首页 -> 2008年第2期
例说如何变换思维方法解排列组合问题
作者：谢 平 王丕春
解决排列组合问题的基本规律是“16字方针”，即分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。迅速解决排列组合的捷径是“12个技巧”，具体方法与运用如下：①特殊元素的“优先排列法”：对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考其他的元素。②总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。③合理分类与准确分步：含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类、按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确、分步层次清楚、不重不漏。④相邻问题用捆绑法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。⑤不相邻问题用“插空法”：对某几个元素不相邻的排列问题，可将其他元素排列好，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。⑥顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。⑦分排问题用直接法：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的方法来处理。⑧试验：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。而变换思维方法，是数学解题的一个重要基本功，也是培养学生思维品质、优化思维过程的一个重要方面，更是深化学生用辩证唯物主义观点及其思想方法解决数学问题的有效途径。在课堂教学中要着眼于寻求问题与有关知识经验的逻辑关联，观察、联想、类比是实现变换思维方法的根本途径。学生只要能形成变换思维的自觉意识，就会善于“由此思彼”，使问题化繁为简、化隐为显、化难为易。笔者下面就消除学生在解题活动中存在的思维障碍，例说如何变换思维方法解排列组合问题。
例1．一部影片，轮流给4个单位放映有多少种不同的放映方法？
[分析]本题如单纯将一部影片分配给四个单位去思考，学生会感到难于理解，如果能诱发学生将问题转移到将四个单位排成一排，然后影片按一定方向（只有一种）去放映，与本题题意相同，就会实现化归的思想。显然就能将问题转化为四个单位排成一行的不同排法，其结果为 种。它体现了正难则反的解题思想。
例2．50个人排在一间有5排每排10个座位的教室，能有多少种排法？
[分析]本题初看起来，要考虑到有5排每排10位，但事实上它只要转化为先在外面排成一排，然后按顺序再坐到教室，是同一个问题,就容易得到题目的解法，即有A种排法。
例3．已知集合A={a,b,c,d}，B={x,y,z}，则从集合A到集合B的映射个数最多有多少个？
[分析]解决本题，如果思维定势在映射上，是很难的，只要我们由映射的定义理解集合A到集合B的映射问题和4封信投入3个信箱的问题是相同的，问题就很容易解决，即从集合A到集合B的映射个数是34个。把映射和排列组合联系起来，体现了解题的类比思想。
例4.从{1,2,3,4,…,20}中任选3个不同的数，使这三个数组成等差数列，这样的等差数列共有多少个？
[分析]本题如果单一的去找三个数组成等差数列，是非常困难的，不妨去寻找等差数列的等差中项性质,用等差数列的对称性，会发现2作为中项的数列只有1，2，3和3，2，1，即有两个数列。19作为中项的数列只有18，19，20和20，19，18，也有两个数列。3做中项的数列有2，3，4组成的两个等差数列和1，3，5组成的两个等差数列。同理18做中项的数列也有四个等差数列，找中项以此类推，很容易求出本题的答案是180个。
例5.三个人坐在一排8个座位上，若每人左、右两边都有空位，那么共有多少种不同的排法？
[分析]如果我们的思维定势在如何按题中的要求把三个人排在一排8个座位上，问题是很难入手解决的。不妨把座位理解成凳子，让这三个人每人背上一个凳子，然后插入5个凳子的4个空中（不包括两边），即有，=24种。体现了排列组合中的捆绑思想，但我们这里所说的捆绑是把不同对象进行捆绑。
例6.12块糖分给3人吃，每人至少能分到一块糖的分法有多少种？
[分析]因为糖是相同的，只需考虑糖的个数。第一种方法是，如果糖的个数较少时，可以先给3人每人一快糖，然后再分配。但是本题是12快糖，分起来仍然很麻烦。为此还得变换思维方法，只要在12个糖之间11个空（不包括两边），插入2根筷子就能分成每份至少有一块糖的3份，即易得12块糖分给3人吃，每人至少能分到一块糖的分法有求 种。
应该指出的是，上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一问题有时会有多种方法，这就需要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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