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费尔马定理
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费尔马是一个十分活跃的业余数学家，喜欢和别人通信讨论数学问题。他差不多和同时代的数学家都通过信，受到人们的敬重。
费尔马经常提出一些难题，寄给熟人，请他们解答，然后再把这些解答与自己的解答对照。他提出的猜想，有被否定掉的；但是他证明过的定理，却从没有被推翻过。其中，不少成了后来书上的重要定理。费尔马在数论上作过杰出贡献。例如，他发现并证明了一个很重要的基本定理：
P-1
若P为素数，正整数a不能被P整除，那么a -1这个数，一定能够被P整除。
这个定理叫做费尔马定理或者费尔马小定理。1640年，当费尔马证完这个定理后，兴奋地写信告诉他的朋友说：“我浸浴在阳光中！这个定理按其在数论和近世代数中的重要性来说，的确是值得称道的。
6
比如我们要考察5-1这个数能不能被7整除，根据费尔马小定理，由于
6 7-15-1=5-1，所以知道它一定能被7整除。事实也正是这样。
6
5-1=15624=7×2232。
100
因为这个数小，所以可以写出来判断。如果是问1981-1能不能被101整除，就不好算出来看了，但是根据
100 101
1981-1=1981-1-1，
所以可以保险这个数能被101整除。1621年，20岁的费尔马，在巴黎买了一本丢番都的《算术学》的法文译本。不知他在什么时候，在书中关于不
2 2 2定方程x+y=z的全部正整数解的这一页上，用拉丁文写了这么一段话：
“任何一个数的立方，不能分解为两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分解成两个数的四次方之和；一般来说，任何次幂，除平方以外，不可能分解成其他两个同次幂之和。我想出了这个断语的绝妙证明，是书上这空白太窄了，不容我把证明写出来。”
在自己的书上空白处写心得，是一些人的读书习惯，通常叫作“页端笔记”。费尔马的这段页端笔记，用数学的语言来表达就是：形如
n n n
x+y=z的方程，当n大于2时，不可能有正整数解。
费尔马虽然在数学上有很多重大成就，但是他生前几乎没有出版过什么数学著作。他的著作大都是在他死后，由他的儿子，把他的手搞和与别人往来的书信整理出版的。
费尔马死后，有人翻阅他的那本丢番都的书，发现了那段写在书眉上的话。1670年，他的儿子出版了费尔马里的这一部分页端笔记，大家才知道这一问题。后来，人们就把这一论断，称为费尔马大定理或者费尔马问题。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫本来是普鲁士派往俄罗斯的一位公使。后来，他成了一名数学家。
哥德巴赫和费尔马一样，很喜欢和别人通信讨论数学问题。不过，他在数学上的成就和声望，远远不如费尔马，有的人甚至认为他不是数学家。其实，有资料说，他是彼得堡科学院院士。
哥德巴赫与另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉经常通信。他们有15年以上的通信历史，经常讨论的是数学问题。
1742年6月7日，哥德巴赫写信告诉欧拉，说他想冒险发表一个猜想：
“大于5的任何数是三个素数的和。”这里要顺便交待一句，有一个时期，人们把1看成是特殊的素数；后来，才像今天这样，把1与素数严格区别开来。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说，他认为：“每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的。”
这次通信的内容传播出来后，当时数学界把他们两人通信中谈到的问题，叫做哥德巴赫问题。后来，它被归纳为：
命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；
命题B：每一个大于或者等于9个奇数，都可以表示为三个奇素数的和。
这就是今天我们所说的哥德巴赫猜想，实际上，应该是哥德奇巴赫——欧拉猜想。比如
50=19+31，51=7+13+31
52=23+29，53=3+19+31
当然，表示方法可能是很多的。比如
50=3+47=7+43=13+37=19+31
很明显，如果命题A成立，那么，命题B也就成立。因为假设N是大于或者等于9的奇数，那么，N-3就是大于或者等于6的偶数。命题A成立，就是存在着奇素数P与P，使得N-3=P+P，这就是N=3+P+P，就像前面的
1 2 1 2 1 250与53的关系一样。但反过来，如果证明了命题B成立，并不能保证命题A就一定成立。
19世纪的很多大数学家，都研究过哥德巴赫猜想，但是进展不大。
1900年，希尔伯特在巴黎国际数学家会议上，提出了23个研究题目，这就是有名的希尔伯特问题，可以说这是23个大难题。哥德巴赫猜想命题A，与另外两个有关的问题一起，被概括为希尔伯特第八问题。
到了1912年，在第五届国际数学会议上，著名的数论大师兰道发言说，哥德巴赫问题即使改成较弱的命题C，也是现代数学家所力不能及的。
命题C意思是：不管是不超过3个，还是不超过30个，只要你想证明存在着一个这样的正数c，而能“使每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过c个素数之和”。
过了9年，到了1921年，著名数论大师哈代在哥本哈根召开的国际数学会上说：哥德巴赫猜想的困难程度，可以与任何没有解决的数学问题相比拟。哈代也认为是极其困难的，但是不像兰道说得那样绝对。
1930年，苏联25岁的数学家西涅日尔曼，用他创造的“正密率法”，证明了兰道说的那个现代数学家力不能及的命题C，还估算了这个数c不会超过S，并算出S≤800000，人们称S为西涅日尔曼常数。
西涅日尔曼的成就震惊了世界。这是哥德赫猜想研究史上的一个重大突破。可惜他只活了33岁。
1930年以后，包括兰道在内的很多数学家，竟相缩小S的估值，到1937年，得到S≤67。
在1937年，哥德巴赫猜想的研究，又取得了新的成就。苏联著名的数学家伊·维诺拉多夫，应用英国数学家哈代与李脱伍特创造的“圆法”，和他自己创造的“三角和法”证明了：
充分大的奇数，都可以表示为三个奇素数之和。
伊·维诺格拉多夫基本上解决了命题B，通常称为“三素数定理”。
坚固无比的堡垒哥德巴赫猜想，正在被人们逐个攻破。
这里要注意，命题B所说的是每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇数之和。数学家在证明这个命题时，往往把9放大到很大很大，比方说放大到十万，人们只要证明每一个大于十万的奇数，都可以表示为三个奇素数之和，就算基本上证明了命题B。对于剩下的那一部分从九到十万的有限个奇数，是否每个都可以表为三个奇素数之和，可以暂时不管，留待以后去检验。所以叫做“基本上”证明了命题B。
实际上，维诺格拉多夫未检验的有限个奇数，是9到10的400万次方之间的奇数，即1后面跟400万个0那么多个数中的奇数。如果真要去逐个检验每个是否能表为三个奇素数的和的话，那时还没有电子计算机，就算用现在最快的电子计算机，从他那时算到现在也算不完。再说也没有那么大的素数表供他使用。前面已经介绍过，现在最好的素数表才编到五千万。可见凡是大于10的400万次的奇数都能表为三个奇素数之和，这点被证明了，这就更不简单了。因为前面的那些奇数到底还是有限个，而这里证明了的是无穷多个！
维诺格拉多夫的工作，相当于证明了西涅日尔曼常数S≤4。
命题B基本上被解决了，于是有些不太了解数论情况的人，曾经认为只差一步就到命题A了，谁知这一步的腿迈出了40多年，还没有着地哩！
有人核对过从6到3300万的任何偶数，都能表为两个奇素数之和。这种核对工作是一直有人在作的。
有的人核对，是想找到一个不能表为两个奇素数之和的偶数，即找到一个反例，一举否定哥德巴赫猜想。这样，哥德巴赫猜想便宣告解决。
有的人核对，是想得到一些统计数字，摸清一些规律，为证明哥德巴赫猜想作准备。
当然，也有人可同时兼有上述两种意图。
这里要注意，无论是从6算到3300万也好，还是从6算到3300亿也好，都是有限个数。由这些有限个数统计出的任何数据，除非是反例，都是不能用来当作证明的依据。
在命题A的研究过程中，人们引入了“殆素数”的概念。
什么叫殆素数？我们知道，除1以外的任何一个正整数，一定能表示成若干个素数的乘积，这其中的每一个素数，都叫做这个正整数的一个素因子。每一个正整数，相同的素因子要重复计算，它有多少个素因子，是一个确定的数。如果这个正整数本身就是素数，就说它只有一个素因子。以25到30这六个数为例：
25=5×5 有2个素因子
26=2×13 有2个素因子
27=3×3×3 有3个素因子
28=2×2×7 有3个素因子
29是素数 有1个素因子
30=2×3×5 有3个素因子
殆素数就是素因子 （包括相同的和不同的）的个数不超过某一个固定常数的自然数。例如25到30的六个数中，25、26、29三个数，是素因子不超过2的殆素数，其余三个不是。要是说素因子不超过3的数是殆素数，那这六个数就是殆素数。
应用殆素数的概念，可以提出一个新命题 D，通过对这个命题的研究，来接近命题A。
命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和。
这个命题简记为“m+n”。
注意，这里的“3+4”或者“1+2”等是数学命题的代号，与3+4=7或者1+2=3毫无任何关系。就像有的电影院把座位13排8号简写作“13-8”，与13-8=5没有任何关系一样。
例如，“1+2”就是每个充分大的偶数，都可以表示成素因子的个数不超过1个（即素数），与素因子的个数不超过2个的两个数的和。比如100=23+7×11，434=31+13×31，168=79+89等都是合乎要求的。如果能证明，凡是比某一个正整数大的任何偶数都能像这样，表示成一个素数加以两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素数，就算证明了“1+2”。
如果能证明“1+1”，就基本上证明了命题A，也就是基本上解决了哥德巴赫猜想。等到那时，哥德巴赫猜想就该叫哥德巴赫定理了。——人们已经为此奋斗了将近240年。
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