首页 -> 2007年第12期
在合作探究中学习命题的否定
作者：陆集宁
[关键词]合作 探究 命题的否定
在讲授《简易逻辑》—1.6逻辑联结词时，学生甲提出一个问题，命题p：菱形的对角线相等。非p命题是什么？学生乙不假思索地答道：“菱形的对角线不相等。”学生甲又指出命题p显然为假，而正方形是菱形，其对角线相等，所以非p：“菱形的对角线不相等。”亦为假，这不与“非p的真假与p相反”相矛盾吗？我问全班同学：“那你们说问题出在哪？”，这下热闹起来了，有的说“菱形的对角线相等”不是命题，马上有学生反驳说：课本第26页练习中的“矩形的对角线相等”不是命题吗？难道课本有错？又有的说“非p的真假与p相反”是不是错了？有人反驳说：“这是课本真值表总结的结论，应该不会有错吧。”
然后，我总结说：“我提出个人的观点，如有不妥请同学们指出来。”首先“菱形的对角线相等”是个命题，因为它是可以判断真假的语句；其次“非p的真假与p相反”也没错，那么问题出在哪儿呢？其实命题p：“菱形的对角线相等”省略了“一定”两字，命题p应为“菱形的对角线一定相等”（假），故其否定形式可写成“菱形的对角线不一定相等”（真）。沉默片刻后，又有学生丙提出“矩形的对角线相等”的否定不是要写成“矩形的对角线不一定相等”吗？“不一定”好像有点不妥。我想了想，说：“菱形的对角线都相等”（假），其否定形式写成“菱形的对角线不都相等”（真），这下可以了吧？同学们不再有异议。
我告诉学生，这样的答案虽然没错，但对于类似的问题应有一个比较统一的解决办法。现补充一些有关命题的概念和结论如下：“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等表示所描述事物的全体，逻辑中通常称做全称量词，含有全称量词的命题称为全称命题。全称量词“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”的否定是“存在”、“至少有一个”、“某个”、“有的”等。
那么，如何否定一个全称命题呢？其实否定它只需举一个反例即可，因此需先否定全称量词，再否定结论。比如“所有的菱形，其对角线相等”的否定是“至少存在一个菱形，它的对角线不相等”。仔细品味一下，它与“菱形的对角线不都相等”其实是一个意思的。
学生再做下面一些练习，就不觉得有什么困难了。①命题“任何实数x都是方程3x+2=0的根”的否定是“存在实数x不是方程3x+2=0的根”；②命题“平行四边形的对边相等”的否定是“至少有一个平行四边形的对边不相等”；③命题“所有的自然数都是偶数”的否定是“有的自然数不是偶数”。
教师从学生的一个问题出发，引导和鼓励学生积极参与师生之间、学生之间的合作探究学习，可以促使学生在更高的层面上开展学习，提高继续学习的能力。通过上面对命题的否定的研究、讨论，我认识到《简易逻辑》这一单元的教学并不简单，在教学中教师和学生都存在一定程度的困惑和疑问，有些参考书的解答也不尽如人意。如命题q：四边相等的四边形是正方形，把q的否定错解为：四边都相等的四边形不是正方形。因为q是假命题，“非q”也是假命题，所以上述命题不是“非q”。正确答案为：命题q：四边相等的四边形（都）是正方形，“非q”：四边都相等的四边形不都是正方形。
随着研究的不断深入，学生又提出了以下一些问题：
1.命题的否定与命题的否命题有哪些区别与联系？命题的否定与否命题是完全不同的概念。命题的否定是原命题的矛盾命题，是完全对立的，两者的真假性必然相反；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假，否命题是否成立，与原命题是否成立，两者没有关系。
“非”就是否定，“非p”之“非”只否定命题p的结论，不能否定命题p的条件；而原命题的否命题是否定原命题的条件和结论，这是“非p”与否命题的本质区别，所以欲写“非p”与否命题均应先分清命题的条件与结论。原命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，这是否命题与命题的否定“非p”的联系。
例分别写出下列命题的否定及命题的否命题，并判断它们的真假。
（1）全等三角形的面积相等（真）；
（2）末位数字是偶数的整数能被2整除（真）；
解：（1）命题的否定：全等三角形的面积不相等，是假命题。
否命题：不全等的三角形的面积不相等，是假命题。
（2）命题的否定：末位数字是偶数的整数不能被2整除，是假命题。
否命题：末位数字不是偶数的整数不能被2整除，是真命题。
2.怎么否定复合命题“p且q”、“p或q”？
根据逻辑的摩根律：“p且q”的否定为：“非p或非q”；“p或q”的否定为“非p且非q”。例如命题“5既是10的约数又是15的约数”的否定为：“5不是10的约数或5不是15的约数”；又如，命题“15是2的倍数或是3的倍数”的否定“15不是2的倍数且不是3的倍数”。
原命题“若a=c，b=d，则a+b=c+d”的逆否命题是“若a+b≠c+d，则a≠c，b≠d”；原命题“若xyz=0，则x=0或y=0或z=0”的逆否命题是“若x≠0且y≠0且z≠0，则xyz≠0”。
3.复合命题的含义与集合运算的关系是什么？
复合命题的含义及与集合运算的关系如下：
由于CU（A∩B）=(CUA)∪(CUB)，CU（A∪B）=(CUA)∩(CUB)，所以相应的也就有“p且q”的否定为：“非p或非q”；“p或q”的否定为“非p且非q”。此即逻辑的摩根律。对于逻辑联结词“非”，它相当于集合在全集中的补集，假设p与“非p”的结论所确定的集合分别是A、B，则A∪B=U（全集｛，A∩B=?准。）“非p”结论必须包含p的结论的所有对立面，如若不然，使用反证法证题时就可能发生错误。因为反证法的理论依据是欲证结论p为真，可证“非p”为假，如果“非p”不包括p的所有对立面，反证法就不合理了。
学习不只是教师向学生单向传输知识的过程，而是信息多向交流的过程，合作探究是良好的学习方式。在“命题的否定”的教与学中，要根据逻辑规则，分清各类型命题形式的结构和实质，才能准确地表达出命题的否定，从而增强和发展学生判断是非能力和逻辑思维能力。
参考文献：
[1]张奠宙.数学教育经纬[M].南京：江苏教育出版社，2003．
[2]教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003．
[3]徐颜明.《简易逻辑中的常见错误》中的错误[J].中学数学教学参考，2003，（10）．
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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