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数学元认知差异的相关研究及启示
作者：程向阳
关键词 元认知能力 数学元认知 数学元认知差异
数学元认知是以数学观念为指导，在数学思维过程中表现出来的，对数学认知活动的认识和监控。学生的数学元认知水平对数学学习有很大影响，数学元认知的差异是形成数学思维品质差异的根本原因，因此，了解学生数学学习的元认知水平的差异，对于有效地开展数学教学，有针对性地指导学生的数学学习有着十分重要的意义。本文通过回顾关于数学元认知的相关研究，对数学元认知的理论和学生数学元认知差异的主要表现进行了分析与梳理，并对数学教学提出了一些建议。
1 数学元认知的相关研究
自20世纪70年代初美国心理学家弗莱维尔(Flavell)首次正式提出元认知的科学概念以来，各国的研究者围绕元认知开展了大量的研究，使其逐渐成为当代心理学，尤其是教育心理学的热点课题。在众多元认知概念的界定中，以弗莱维尔的定义最具代表性，他认为元认知是个人对自己认知系统的内省知识(Flavell，1971)，即认知的认知。数学元认知就是对数学认知活动的认识和监控，是在数学思维过程中表现出来的，以一定的数学观念为指导，对自己的思维过程的意识进行调节与控制。
1.1 元认知结构
关于元认知的结构，国外学者弗莱维尔认为元认知包括元认知知识(meta-cognitive knowledge)和元认知体验(meta-cognitive experience)两个方面。帕里斯(Paris)认为元认知包括两类心理活动：一是认知的自我评估知识；二是思考的自我管理。国内学者董奇认为元认知的成分为3个方面的要素：元认知知识、元认知体验和元认知监控。汪玲、郭德俊等人则认为元认知包括元认知技能、元认知知识和元认知体验3个方面。目前较为普遍接受的是董奇先生提出的“三要素”观点。其中元认知知识就是个体关于自己或他人的认识活动的过程、结果、任务目标和方法以及影响认知活动的各种因素等有关的信息和知识。元认知体验是指伴随着认知活动的进行而产生的认知体验或情感体验，它是推动认知活动顺利进行的内在动力，可以是“知”的体验，也可以是对“不知”的体验。元认知监控就是主体在认知活动的全过程中，将自己正在进行的认知活动作为意识对象，不断地对其进行积极自觉的监视、控制和调节，以达到预定的目标。
1.2 数学元认知结构
在数学学习过程中，数学元认知知识表现为以下几个方面：(1)对个体数学学习能力、兴趣、习惯的认识；(2)对数学本质、学习目标和任务难易程度、材料的不同呈现方式等的认识；(3)对数学学习的方法、策略及其使用的条件与范围等的认识。
数学元认知体验包括了知和情两方面的体验，即一方面有认知活动进行时对知识获取的觉知，另一方面也有对认知过程中经历的情绪、情感的觉察。如，通过数学作业或形成性测验，“我”能够发现自己数学学习的进步或退步；又如，对立体几何中的题目，“我”喜欢用几何方法来解决还是喜欢用向量方法来解决等。
数学元认知监控是对数学认知过程的调节和控制。数学元认知监控贯穿于数学认知活动的全过程，即从认知目标和任务的监控开始，到制定计划的监控(包括策略选择与应用、构思问题解决的可能方法、估算其有效性、资源分配等)和实施计划的监控(包括根据反馈信息及时作出评价，并修正或调整策略和方法等)直至检查结果的监控(包括评价和估计策略和方法的效果，达到目标和完成任务的程度。如发现问题，则采取相应的补救措施)，总之要达到了目标和完成了任务，数学元认知监控才停止。
一般来说，数学元认知监控是在数学元认知知识、元认知体验相互作用的基础上实现的，丰富的元认知知识和元认知体验有助于主体对认知活动进行有效的监控，同时元认知监控能力又制约着主体元认知知识的获得和水平。因此，在实际认知活动中，三者相互作用，相互制约构成一个统一的整体，其中数学元认知监控处于核心地位。
1.3 数学元认知的功能
在人们从事的各种认知活动中，元认知都发挥着十分重要的监控、调节的功能。已有研究证实，元认知监控在很多学科中会起到非常重要的作用，如写作(Gaham，1997)、阅读(Ryan，1984)、应用题(张庆林、管鹏，1997)等。这些研究已初步证明，元认知在儿童的学习记忆、理解、问题解决等方面的活动中起着重要的作用，元认知的训练可以提高儿童的思维、智力水平。
从数学学科的特点来看，数学是一门高度抽象的科学，是关于量化模式的建构和研究，是建立在对具体事物和现象的反省抽象基础之上的科学，这也就决定了数学思维更多的是反省思维，而反省思维是离不开元认知的；其次，从数学问题解决的过程看，“调控”是决定问题能否顺利解决的一个重要因素，通过解题过程的监视、评价、调节和修正，使问题得到圆满的解决，这次活动无疑都包含了元认知成分。因此数学学习活动要求学生具备一定的元认知能力；反之，数学学科的特点也使数学教学过程是培养学生元认知能力的最好载体。
2 数学元认知差异的表现
元认知与思维品质存在因果关系，元认知的改变必然引起思维品质的改变。数学思维品质是数学思维能力的表现形式，是衡量思维能力高低的重要指标。因此，了解学生数学学习的元认知水平的差异，对于有效地开展数学教学，有针对性地指导学生的数学学习有着十分重要的意义。学生数学元认知水平差异主要体现在以下几个方面。
2.1 数学学优生与学困生的元认知表现
对于数学学优生(Mathematically GibedStudents)，中文有很多称谓，如数学特长生、数学天才生或数学资优生。一般是指那些对数学有兴趣，能主动地进行数学学习，且对规定的数学学习内容，成绩稳定在相对较高水平的学生(以下简称“学优生”)。在数学学习中，还有一些学生，他们数学成绩差、知识欠缺多、能力薄弱、持续感到困难，处在无趣与困惑之中，这部分人就是数学学困生，也称为数学慢生、差生、后进生(以下简称“学困生”)，国际上使用“Slow Leaner”即“慢生”的称谓。成绩差异是相对的，所谓学困生是指在同龄人中数学成绩明显落后且学习困难的学生。学优生与学困生在数学学习的很多方面表现出差异，在元认知水平上也是同样。研究者对这个问题研究的结论主要有：
2.1.1 数学学困生元认知知识和体验水平较低，但未形成显著性差异
潘冬花认为，数学学困生的元认知特点有：元
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