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炙热的岩浆(答)

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请原谅奥兹博士出了这么可怕的一道难题。亨利叔叔、埃姆婶婶和多萝茜的“获胜”几率分别是1/2,1/4,和1/8。把赌注押在亨利叔叔身上吧!
亨利叔叔第一个出场,于是他的机会是埃姆婶婶的两倍;埃姆婶婶第二个出场,她的机会是多萝茜的两倍。因此,他们三个的获胜机会之比为4︰2︰1。具体地讲,要让埃姆婶婶胜出,条件是亨利叔叔必须死掉(1/2),而且埃姆婶婶还必须活下来(1/2),复合概率为1/4。要让多萝茜胜出,条件是亨利叔叔和埃姆婶婶都必须死掉(机会各为1/2),而且多萝茜必须活下来(1/2),由此得到的复合概率为1/8。多萝茜胜出的几率同没有最终获胜者的机会同样多。你明白为什么吗?第19题《神秘的射电枪》也涉及到概率问题,只不过更加复杂些。
如果你想做难一点的题目,来试试这个:假如亨利叔叔、埃姆婶婶和多萝茜一直玩下去,直到有人死掉,那么三人的获胜机会各是多少?(在这道可怕的题目中,获胜者是第一个死者。)假如多萝茜和亨利叔叔两个按固定顺序一直玩下去,直到有人“胜出”,他们两人的获胜机会各是多少?怎样证明你的答案?
这道邪恶题目的答案如下:
亨利叔叔:57.14%=50+50/8+50/82+50/83+50/84+50/85……
埃姆婶婶:28.57%=25+25/8+25/82+25/83+25/84+25/85……
多萝茜 :14.28%=12.5+12.5/8+12.5/82+12.5/83+12.5/84+12.5/85……
比如,亨利叔叔第一次出场时就获胜的机会是50%,此后每一轮,他的累积几率会减少八分之一。注意,亨利叔叔第一个出场,随后是埃姆婶婶和多萝茜,埃姆婶婶的累积几率只有亨利叔叔的二分之一,多萝茜的累积几率则是埃姆婶婶的二分之一。随着游戏的发展,三人的累积几率之和接近100%。

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