盈不足问题构成《九章》的第七章。它的典型问题是:今有共买物,人出a1,盈b1,人出a2,不足b2,问人数、物价各多少?《九章》的第一种方法是:“置所出率,盈、不足各居其下。令维乘所出率,并以为实,并盈、不足为法,实如法而一”。此即求出实,法,设所求人数为u,物价为v,那么
便是每人应出的不盈不亏的数。对共买物的问题,“置所出率,以少减多,余,以约法、实。实为物价,法为人数”,即
刘徽以齐同原理论证了它的正确性。此是先同盈、不足为,所出率须与盈、不足相齐,变成,问题成为b2次所出a1,共盈,b1次所出a2,共不足。 因此次共出,则不盈不亏,每次所出为。而是众人之差,它是由一人之差积累而成的,因此便是人数,这也证明了《九章》第二种方法的正确性。第二种方法给出公式,。《九章》还给出了两盈、两不足、盈适足与不足适足类问题的解法。
任何一个算术问题,假设一个答案,代入原题验算,都必定会出现盈、不足、适足这三种情况之一,两次假设,便成为一个盈不足问题,公式(1)就是为这些问题提出的。以“油自和漆”问为例。已知漆3可以换油4,而油4可调和漆5。现有漆3斗,欲拿出一部分换油,使换得的油恰好能调和剩余的漆。问用于换油的漆,换得的油,要调和的漆各多少?其解法是:假令用于换油的漆9升,则换得油12升,可调和漆15升,30-(9+15)=6,不足6升;假令用于换油的漆12升,则换得油16升,可调和漆20升,(12+20)-30=2,有余2升。代入(1)式,用于换油的漆是(升),换得油15升,调和的漆升。
中国数学发展的早期,对复杂的问题常用这种两次假设的方法化成盈不足问题解决。这种方法对线性问题可以得出准确的答案,而对非线性问题只能得出近似解,这是《九章》的作者没有认识到的。例如:有一堵墙厚5尺,两只老鼠对穿,第一天都穿1尺,从次日起,大鼠一天天加倍,小鼠一天天减半,问两鼠何日相逢?《九章》的解法是:假令2日,不足5寸,假令3日,有余3尺寸,代入(1)式,得日。但此题是非线性的,准确解应为。然而,即使在高等数学中,对复杂的问题用盈不足术求解也不失为一种有效的方法,如求f(x)=0的根的假借法或弦位法,其原理便是盈不足术。
盈不足术传入阿拉伯和西方之后,长期成为他们解决数学难题的主要方法。阿拉伯人把它称为契丹算法,又称作双设法。