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引导解题反思 发展数学思维
作者：陈菊英
（一）正确对待初中学生解题错误
1.初中学生解题错误的原因。
（1）小学数学的干扰。在初中一开始，学生学习小学数学形成的某些认识会妨碍他们学习代数初步知识，使其产生解题错误。例如，在小学数学中，解题结果常常是一个确定的数。受此影响，学生在解答下述问题时出现混乱与错误。原题是这样的：礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前1排多1个座位，第2排有几个座位？第3排呢？设m为第n排的座位数，那么m是多少？求a=20，n=19时，m的值。学生在解答上述问题时，受结果是确定的数的影响，把用n表示m与求m的值混为一谈，暴露出其思考过程受到上述干扰的痕迹。
学生习惯于用算术解法解应用题，这会对学生学习代数方法列方程解应用题产生干扰。例如，在求两车相遇时间时(甲、乙两站间的路程为360km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶48km，一列快车从乙站开出，每小时行驶72km。两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？)列出的“方程”为x= 。由此可以看出学生拘泥于算术解法的痕迹，而初中需要列出48x+72x=360。
（2）初中数学前后知识的干扰。随着初中知识的展开，初中数学知识本身也会前后相互干扰。例如在学有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而3－7中7前面的符号“－”是减号给学生留下了深刻的印象。紧接着学习代数和，又要强调把3－7看成正3与负7之和，“－”又成了负号。学生不禁产生到底要把“－”看成减号还是负号的困惑。这个困惑不能很好地消除，学生就会产生运算错误。总之，这种知识的前后干扰，常常使学生在学习新知识时出现困惑，在解题时选错或用错知识，导致错误的发生。
2.教师正确对待初中学生解题错误的态度。对学生的错误，教师应将惧怕心理和严厉态度转变为承受心理和宽容态度。因为数学学习实际上是不断地提出假设、修正假设，使学生对数学的认知水平不断复杂化，并逐渐接近成热的过程。从这个意义上说，错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试，它只能反映学生在数学学习的某个阶段的水平，而不能代表其最终的实际水平。
学生在教师教学过程中学到的不仅仅是正确的结论，而且领略了探索、尝试的过程，这对学生的解题过程会产生有益的影响，使学生学会分析，自己发现错误，改正错误。教师具备这样的承受心理与宽容态度，才会耐心地帮助寻找学生解题错误的原因，并做出适当的处理。
（二）积极引导学生对自己的思考过程进行反思
这是让学生在解题活动结束后尽力去回忆自己从开始到结束的每一步心理活动，分析：其中走了哪些弯路，碰到哪些问题；为什么会走这些弯路，为什么会有这些问题，有没有规律性经验可以吸收；我的思路与教师或同学的思路有什么不同，其中的差距是什么，其原因是什么；自己在解题的过程中有没有做过调整，有没有对自己的思维前景做过预测，这些调整与预测发挥了怎样的作用等等。
例如：已知 和同解，求(a+b)3的值。这是笔者给甲学生出的一道题，当时学生已学完解方程组的知识，并开始学幂运算的知识。
以下是他的“解题记录”：
①(阅读问题)方程组和方程组同解，要求(a+b)3的值。
②要是能把a和b都求出来，我就能计算出(a+b)3的值了，而a和b的值大概能从方程组中解出来。
③呃……方程组同解，也就是两个方程组的解相同，我先解哪个方程组呢？ 呃……第2个方程组未知数少一点，就解第2个吧!
④(埋头计算)唉!x=- 是什么？好像没见过，我这样做肯定不对!(分式的知识没有学过，所以不认识。)
⑤(再看看原题)方程组和方程组同解，是什么意义呢？也就是有这么一对已知的x和Y，它们既能满足第1个方程组，也能满足第2个方程组，嗨！不就是它们同时满足4个方程吗!有了!它们一定是方程2x+3y = 5和方程x＋y=2的公共解。
⑥对!我只要解方程组，把x和Y解出来，再把它们代入另外两个方程，就可以把a和b求出来，我会做了!
⑦(动笔开始计算)，很快算出了正确答案。
⑧老师，这道题我做完了。
这道题甲学生花了12分钟的时间解完(笔者一直注意他解题的过程)。
以下是师生合作进行反思的记录：
①师：在解这道题的过程中你遇到了什么困难？
②生：这道题只要能求出a和b即可求出解，而a和b是由这两个方程组决定，它们同解，于是我便想到先求出其中一个方程组的解，然后把它们代入另一个方程组中，发现方程组 中的未知数较少，于是选择从它入手，可解出了一个我不认识的式子x=- ，我感觉做不下去。
③师：你是怎样克服这个困难的？
④生：我重新读题，反复思考方程组同解这句话是什么意思，我从方程组的解的定义开始思考，明白也就是有一组x和y能同时满足这4个方程，从而这一组x和y就是的解，接下来我就解出该题了。
⑤师：从中你能总结一些解题经验吗？
⑥生：我一开始的想法是受前面解题思想的影响，有点思维定势。看来，做不下去时再回到题目上来、从原始定义开始思考是解题的好方法。
教师千万不要小看学生对自己思考过程的反思，因为这是一种元认知能力的培养，这是一种学会学习的能力的培养，是一种学习潜能的培养，是可持续发展的人的素质的培养，是数学教学贯彻素质教育的重要体现。
（三）积极引导学生对解题的结果进行反思
著名数学教育家波利亚在他的怎样解题表的回顾环节对此进行了精彩论述，比如：你能检验这个结果吗？你能检验这个论证吗？你能以不同的方式推导这个结果吗？你能一眼就看出它来吗等。学生还要在数学作业或数学试卷发放后，主动认真地反思自己做错的原因，是自己粗心大意，还是自己对某部分知识不理解，还是其它什么原因，要总结其中的经验教训，并能保证下次不再犯同样的错误。
（四）积极引导学生对解题中涉及的数学思想方法的反思
数学思想方法没有独立存在形式，往往蕴涵在具体的数学知识和数学活动之中。它的学习要靠教师的提示，更要靠学生在长期的数学学习过程中自己去领悟、吸收和运用。在数学活动中，总是要涉及数学思想方法的，因此学生在数学活动结束后还要进行如下的反思活动：我的思维活动中运用了哪些数学思想方法？它们是如何起作用的？这样的思想方法我以前在哪些地方用过？现在的运用和过去的运用有何区别和联系？我可以从中吸取什么样的规律？我对这些数学思想方法有了哪些新的认识？我还能把它应用到什么情景中去？比较同一题的几种解法，总结它们所应用的数学思想方法有什么不同等等。
以下是笔者在课堂教学中的一例。
求证：任意一个大于23的自然数a都可以表示为若干个5和7之和。
解：当a=5k (∵5k﹥23 ∴ k≥5)时，a可以表示为k个5的和。
当a=5k+1时，a=5(k－4)+21=5(k－4)+3×7，a为k－4个5和3个7之和。
当a=5k+2时，a=5(k－1)+7 =5(k－1)+1×7，a为k－1个5和1个7之和。
当a=5k+3时，a=5(k－5)+28=5(k－5)+4×7，a为k－5个5和4个7之和。
当a=5k+4时，a=5(k－2)+14=5(k－2)+2×7，a为k－2个5和2个7之和。
讲解完题目后，学生都点头表示领会了(刚开始他们不知道如何思考)。笔者及时提示学生，这儿我们运用了一种重要的数学思想方法——分类的思想方法，然后笔者就让学生自己去感悟、体会。几分钟后，笔者请一个同学来描述一下他对这一思想的认识。学生D很自信的说，“就是对一大堆数，我们可以先根据一个标准把它分成几个小堆，然后再研究每个小堆。” 笔者及时的表扬了他。笔者问大家：“你们在其他什么地方运用过这种思想”，学生们纷纷举手回答，这说明学生对这一思想方法有了一些体会和认识，并能自觉或不自觉的运用它。
如果说在小学阶段，学生开始在教师的知道下有了回顾自己的思考过程和初步分析自己思维过程中得与失的经历，那么，在初中阶段，应着重培养学生对数学学习活动经验的反思和条理化的学习反思能力。为此，教师可以在教学过程中多问：这个成功的方法还能够在哪些情境下使用？需要做哪些调整？这些数学知识和方法体现哪些基本的数学思想，还有哪些内容也体现了这些基本的数学思想？这个问题之所以没有得到解决，是自己的哪方面因素造成的，自己要做哪方面的努力等等。我们既不可错过提高初中学生数学学习反思能力的机会，也不可进行拔苗助长式的训练和提出不切实际的要求。
参考文献：
[1]熊川武.反思性教学[M].上海：华东师范大学出版社，1999．
[2]段训明.增强反思意识，优化思维品质[J].数学通报，2003，（6）．
[3]涂荣豹.试论反思性数学学习[J].数学教育学报，2000，（11）．
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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