的一个图形B（也是点的集合）。研究复变函数性质的这一门科学，就是复变函数论。19世纪以后，由于法国数学家柯西、德国数学家黎曼、魏尔斯特拉斯的巨大贡献，复变函数论取得了飞跃的发展，并且广泛的运用到了空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理学等方面。把这种“虚幻之数”第一次应用到工程部门取得重大成就的，是俄罗斯的“航空之父”儒可夫斯基。
尼古拉·叶哥洛维奇·儒可夫斯基1847年1月17日生于俄国弗拉基米尔省，21岁毕业于莫斯科大学的应用数学专业。他具备多方面的才能，特别在航空专业方面很有造诣，后来就专门从事飞行的研究。
1890年，儒可夫斯基在俄国自然科学家会议上作了《关于飞行的理论》的演说。第二年便写出了有名的关于飞行的著作《论鸟之飞翔》。他在长期的观察和研究过程中，发现了鸟类飞行的许多奥秘，即作出了一个大胆的预言：飞机可以在空中“翻筋斗”，当时不少人对他的预言都持怀疑态度，根本没有哪一个飞行员敢于冒险去尝试。十多年以后，陆军中尉聂斯切洛夫做了世界上第一次飞机空中“翻筋斗”的飞行动作，以后这种特技飞行就称为
“聂斯切洛夫筋斗”。儒可夫斯基的预言被证实了，他的预言就是根据复变函数的理论计算出来的。
在儒可夫斯基生长的时代，飞机刚刚飞上了天。飞机为什么能飞上天，它应该怎样设计，怎样改进，这一切一切找不到可靠的理论根据，全凭实验来摸索，特别是无法运用数学这个有力工具。由于盲目的实践，所以成功的机会很少，失败的时候居多。一般的科学家都认为，飞行这门学问只能以实验为基础。莫斯科航空学校校长勃劳茨就曾经说过：“要想依靠数学来建立航空学的某些定律，是很危险的事情。”
儒可夫斯基却不相信这一套。他研究了围绕和流过障碍物的不断运动着的气流分子，于1906年（就是莱特兄弟的飞机飞上天空后的第三年）发表了论文《论连接涡流》，成功地解决了空气动力学的主要问题，创立了以空气动力学为基础的机翼升降原理，并找到了计算飞机翼型的方法。这一切的成就，都是依赖于那个前人感到不可捉摸的“虚幻之数”，以及由它延伸出来的复变函数论。
儒可夫斯基翼型，依赖于有名的儒可夫斯基变换，这是一个公式线性的复变函数
1 a2
W 2 z
其中z为自变量，W为函数a是一个常数。前面说过，当自变量z的取值范围是平面上一个点集时，函数W的取值范围是另一平面上的一个点集。复变函数z平面上一个图形A变换成W平面上的一个图B（这种变换又称为
“转绘”）。上述儒可夫斯基变换，能把z平面上以P（P不在坐标轴上）为圆心的圆，变成W平面上飞机翼型的截面图。这个翼型就是有名的儒可夫斯基翼型。
实际上，儒可夫斯基从理论上提出的这个翼型，要想完全照样制作是比较困难的。实际使用的翼型是根据实验而描出的经验曲线制作的。但是，由于这种理论上的翼型能够用解析式完美地表达出来，对具有这种假想翼型的飞机性能就可以作充分的计算或估计，然后把计算的结果和实际的翼型作比较，就可以为设计出各种优良翼型提供资料。总之，有了理论的翼型，就可以指导我们的实践，在制作翼型的过程中避免盲目性。所以儒可夫斯基翼型在航空工程学上有着重要的意义，从而为从事这项工作的人们所熟悉。1916年儒可夫斯基的重要著作《航空理论基础》被译成法文，成为航空工程师和飞机设计家的必备手册。
然而，另外有一个中学老师声称也会解三次方程，他便是塔塔利亚。
塔塔利亚是16世纪意大利著名的靠自学成才的数学家，为三次方程求解做出了杰出的贡献。
塔塔利亚原名方塔那，出生于意大利北部的布里西亚，父亲在邮局任职。他幼年时，正值意大利与法国交战。有一次父母带他逃到天主教堂避难。法军闯进教堂，杀死他的父亲，方塔那的头部也受了重伤。是母亲在尸骸堆中找到他，由于伤势过重，加上神经受到刺激，伤愈后说话不灵，吐字不清，于是得了个绰号叫“塔塔利亚”（意大利语，结巴之意）。后来他就以此绰号为笔名发表文章。
塔塔利亚由于幼年丧父，家境贫寒。因而经济拮据，没钱买文具纸张，母亲就把丈夫坟墓上的青石碑当做石板，教孩子在上面写写画画，认字学算术。小塔塔利亚天资智慧，勤奋刻苦，在数学上很有造诣，成年后就在意大利各地教授数学并以此来维持生活。他曾将欧几里得的《几何原本》译成意大利文，还发表了不少军事科学著作和数学论著，特别是成功地把数学理论应用于动力学中，对后来成为世界著名的物理学家的伽利略有着重要的影响。
1530年，布里西亚一位中学数学教师科拉向塔塔利亚提出了两个挑战性的问题：
第一，试求一个数，其立方加上它的平方之二倍等于5（即求满足方程
3x+3x2=5的x值）。
第二，试求三个数，其中第二个数比第一个数大2，第三个数又比第二个数大 2，三数之积等于 1000[即求解方程 x（x+2）（x+4）=1000，
3 2x+6x+8x=1000]。
当时，类似这样的三次方程都在数学界的禁区之内，没有人敢去问津。塔塔利亚出于好奇心，跃跃欲试，经过一番推演，居然得出了答案，即：
1
x 2
3
64 64
x 27 27
塔塔利业求出了这两道题的实根后，并没有公布自己的解法。但从此以后，塔塔利亚在数学领域便开始崭露头角。
费罗的学生菲俄听说塔塔利亚解出了科拉的三次方程，心中很不服。他和塔塔利亚约定，于1535年2月22日在米兰市大教堂进行一场公开的数学竞赛。当塔塔利亚得知菲俄是费罗教授登堂入室的弟子时，心想，竞赛时菲俄难免会拿三次方程来为难自己，切不可掉以轻心。于是，他苦心钻研三次方程的解法，昼夜不停的运算，却毫无进展。比赛日期渐渐迫近，塔塔利亚心急如焚、惶恐不安。2月11日，他伏案通宵，钻研到第二天早上。当他走出户外呼吸一口新鲜空气的时候，多日冥思苦想得不到解答的问题，竟豁然开朗，终于找到了进一步解决三次方程的办法。塔塔利亚回忆说：“我运用了自己的一切努力、勤勉和技巧，以便取得解这些方程的法测。结果很好，我在规定的期限前十天，即2月12日，就做到了这点。”
2月22日，米兰的大教堂热闹非凡，大家都等着看竞赛。比赛开始了，
3双方各出了30个三次方程的题目，其中包括x+mx=n类型的方程。这些难题，使前来观阵的人们无不摇头咂舌，迷惑不解。可是，不到两个小时，塔塔利亚便出人意料地宣布，30个题已全部解答出来了。众人瞠目结舌，心中却是赞叹不已。然而菲俄却一筹莫展，一道题也未解出。最后塔塔利亚以30∶0大获全胜。
消息一经传出，极大地震惊了数学界。塔塔利亚在获胜之后，再接再励，继续钻研。终于在1541年得到了三次方程的公式解，打开了僵持了700多年的局面。
一般一元三次方程的形式如
b
y3 + by2 + cy + d = 0，设y 3
b2 2b3 bc
x3 3 27 3
b 2 2b3 bc
令p 2 27 3
3 2
得新方程：x+px+q=0（1）
在此，只须研究这样类型的三次方程就行了。
卡尔丹的办法，是引入两个新变量t与u。
令 tu
3
2 2 2 p 3
（2 ） + 4 （3）则为：(t 3
化简得：(t 3
2 p 3
即t 3
（2）与（4）联立，可得：
u
这里t、u只取正根。
卡尔丹用几何方法证明：x 即为方程（1）的一个解。我们可以用牛顿二项式定理验证（6）式成立：
x3
3
q
3
3
即证明x+px+q=0
将 （5）、（6）式结合起来可得到：
q q 2 p 3 q q 2 p 3
x 2 2 3 2 2 3
这就是塔塔利亚——卡尔丹公式。它又可以化简为：
3 q 3 q
x 2 2
这里D 2 3
D＞0时，有一实根二虚根。D＜0时，有三个实根。D=0时，若P=q=0，有三重零根；若(q)2 2 3
三次方程（1）应当有三个根，但卡尔丹只求出实根，是不完全的。直到
21732年欧拉才得到求出全部根的方法。如果ω、ω 表示1的两个立方虚根，
2即方程x+x+1=0的两个根，则t和u的立方根写全了分别应为：
3 3 2 3 2 3 3 2
t ， tw ， tw 和 uw ， uw
这样，方程 （1）的全部根应为：
q q
x 1 2 2
x 2 2 2
X 3 2 2
b
最后，由前设y 3
中国剩余定理
在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，除百令五便得知。”
这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。
“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组
N=3x+2，N=5y+3，N=7x+2
的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组：
N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）
《孙子算经》所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：
N=70×2+21×3+15×2-2×105。
这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对与一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R、R、R
1 2 3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式
N=70×R+21×R+15×R-P×105（P是整数）
1 2 3
孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的 《孙子歌》中所说“七下稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性：
3×5×7
70 3
3 ×5 ×7
21 5
3×5×7
15 7
也就是说，这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k=2，k=1，k=1，那么整
1 2 3数k（i=1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时
i候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数R、R、R的情况下
1 2 3
M 3 ×5 ×7
R ×k × 1 1 3 1 3 1
M 3 ×5 ×7
R2 ×k 2 × 5 5
M 3 ×5 ×7
R ×k × 3 3 7 3 7 3
综合以上三式又可得到
3 ×5 ×7 3 ×5 ×7 3 ×5 ×7
R ×2 × 1 3 2 5 3 7
≡R(mod3)
1
≡R(mod5)
2
≡R(mod7)
3
因为M=3×5×7可被它的任一因子整除，于是又有：
3 ×5 ×7 3 ×5 ×7 3 ×5 ×7
(R 1 ×2 × 3 5 7
≡R（mod3）
1
≡R（mod5）
2
≡R（mod7）
3
这里的P是整数。这就证明了《孙子算经》的公式。应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a、a……a相除得余数R、R、……R，即
1 2 n 1 2 n
N≡R（mod ai）（i=1、2、……n）
i
只需求出一组数K，使满足
i
M
ki ≡1(mod aai )(i a
i
那么适合已给一次同余组的最小正数解是
M M M M
N 1 1 2 2 3 3 n n
a a a a
1 2 3 n
这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说，它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。
孙子问题出现在公元四世纪的中国算书中，这并不是偶然的。我国古代天文历法资料表明，一次同余问题的研究，明显地受到天文、历法需要的推动，特别是和古代历法中所谓“上元积年”的计算密切相关。大家知道，一部历法，需要规定一个起算时间，我国古代历算家把这个起点叫做“历元”或“上元”，并且把从历元到编历年所累积的时间叫做“上元积年”。上元积年的推算需要求解一组一次同余式。以公元三世纪三国时期魏国施行的《景初历》做例，这部历法规定以冬至、朔旦 （朔日子夜）和甲子日零时会合的时刻作为历元。设a是一回归年日数，b是一朔望月日数，当年冬至距甲子日零时是R，离平朔时刻是R日，那么《影初历》上元积元数N就是同余组
1 2
aN≡R（mod 60）≡R（mod b）
i 2
的解。到了南北朝时期，祖冲之《大明历》（公元462年）更要求历元必须同时是甲子年的开始，天“日月合璧”、“五星联珠”（就是日、月、五大行星处在同一方位），月亮又恰好行经它的近地点和升交点。这样的条件下推算上元积年，就相当于要求解十个同余式了。天文历法数据一般又都十分庞杂，所以，在《孙子算经》成书前后的魏晋南北朝时期，我国的天文历算家无疑已经能够求解形式比《孙子算经》“物不知数”题复杂得多的一次同余式，因而必定掌握了按一定程序计算一次同余式的方法。《孙子算经》比例题的形式总结、反映了这一事实。以后天文历算家长期沿用孙子算法推算上元积年，这中间肯定会引起更加深入的探讨。到公元13世纪，大数学家秦九韶集前法之大成，终于在一次同余式的研究上获得了超越前人的辉煌成果。
秦九韶，字道古，生活于南宋时期，自幼喜好数学，经过长期积累和苦心钻研，于公元1247年写成《数书九章》。这部中世纪的数学杰作，在许多方面都有创造，其中求解一次同余组的“大衍求一术”和求高次方程数值解的“正负开方术”，更是具有世界意义的成就。
这里主要介绍秦九韶对一次同余论的伟大贡献。
秦九韶在《数书九章》中明确地系统地叙述了求解一次同余组的一般计算步骤。秦的方法，正是前述的剩余定理。我们知道，剩余定理把一般的一
M
次同余问题归结为满足条件K （mod a ）的一组数k 的选定。秦九韶给
i i i
a
i这些数起名叫“乘率”，并且在《数书九章》卷一“大衍总术”中详载了计算乘率的方法——大衍求一术”。
在秦九韶那个时代，计算仍然使用算筹。秦九韶在一个小方盘上，右上布置奇数g，右下布置定数a，左上置1（他叫它做“天元1”），然后在右行上下交互以少降多，所得商数和左上 （或上），直到右上方出现1为止。下页就是秦九韶的一般筹算图式，右边是一个数字例子 （g=20，a=27，k=c=23）。
4
秦九韶在《数书九章》中采集了大量例题，如“古历会积”、“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计地”等等，广泛应用大衍求一术来解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题。在这些实际问题中，模数a并不总是两两互
i素的整数。秦九韶区分了“元数”（a是整数）、“收数”（a是小数）、
i i
“通数”（a是分数）等不同情形，并且对每种情形给出了处理方法。“大
i衍总术”把“收数”和“通数”化成“元数”的情形来计算，而对于元数不两两互素的情形，给出了可靠的程序，适当选取那些元数的因子作定数而把问题归结为两两互素的情形。所有这些系统的理论，周密的考虑，即使以今天的眼光看来也很不简单，充分显示出秦九韶高超的数学水平和计算技巧。
秦九韶小时曾跟随他父亲到南宋京城杭州，向太史局 （主管天文历法的机构）的官员学习天文历法，“大衍求一术”很可能就是他总结天文历法计算上元积年方法的结果。但是“大衍求一术”似乎没有为他同时代的人所充分理解。明中叶以后几乎失传。一直到清代“大衍求一术”又重新被发掘出来，引起了许多学者 （张敦仁、李锐、骆腾风、黄宗宪等）的兴趣。他们对
“大衍求一术”进行了解释、改进和简化，其中黄宗宪《求一术通解》对模数非两两互素的情形给出了更加简明的方法，但是时代已是晚清。
从 《孙子算经》“物不知数”题到秦九韶的“大衍求一术”，我国古代数学家对一次同余式的研究，不仅在中国数学史上而且在世界数学史上占有光荣的地位。在欧洲，最早接触一次同余式的，是和秦九韶同时代的意大利数学家斐波那契 （1170～1250），他在《算法之书》中给出了两个一次同余问题，但是没有一般的算法。整个水平没有超过《孙子算经》。直到十八、十九世纪，大数学家欧拉（1707～1783）于公元1801年对一般一次同余式进行了详细研究，才重新获得和秦九韶 ‘大衍求一术”相同的定理，并且对模数两两互素的情形，给出了严格证明。欧拉和高斯事先并不知道中国人的工作。公元1852年英国传教士伟烈亚力（1815～1887）发表《中国科学摘记》，介绍了《孙子算经》物不知数题和秦九韶的解法，引起了欧洲学者的重视。1876年，德国马蒂生（1830～1906）首先指出孙子问题的解法和高斯方法一致，当时德国著名数学史家康托 （1829～1920）看到马蒂生的文章以后，度评价了“大衍术”，并且称赞发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”。直到今天，“大衍求一术”仍然引起西方数学史家浓厚的研究兴趣。如1973年，美国出版的一部数学史专著《十三世纪的中国数学》中，系统介绍了中国学者在一次同余论方面的成就，作者力勃雷希（比利时人）在评论素九韶的贡献的时候说道：“秦九韶在不定分析方面的著作时代颇早，考虑到这一点，我们就会看到，萨顿称秦九韶为 ‘他那个民族’，是毫不夸张的。”
印度学者对一次同余论也有过重要贡献。从公元6世纪到12世纪，他们发展了一种称为“库塔卡”的算法，用来求解和一次同余式等价的不定方程组。“库塔卡”法出现在孙子算法之后，印度数学家婆罗门芨多（七世纪）、摩柯吠罗（九世纪）等人的著作中，都有和物不知数题相同的一次同余问题。这当然不是要借此断言“库塔卡”法一定受到了孙子算法的影响，但是有人
（如万海依等）硬说中国的“大衍求一”来源于“库塔卡”，就是毫无根据的妄说了。万海依居然把中国算法中数码从左到右横写作为“大衍术”受印度影响的重要根据。大家知道，中国古代至迟从春秋战国时期就开始使用算筹记数，我们今天还可以从现存的公元前三世纪的货币上看到这种从左到右的记数方法。由此可见，万海依的论点多么荒唐可笑。中国古代数学家对一次同余论的研究有明显的独创性和继承性，“大衍求一术”在世界数学史上的崇高地位是毋容置疑的，正因为这样，在西方数学史著作中，一直公正地称求解一次同余组的剩余定理为“中国剩余定理”。
影子的数学应用
自古以来，人们仰望遥远的天空时，就会情不自禁地想道：“天到底有多高呢？”
由于天高不可测，人们便想知道，挂在天空的太阳离地到底有多远。孔子不能回答“小儿辩日”的问题，然而，初生的牛犊不怕虎，有一个儿童却敢于当着大人的面巧辩太阳离地有多远。
约在公元300年，晋元帝司马睿问他才七八岁的儿子司马绍道：“长安离我们这儿远，还是太阳离我们这儿远？”司马绍回答：“太阳。因为：有闻客自长安来，却未闻有人从日边来。”元帝很高兴，第二天在宴会上说起这件事，当时别人又问司马绍一遍相同的问题，可是他却回答“长安远”。这下让元帝大为扫兴，正要提示，只见司马绍不慌不忙地补充说：“举目见日，不见长安。”这两句话引得元帝满心欢喜，登时四座惊服。司马绍才思敏捷，后来的人把远方亲友不能见面的思念用“长安远”为辞。成为千古名喻。
那么，到底是长安远还是太阳远，科学家们却是用具体的数学来说话。长安在大地上，自然有办法丈量，而那个太阳高悬在空中，要测量它离我们这儿有多远就很难了。然而，人类的智慧到底还是征服了大自然。
这就是利用“影子”。
一首题为《影子》的诗写道：“岂能依此长短，判定人的高矮！”这首诗只有寥寥12个字，却揭示了一条深刻的哲理，它寓含于科学与人生之中，就影子本身来说，它貌不惊人，从来都是某种物体的附属品，又是虚无阴暗的代表，习惯被人瞧不起，认为是毫无价值的、空洞的，甚至把它的存在也看成是多余的。然而，我们岂可以依此长短来判断人的高矮呢？诚然，大自然的奇观五光十色，令人眼光缭乱，有多少惊奇奥妙的情与景令人神往啊！对于张目可见的影子实在不屑一提。可是，真正的科学家却不认为影子毫无用处，因为他们早就理解了其中的哲理，明白了衡量一件事物的价值是不能光凭外感来做标准的。
不是吗？因为有了影子，人类才揭示了日食的秘密，同时，光学之中出现了成像原理，微积分学中有了变化率，测量学中有了测高望远之术，定时装置中有了日晷……
早在公元前6世纪，古希腊学者塔利斯就曾经借用影子的作用去拯救战火中受难的百姓，据说当时美地亚和吕地亚国 （位于现今土耳其西部）发生战争，连续五年未分胜负，满目疮痍，哀鸿遍野。老百姓处于水深火热之中。塔利斯目睹惨景，便去游说两国首领，晓以利害，建议停战，但均遭到冷遇。于是，他便扬言，上天反对战乱，某月某日利用日食作为警告。果然到了那天，两军正在酣战，突然太阳失去光辉，白昼顿时成了黑夜，双方将领大为恐慌，从此罢战言和。
这个传说当然未必可信，因为那时塔利斯是否有能力预测日食发生的时间是值得怀疑的，但这说明影子在宇宙空间也有如此妙用；而塔利斯深知影子的妙用，因此也敢于大胆地回答“金字塔之谜”的问题：即金字塔有多高？
当时，埃及法老阿美西斯悬赏征求这个答案。当然，要求答案是准确可靠的，如果信口开河，无根据地胡诌一个数，这会要受到惩罚的。因此，在很长一段时间里没有人应征。终于有一天，金字塔前人山人海，争相目睹塔利斯的测高表演。首先，他在广场上竖立一根木棍，在日光照耀下，顺着影子从木棍的底部引出一条直线，量线长等于木棍高的地方做一个记号；他目不转睛地注视着影子的变化，当棍顶的影子与记号重合时，立即快步跑到金字塔塔顶的影子处去做一个标志；他认为，木棍影长与棍长相等时，塔高就应该等于塔影长的，只需量塔影长就知道塔高了。
是的，这个方法很简单，他的原理也是容易被接受的。可是，当他量了塔影的部分长度（全部长度应是从塔中心开始，而有一部分处于底盘位置），准备再去量取金字塔底盘的宽度时，有人喊叫起来：“塔利斯的测量不准！”等他弄清是怎么回事时，不禁皱起眉头，看看影子，叹了口气！原来，就在他跑去设立塔顶影子的标志时，木棍的影子又变动了；而且，由于金字塔的底盘很大，需要量取底盘宽度，以便确定中心到边界的距离，按这距离加上所见影子的长度才是塔高，本来选择影子方向也不能严格与塔的一边平行，现在方向又偏移了，因此他的失败之处在于测量目的物不是一根“杆”，而是底盘很大的金字塔。
塔利斯虽然第一次尝试失败了，但后来，却利用影子不停息地移动的性质巧妙地进行了新的尝试：观测两次，第一次定下木棍顶和塔顶的影子位置a和A，第二次b和B，那么，AB∶ab就是塔高与棍长之比了。棍长既为已知，自然就容易求出塔高来。
人们惊讶地看到塔利斯的超人智慧，无不叹为观止。然而，一座塔、一棵树，甚至一座山固然都可以应用这个方法测量高度，却没有人敢想象更高的物体，譬如说太阳，它到底有多高呢？
富于幻想的科学家想到，既然太阳是挂在天上的，日高也就是高了。那末，谁能够测得日高呢？
第一个接受挑战的是我国三国时代的科学家赵爽（公元3世纪），赵爽在作 《周髀算经》注释时巧妙地创造了“双表人影法”来解决这个难题，他绘制了一幅《日高图》，在平地上面立两表 （表即“杆”的意思），日照下显出影长AB和CD，作CE=AB，则ED为两影长度之差；接着他证明“黄甲”与“黄乙”的面积相等，而黄甲的面积是表高与两表之间距离的乘积，用影差作为黄乙的宽去除黄甲面积，便得黄乙的长，它的上端与日头相齐，加上表高，就是日高了。
赵爽测日高的方法可用下式表示：
GA FD ED
固然，由于地面不是很平的，而且表高与表间距离相对于日高来说过于微小，所以测得的日高是不够准确的。但是，赵爽却为后人提供了一种极为先进的测高望远之术。
历史的发展必然会使科学不断进步，就在赵爽之后几十年，与其同世纪的刘徽提出一种重差理论，发明了“重差术”，“重”就是重复，“差”是日照影子长度的差值，说明只需测两次求日影的差，就可以算出距离。刘徽对赵爽的日高测量法作了比较大的发挥，他认为，重差法用测日高可能不准确，但是，用于测量一座山、一座塔的高度却是游刃有余；特别是用于测量
“可望不可即”的景物更是别开生面，譬如说在大陆要隔海测量海岛高度就可以用这种方法。
AC d ED
刘徽对影子的研究，使测高望远之术更加向前推进了一步。
无独有偶。赵爽创立用影子的有关数据进行测量的方法，不但被刘徽推广和发挥，在外国也有惊人的成果。例如，1569年在威尼斯出版的一本书上绘制的图，所说明的测量建筑物高度的方法，其原理与《海岛算经》的《望海岛》题一样；此外，明末时期，意大利传教士利玛窦来我国，曾口授《测量法义》一书，也记载有与《望海岛》相类似的题目。外国的成果与刘徽方法大同小异，虽不能说他们的成果是源自刘徽，然而，这已是16、17世纪的事了，而刘徽的“重差术”却在他们一千多年前已研究出来了。
有人追溯更早期利用影子测量景物的方法，可溯源至古埃及或古印度的时代，但是，除职像塔利斯那样的传说之外，基本上已没有什么当时的文献可查。而在欧洲，虽然有许多利用影子原理的测量的方法记载在数学书籍或某些文学作品中（例如凡尔纳在小说《神秘岛》中描述了算术测峭壁的高度），也多半是近代的事；像16世纪威尼斯出版的那本书则是很少见的。
人的自身能力是有限的，不能直接去丈量海岛的高度，更无法量出至海岛的距离，然而，凭借影子，却能把理想（甚至可以称为幻想）变成现实。如果我们回味那首短短的《影子》诗，就能悟出一番真谛。
人们在研究影子的功用时，也曾出现一些疑点，例如有人怀疑塔利斯第一次应用木棍的影子测量金子塔高度的原理是否正确。
木棍比金字塔矮得多，木棍的影长等于棍子高度时，α=45°，但此时β不是45°，说明金字塔影长并不就是它的高度。那么，为什么可以认为塔利斯的方法是可行的呢？
道理很明显，因为木棍与金字塔的距离相对于与太阳的距离来说太微不足道了，因此太阳射至木棍和塔的光线可以认为是平行的，这也是赵爽方法实际上不能用于测日高的原因之一。从另一方面看，如果光源很近（例如是一盏灯），塔利斯的方法就不实用了，而刘徽的方法却是可行的。
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