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数学教学中培养学生逆向思维的途径
作者：彭勤勇
1.常规解题方法的逆用。
在研究、解决问题的过程中，经常引导学生去做与习惯性思维方向相反的探索。其主要的思路是：顺推不行就考虑逆推；直接解决不了就考虑间接解决；从正面入手解决不了就考虑从问题的反面入手；探求问题的可能性有困难就考虑探求其不可能性；用一种命题无法解决就考虑转换成另一种等价的命题……总之，正确而又巧妙地运用逆向转换的思维方法解数学题，常常能使人茅塞顿开，突破思维的定势，使思维进入新的境界，这就是逆向思维的主要形式。
2.通过概念、定义的逆用，培养学生逆向思维能力。
被定义的概念和下定义的概念，其外延相同，二者的位置可以互换。教师可以引导学生从正反面来加深对定义的理解，定义不同于定理，它有可逆的两面。如定义“椭圆是两定点的距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离，下同)的点的集合”，其反面“椭圆的外部是到两定点的距离大于定长的点的集合，椭圆的内部是到两定点的距离小于定长的点的集合”也是正确的。因此，在概念教学中，除了让学生理解概念本身外，还要引导学生反过来思考，使学生对概念的理解更加精确，同时排除无关特征的干扰，从而逐步培养逆向思维能力。
3.重视逆定理的运用，提高学生的逆向思维能力。
数学中的定理有的不可逆，但许多定理的逆定理也是成立的。例如，平行线的性质定理与判定定理，勾股定理及其逆定理，两个平面平行的性质及判定定理，等腰三角形的性质及判定定理等等。在教学中，对某些重要定理的可逆性进行探讨，有利于加深对知识的理解，也有助于逆向思维能力的提高。
4.重视一些性质的逆向运用也能提高学生的逆向思维能力
中学数学教材中有很多的性质是可逆的。比如指数函数的性质“底数大于I时，函数为增函数”，其反面“指数函数为增函数时，其底数大于1”也成立。再如函数的方程与函数的图象的关系中，“满足函数方程的点都在函数的图象上”，其反面“在函数图象上的点满足该函数的方程’也成立。在数学教学中，重视一些性质的逆向运用，对培养学生的逆向思维能力大有益处。
5.注意公式、法则的逆用
许多数学公式都是以等式的形式出现，它们都是可逆的。教师在教学中引导学生掌握这些公式的逆向运用，能提高学生的解题能力。数学中的法则反映了一定的数学规律，重视其逆向应用可以把某些复杂的问题简化。
6.通过转化训练学生的逆向思维。
数学中的同一问题有不同的表现形式，引导学生从不同的角度去解答同一问题，可以使学生变换自如，运用灵活，提高逆向思维能力。如x2+y2=4，求3x+4y的取值范围。本题通过正向思维去解决较为困难，若将圆的一般方程转化为参数方程来解答此题就容易得多了。解法为：令x=2sinα，y=2cosα，3x+4y=6sinα+8cosα=10sin(α+?渍)，因为-l≤
加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数都是互逆运算，在正运算后可以通过逆运算来验算。这样不仅可以提高运算能力，对逆向思维能力的培养也非常有用。
8.在解题过程中运用逆向思考方法培养学生逆向思维能力
在解答数学题目时，有时采用正向思维方法比较麻烦，此时可换一种思维方式，运用逆向思维方法使问题简化。例如甲乙两人各进行一次射击，击中目标的概率分别是0.8和0.7，求至少一人击中目标的概率。解答此题若用正向思维方法来解，要求出“甲击中目标而乙未击中目标”、“甲未击中目标而击中乙目标”、“甲击中目标并且乙也击中目标”三种情况的概率再相加。若用逆向思考方法，先求出它的对立事件的概率再来解就要简单得多。
9.加强数学方法的教学，强化逆向思维能力，重视数学思想。
数学方法如反正法、分析法等方面的教学是增强学生逆向思维能力的有效方法。分析法是一种执果索因的逆向思维方法，其推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知或已成立的事实，命题便获证。该方法分析问题时要求学生养成“要证什么，需证什么”的思维方向，用它可以缩短已知和未知间的距离，便于寻找解题的途径。反正法是一种假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过推理得出与题设、公理、定理矛盾的结论，从而断定假设不成立，原命题的结论一定正确的证明方法。很多直接证明很困难的题目，用反证法可以起到很好的效果。通过数学方法的训练，能使学生明白解答一个问题用一种方法不行，要转化思想，也可以反过来思考，从而增强逆向思维能力，提高思维的灵活性。
总之，通过以上几种途径，能够有效地提高学生思维转化能力，发展学生的逆向思维，使学生在解决问题受阻时能摆脱习惯思路和常规解题模式的束缚，寻求新的解决问题的途径和方法。加强对学生逆向思维的训练，对提高学生数学能力，造就创新人才十分重要。
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