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祖暅之原理，西方称作卡瓦列利原理，是说等高的两组立体，若它们等高处的截面积相等，则其体积必相等。祖暅之用很简洁的语言概括道：“夫迭棊成立积，缘幂势既同，则积不容异。”(《九章算术·少广章注》)中国古代认识这个原理，经历了漫长的过程。在《九章算术》中，圆柱与方柱、圆锥与方锥、圆亭与方亭都是成对地出现，说明是通过比较两者的底面积从后者推导前者的体积的，这是祖暅之原理的雏形。刘徽则认识到，不仅要比较两立体的底面积，而且必须比较任意等高处的截面积。刘徽除了通过这一原理证明了圆锥、圆亭的体积公式外，有两点值得注意。一是他在证明羡除体积公式时提出“推此上连无成不方，故方锥与阳马同实。”(《九章算术·商功章注》)成，训层，就是说，同底等高的方锥与阳马每一层都是相等的方形，故其体积相等。刘徽进而提出，若一立体每一层都被一平面平分，则其体积被平分。刘徽由此解决了若干不同形状的鳖臑的体积公式，接近于提出：任意形状的四面体，其体积为底乘高的1/6。由于鳖臑在多面体理论中的关键地位，这一认识是非常重要的。二是他指出了《九章》开立圆术所蕴涵的球体积公式的错误，而错误的原因在于把球与外切圆柱的体积之比当成π：4。他设计了一种新的立体：用两相等的圆柱体正交，其公共部分称为牟合方盖。刘徽指出，球与外切牟合方盖的体积之比为π：4。显然，只要求出牟合方盖的体积，则球体积便迎刃而解。刘徽未能求出牟合方盖的体积，表示“以俟能言者”。
刘徽所期待的数学家便是200年后的祖暅之。这一工作很可能是祖暅之与其父的共同创作。祖冲之在《驳议》中说过：“立员旧误，张衡述而弗改。”可见他研究过球体积问题。祖氏父子在刘徽工作的基础上，继续考虑在一个正方体中用外切于球的两相等圆柱体正交分割出牟合方盖后的剩余部分。李淳风等《九章算术注释》记载祖暅之的方法是：考虑正方体与牟合方盖的1/8，即小立方棊ABCDEFGO，如图39(1)。按刘徽的分割方法，牟合方盖的1/8为AEFGO，称为内棊，如图39(2)。立方棊剩余部分被同时分割成三部分：ADEF、ABGF、ABCDF，称为外三棊，如图39(3)、(4)、(5)。考虑高AO上任一点N处的横截面NIJK，则其面积为球半径之平方r2，它由四部分组成：内棊横截面NMHL，外三棊横截面LHQK、MIPH、HPJQ。设内棊横截面积为 ，ON=a，那么外三棊横截面积之和应为 ，而由勾股形ONM， ，而 恰恰等于一个长、宽、高均为r的阳马距顶点为a处的横截面积，如图39(6)。由祖暅之原理，外三棊体积之和与上述阳马体积相等，即 ，那么内棊体积为 ，牟合方盖的体积为 。于是球体积 ，最后圆满地解决了球体积问题。若取π=3，则球体积为 。祖暅之开立圆术取后者。
图39 牟合方盖之求积
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