首页 -> 2008年第5期
导数在高中数学解题中的运用分析
作者：冯国东
[关键词]导数 高中数学 不等式
导数是微积分的初步知识，同时也是新教材的新增内容，是研究函数、解决实际问题的有力工具，在近年的高考中已占有突出的地位，是高考和各地模拟考试的热点，2006年以及2007年全国各地高考试卷中均有与导数有关的综合问题。从不同的角度对导数知识，灵活考查了综合利用所学知识解决数学问题的能力。导数与不等式、方程、解析几何、数列、函数等其他知识的交汇进行命题，考查应用数学知识解决综合问题的能力已成为近年来高考的一大亮点，一直是高考命题的热点与焦点。因此，在复习时要增强运用导数知识解决数学问题的意识。
（一）导数在求函数最值中的应用
高中函数的最值问题是高中数学中的一个重点，也是一个难点，在导数引入高中课本以前，求函数最值的方法就有很多种，但是导数引入高中课本后，对很多求最值类型的题目不仅多了一种解题的方法与思路，而且更是解决问题的简便方法之一。
由于最值问题中二次函数的最值比较典型，本文就以导数在求二次函数最值中的应用为例。在大部分高考题目中，二次函数的区间最值是指二次函数在某个特定区间上的最大（小）值，这类题往往含有参数，是高考的热点与难点。如果用数形结合的思想和方法来解答，则十分麻烦，但利用导数来解答，则简洁明了。导数的作用主要是判断函数在此区间上的单调性与函数的极值点，解题的关键在于考察二次函数的极值点与区间的相对位置关系。
例1：（2002年全国高考题）已知函数f(x)=ln(1+x)-x，求f(x)的最大值。
像这种比较特殊的复合函数求最值，运用其他的方法一般比较复杂，也很难找到突破口，如果用导数的方法就显得相对比较简单了，但是需要注意的是这类函数求最值问题一般需要先求出其定义域。
解：f(x)的定义域为：x∈（-1，-∞）
求导得：f′(x)=-1
令f′(x)=0得x=0
当-1＜x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时f′(x)＜0，
又f(0)=0
所以当且仅当x=0时，f(x)有最大值，即：f(0)=0。
（二）利用导数判断函数的单调性
在导数被引进高中数学课本以前，判断函数的单调性最常规的方法就是定义法，但是定义法一般常常用来判断一些简单函数的单调性，遇到稍微复杂一点的函数在利用定法判断的时候比较繁琐。导数引进以后就可以尝试用导数来判断函数的单调性了。
利用导数判断函数单调性的基本原理就是，针对一个函数f（x），如果它的导数f′(x)在区间[a，b]上大于0，则函数f（x）在区间[a，b]上是单调递增的，否则则是单调递减。
例2 ：已知函数f（x）=x2eax(a≤0)，讨论f（x）的单调性。
解：f′(x)=x(ax+2)ex
1. 当a时，令f′(x)=0，得x=0，
若x>0，则f′(x)>0，则f（x）在（0，+∞）单调递增；
若x<0，则f′(x)<0，则f（x）在（-∞，0）单调递减。
2.当a<0时，令f′(x)=0，得x=0或x=-2/a，
若x<0，则f′(x)<0，则f（x）在（-∞，0）单调递减；
若0
若x>－2/a时，则f′(x)<0，则f（x）在（0，+∞）单调递减。
在解答本类型题目的时候需要注意两点：一是要掌握常见函数的导数的求法，尤其是复合函数导数的求法需要重视，二是在说明函数的单调性质时一定要指明是在哪个区间上具有什么样的单调性。
（三）利用导数证明不等式
函数与不等式的结合是高中数学中比较典型的题目，尤其是近年来在命题宗旨越来越趋向综合化的命题指导思想模式下，函数与不等式的结合愈加紧密。根据以往很多省份的高考试题研究结果，很多不等式的证明几乎都可以利用导数来解决。
例3：已知函数f(x)=x(x-a)(x-b)，其中0＜a＜b，设f(x)在x=s，x=t取到极值，其中s＜t，求证：0＜s＜a＜t＜b。
证明：首先求f（x）导数，得：
f′(x)=3x2-2(a+b)x+ab
由f（x）在x=s和x＝t取到极值，知：
s，t是二次方程f′(x)=0的两实根，
又：f′(0)=ab＞0
f′(a)=a2-ab=a(a-b)＜0
f′(a)=b2-ab=b(b-a)＞0
即f′(x)在区间（0，a）（a，b）内分别有一个实根，由s＜t，s，t都是方程f′(x)=0的两实根，得出：0＜s＜＜a＜t＜b。
以上是用导数将二次函数“降次”转化为研究二次方程在(0，a)与(a，b)存在实根的问题，结合实根分布理论，运用数形结合的思想，实现了不等式的证明。当然，还有很多利用导数证明不等式的时候需要用到结合利用函数的单调性。
（四）利用导数来解决切线问题
f′(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线的斜率，其切线方程可以表示为y-f(x0)＝f′(x0)（x-x0）。近几年来，随着高考对导数知识考查力度的不断加大，关于高次曲线、分式曲线、根式曲线、指数曲线、对数曲线、三角曲线、圆锥曲线的切线问题逐渐进入高考试卷，成为高考试卷中一道亮丽的风景线。导数的几何意义为这些用传统方法难以求解的切线问题提供了新思路、新方法、新途径，拓宽了高考的命题空间。下面结合某些高考题或高考模拟题，介绍导数在解决高中切线问题的基本方法与思路。
例4 ：（2006年安徽高考题）若曲线y=x4的一条切线m与直线x+4y-8=0垂直，求切线m的方程。
解：本题中切线m的斜率根据直线m与直线x+4y-8=0 垂直很容易得出，知道直线m的斜率后要想求出它的方程，只需要找出一点就行了。
因为直线x+4y-8=0的斜率是－1/4，所以直线m的斜率是4，因此，y′=4x3=4，
所以x=1，故切点为：（1，1）。
于是所求的切线m的方程为y-1=4(x-1)，即：4x-y-3=0。
由于篇幅限制，关于导数在分式曲线、根式曲线、指数曲线、对数曲线、三角曲线、圆锥曲线的应用再次就不再累述，但是基本的原理与思路都是相同的。
本文重点探讨了导数在求函数最值，在证明不等式，在求函数单调性以及在切线问题中的应用，事实上，导数的应用范围还远远不止这么多，例如在向量中的应用，在解析几何与立体几何中都具有重要的应用。关键是由于导数内容是安排在高中数学的最后一册，而平时很多学生在解答题目的时候已经习惯用比较常规的定势思维来解决这些问题，尤其是在考试那种氛围下更是难想到用导数的方法来解题，这就需要在平时中多加训练。
参考文献：
[1]范运灵.高中导数的交汇问题[J].考试，2007，(3).
[2]何勇波.利用导数求二次函数的区间最值[J].数学教学研究，2006，(9).
[3]李昭平.例谈高考中切线问题的七大类型[J].考试，2006，(11).
[4]扬莉.导数证明不等式[J].数理天地，2006，(11).
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