首页 -> 2007年第10期

函数零点与方程根的分布

作者：刚守涛

　　函数与方程是新课程改革高中数学的新增知识点。教学大纲与考试说明都重点要求结合二次函数了解函数零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，根据具体函数的图像能够求相应方程的近似解，体现了数形结合思想在数学问题中的应用，具有一定的知识性与灵活性。
　　
　　（一）二次函数零点与方程根的分布
　　例1．已知方程x2+(m-2)x+5-m=0，①方程有两个不相等实根，求实数m的取值范围；②方程两根都大于2，求实数m的取值范围。
　　分析：①二次方程有两个不等实根的充要条件为判别式恒大于零，反映在图像上则为抛物线与x轴有两个不同交点，即对应二次函数有两个不同的零点，很好地反映了参数的限定信息，所以由△＞0得m＞4或m＜-4。②二次方程根的分布比较复杂，仅有判别式已不能准确反映限定条件，结合函数零点的分布或方程根与系数之间的关系，
　　
　　所以，二次函数、二次方程与二次不等式之间有非常紧密的联系，对应的函数零点在此起到承上启下的作用，数形结合思想在问题解决过程中得到了很好体现。
　　
　　（二）可转化为函数零点或方程根的问题
　　例2．已知函数y=- ，求下列条件下的值域。①x∈R；②x∈(0,+∞)。
　　分析：解决该题有两种主要思路，其一是分离变量，使用换元法把问题转化为新变元函数的单调性来求值域；其二是利用函数与方程关系转换为方程有实根问题来解决。现就第二种方法作具体说明。
　　
　　（三）曲线方程与目标函数法的应用
　　例3．已知函数f(x)=-x2+8x与g(x)=6ln x+m，问是否存在实数m,使得y=f(x)的图像与y=g(x)的图像有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。
　　分析：令φ（x）=g(x)-f(x)=x2-8x+6ln x+m (m＞0)，由条件可知函数φ（x）=x2-8x+6ln x+m (m＞0)的图像与x正半轴有且只有两个不同交点。则
　　
　　所以，当m=7或m=15-6ln 3时，函数f(x)与g(x)的图像有且只有两个不同的交点问题得以解决。
　　结合以上函数与方程问题的应用，体现出函数与方程思想在整个高中数学内容中所承载的广泛联系的作用，进一步把函数、曲线方程等教学内容以及数形结合思想、分类讨论、含参数问题统一在一起，可帮助学生自主学习，积极探索，最大可能地调动学生参与教学、拓展教学资源的积极性，增强学生的应用意识。
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
　　

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