首页 -> 2007年第9期

周期的妙用

作者：郑书玲　张双花

　　早、中、晚每天重复出现，一周每七天重复一次，在日常生活中这种重复出现的现象还很多，比如：过节日街道两边插彩旗一般也是按一定规律重复出现，这种现象我们把它叫做周期现象。巧妙地利用周期使一些看上去根本无法解决的问题都能顺利解决，下面举几个典型例子说明。
　　1.今天是星期五，从今天算起，第150天是星期几？
　　思路分析：先看150天里有几个7天，也就是有几个这样的周期。105÷7=21……3，通过计算知道有21个星期多3天，所以从星期五开始数3天是星期日。
　　解：150÷7=21……3
　　答：从星期五算起，第150天是星期天。
　　2．求888……88(共1996个8)除以9的余数。
　　思路分析：如果用1996个8组成的数直接除以9，计算起来很繁琐。那么，怎样才能比较快地算出这道题的答案呢？先看以下几个特殊算式：
　　8÷9=0……8 （1）
　　88÷9=9……7 （2）
　　888÷9=98……6 （3）
　　8888÷9=987……5 （4）
　　88888÷9=9876……4（5）
　　888888÷9=98765……3（6）
　　8888888÷9=987654……2（7）
　　88888888÷9=9876543……1（8）
　　888888888÷9=98765432……0（9）
　　像以上这样，一直除下去，所得的这9个余数，也依次重复出现。这样可以把9个8作为一个周期。用1996除以9，余数是7，也就是还余7个8，从上式（7）中知道余数是2，也就是本题解。
　　解：1996÷9==221……7
　　8888888÷9=987654……2
　　所以888……88(共有1996个8)除以9余数是2。
　　3．已知循环小数3.4650725072……
　　（1）这个循环小数的第100位小数是几？
　　（2）如果某一位前的各位小数数字之和是11292，这位小数是第几位小数？
　　思路分析：
　　（1）这是一个混循环小数，每个循环节有4位小数，即5072，这就是说这个循环小数以第3位开始的变化规律是4个数字为一个周期，要求100位小数是几，首先要从100里先减去2，再算包含几个变化周期。100-2=98，98÷7=14，正好整除，所以第100位小数应是循环节的第4个数字，也就是2。
　　(2)先计算5072这个循环节的和，5+0+7+2=14；
　　然后用11292减去4与6的和，11292-（4+6）=11282，最后用11282÷14=805……12，说明11282比循环节的4个数字之和的805倍还多12，而12正好是循环节前3个数字5、0、7的和，又因为此题是混循环小数，循环节前还有4、6两位数，因此11292是循环小数4×805+3+2=3225（位）上数字的和，所求的这位小数应是3325 +1 =3326（位）小数。
　　4.0.3×0.3×0.3×0.3…×0.3的积的末位数字是几？
　　思路分析：因为因数末尾数字都是3，因数个数分别是2个、3个、4个……积的末尾呈现9、7、3、7、1……这样的变化规律，即：
　　0.3×0.3，末位数字是9；
　　0.3×0.3×0.3，末位数字是7；
　　0.3×0.3×0.3×0.3，末位数字是1；
　　0.3×0.3×0.3×0.3×0.3，末位数字是3；
　　0.3×0.3×0.3×0.3×0.3×0.3，末位数字是9。
　　因为22÷4=5……2，说明这道题中有5次4个0.3连乘，还余下2个0.3，那么积的末位数字是9，也就是说本道题的末位数字是9。