首页 -> 2008年第5期
数学知识在物理教学中的应用
作者：杜丽华
问题一：如图所示，有一曲臂杠杆A1O1B1，问若利用此杠杆在B1点吊起重物G，在A1点的什麽方向上用力最省力？
这个极值问题（对初中学生来说）看起来很棘手，但是它所包含的基本原理和解决方法却是非常简单的，是课堂上和日常生活中非常熟悉和经常用到的。在解决这个问题之前，先看几个大家熟悉的问题。
问题二：如图所示的压水机，在平时压水时，你在手柄上加以什麽方向的力最省力？
经验告诉我们，这个方向不是A2竖直向下，而是沿A2O2的垂直方向，斜向右下方用力最省力。
问题三：如图所示，利用杠杆A3O3B3要撬起重物G，在A3点的什麽方向上用力最小？
实践表明，沿与O3A3垂直的G方向斜向左下方用力最省力。
问题四：如图所示，利用杠杆A4O4B4要吊起重物G，在A4点什麽方向上用力最省力？（杠杆转动以后最省力的方向总是与A4O4相垂直，即总是以O4为圆心，以O4A4为半径的圆的切线方向）。
从以上三个问题可以看出，其共同点为：垂直于支点与动力作用点连线的动力方向总是最省力的方向。为什么呢？下面以问题四为例来研究一下。在杠杆平衡条件“动力×动力臂=阻力×阻力臂”中有四个变量因子共同组成一个杠杆平衡系统。上述几个问题的实质是在限定阻力×阻力臂为定值的前提下讨论动力与动力臂之间的反比例关系。因此，找最小动力的问题就转化为最长动力臂的确定。那么，什么方向上的动力臂最长呢？
分析1[归纳法]：不妨从A4沿任意方向（除去与A4O4重合与垂直的方向）做出两条不同的动力作用线，然后再分别做出其动力臂O4M′与O4M′′，可以看出O4M′、O4M′′与A4M′、A4M′′分别同A4O4构成了以O4A4为斜边的两个直角三角形，这时动力臂O4M′、OM′′恒小于A4O4长，当从A4点沿与A4O4垂直方向引动力作用线时，动力臂就是A4O4本身，当动力作用线方向与A4O4重合时显然动力臂最小，为零，由此可以推出，在A4点无论沿什麽方向做动力作用线，动力臂的长总小于或等于A4O4，而且仅当动力作用线垂直于A4O4时取等号，以A4O4为动力臂的动力作用线方向为最小动力方向，即A4O4的垂直方向。
分析2[演绎法]：动力臂是从O4向经过动力作用点A4的直线——动力作用线L所引的垂线段，它总小于或等于O4A4（当且仅当L垂直于O4A4时取等号），因此以A4O4为动力臂时，即动力作用线方向垂直于A4O4时所需动力最小。
通过前面的分析，可得到以下几个启发：
1.物理教学离不开物理实验与实践，教学中要理论联系实际，提高学生应用理论解决实际问题的能力，并从中探索规律性东西的技能技巧。其次，许多看起来十分复杂的问题所包含的原理和方法往往十分简单。因此，在教学中要注意培养学生的观察类比和逻辑推理、理论概括能力。
2.物理教学中，习题的讲解要具有典型性，要精选那些既与日常所见到的现象联系紧密，又能包涵基本原理与方法的问题。
3.解题过程中，思路要开阔，要善于运用数学与其他学科的知识方法来帮助解决问题，培养学生跨学科综合运用知识的技能技巧。同一问题在讲解时要尽量从多个角度、运用多种方法去分析，通过一题多解，训练学生的发散性思维。
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