首页 -> 2007年第9期

初中函数中数形结合思想方法初探

作者：毛雪峰

　　新课程标准给数学的定义：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进形广泛应用的过程”；“数学是数、形、机会、算法与变化”，“数”与“形”的学习、研究显然是数学学科的基本内容，数形结合是学习“过程”化的需要。数形结合的方法及思想在数学学习的各个阶段都有所渗透，它是常用的、重要的思想方法，在中考的各类型题目中都有可能得到应用。那么什么是数形结合呢？数形结合是指把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，使代数的问题几何化或几何的问题代数化，从而将抽象的思维与形象思维结合的一种思想方法，主要表现在用代数的方法解决几何问题，或用几何的方法解决代数问题，以及代数与几何的综合问题解析。通过数与形的转化，对问题的解决产生事半功倍的效果。数的表现形式为：实数、代数式、方程、不等式等；形的表现形式为：直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等。初中函数在解决有关问题中应用数形结合的思想和方法较为普遍。
　　
　　（一）初中函数的数形结合的知识基桩和模块
　　
　　
　　（二）函数数形结合的灵活应用
　　
　　1．图形信息的获取，建立适当的代数模型。不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。
　　例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。
　　请结合图像，回答下列问题：
　　（1）根据图中信息，请你写出一个结论；
　　（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？
　　（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。”你说可能吗？请说明理由。
　　分析：此类题型为图像信息问题，所有的信息由图像反映，图形是折线，分为两段，代数模型为：两个不同的一次函数。根据图形可得到点的坐标（0，96），（2，80），（4，72）。代表的意义为：到2分钟，锅炉内原有水96升，接水2分钟后，锅炉内的余水量为80升，接水4分钟，锅炉内的余水量为72升；2分钟前的水流量为每分钟8升等。利用待定系数法的代数方法求出函数解析式，利用代数的精确性说理解题。
　　解：（1）略
　　（2）当0≤x≤2时，y=-8x+96（0≤x≤2），
　　当x>2时，y=-4x+88（x>2）
　　∵前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66（升），
　　∴66=-4x+88，x=5.5
　　答：前15位同学接完水需5.5分钟。
　　（3）若小敏他们是一开始接水的，则接水时间为8×2÷8=2（分），即8位同学接完水，只需要2分钟，与接水时间恰好3分钟不符。
　　若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的，设8位同学从t分钟开始接水，当0　　则8（2-t）+4[3-（2-t）]=8×2，16-8t+4+4t=16，
　　∴t=1（分），∴（2-t）+[3-（2-t）]=3（分），符合。
　　当t>2时，则8×2÷4=4（分）
　　即8位同学接完水，需7分钟，与接水时间恰好3分钟不符．
　　所以小敏说法是可能的，即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟。
　　2.构造图形、图像，建立合理的几何模型，利用图像法解决代数问题。
　　例1：利用图像解x2－２x–１=0的一种方法是：画出抛物线y＝x2与直线ｙ＝２x ＋１，两图像的交点的横坐标就是方程的解。
　　（1）再给出一种利用图像求方程x2－２x–１=0的解。
　　（2）已知函数ｙ＝x３的图像，求x３－x–２＝０的解（保留两个有效数）
　　分析：用代数的方法求一元二次方程的解是机械的方法操作，利用图形的直观性，代数的问题几何化，学生在动手画图和观察图形关系中经历“观察、实验、发现、猜想、归纳、验证”的过程，学生学习知识的能力和水平得到提高，数形结合的思想得到渗透。
　　3.中考数学压轴题中的数形结合思想。压轴题的关系多，涉及的知识点广，关键是找到数与形的契合点，数形的契合点以等式方程为载体，图形的相似、全等、勾股定理、解直角三角形等是建立等式、方程的基础，灵活的采用几何问题代数化，代数问题几何化的数形结合思想，找出契合点。
　　例1：在直角坐标平面内，O为坐标原点,A点的坐标为(1,0)，点B在x轴上且在点A的右侧,AB=OA,过A、B做x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图像于点C、D。直线OC交BD于M，直线CD交y轴于H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH。同学们发现两个结论：1∶S△CMD∶S四边形ABMMC=2∶3∶2；
　　数值关系：xC·xD=-yH
　　（1）请你验证两个结论是否成立。
　　（2）请你研究：如果将上述条件“A点的坐标为(1，0)”改为：“A点的坐标为(t，0)，（t>0）”其他条件不变，S△CMD∶S四边形ABMMC=2∶3是否成立，说明理由。
　　（3）进一步研究：如果将条件“A点的坐标为(1，0)”改为：“A点的坐标为(t，0)，（t>0）”，又将条件y=x2改为y=ax2（a>0），其他条件不变，那么xC、xD和yH有怎样的数值关系，写出结果并说明理由。
　　分析：因为AB=OA，显然几何关系是：AC是ΔOAB的中位线，满足代数关系BE=2AC；根据平行线等分线段定理，点C是线段的中点，继续则发现ΔHOC≌ΔDEC，OH=DE。
　　 （1）S△CMD∶S四边形ABMMC=2∶3，
　　显然隐含关系BE=ED，契合点为：yD=2yE；
　　几何图形坐标化，把点的坐标量化为几何线段的长：数值关系：xC·xD=-yH，∵xC=1、DE=BE=OH、-yH=OH、xD=OB，结合图形和条件A（1，1），∠COA=45o，OB=BE，得证。把代数等式化为几何对象，契合点为∠COA=45o。
　　（2）“A点的坐标为(1，0)”改为：“A点的坐标为(t，0)，（t>0）”，只是表示AC、BE、ED时由整数变成了字母，字母代替数，范围扩大了，图形变化由数t引起，AC、BE、ED的几何图形关系完全一样，解决方法（1）一样。
　　
　　例2中（2）（3）的契合点是：数形辩证统一关系。牢牢抓住数和形中的不变量，是解决类似问题关键。
　　著名数学家华罗庚认为“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，初中数学函数是学生建立数形结合思想方法的关键时期，初中生经历感悟数和形的辨证统一思想，“直观”、“ 入微”的形数意识的对学生的数学能力的提升有积极的作用。
　　
　　“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
　　

本文为全文原貌　请先安装PDF浏览器　 原版全文