首页 -> 2008年第6期
浅谈感应电动势计算公式的适用范围
作者：沈 锐
（一）关于E=△φ/△t
严格地说，E=△φ/△t不能确切反映法拉第电磁感应定律的物理含义。教材中关于法拉第电磁感应定律是这样阐述的：电路中感应电动势的大小跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。而表达式△φ/△t所表示的物理意义应为：磁通变化量与发生此变化所用时间的比值，这与磁通变化率是不能等同的，只有在△t →0时，△φ/△t的物理意义才是磁通量的变化率。由于中学阶段没有涉及微积分，故教材用E=△φ/△t来表示法拉第电磁感应定律是完全可以的。但必须清楚：用公式E=△φ/△t求得的感应电动势只能是一个平均值，而不是瞬时值。因为△和△t都是某一时间段内的对应量而不是某一时刻的对应量，所以直接用此公式求得的E为△t时间内产生的感应电动势的平均值。
（二）关于E=BLvsinθ
公式E=BLvsinθ是由公式E=Δφ/Δt推导而来。此公式适用于导体在匀强磁场中切割磁力线而产生感应电动势的情况，实质是由于导体的相对磁力线运动（切割磁力线），使回路所围面积发生变化，使得通过回路的磁通量发生变化从而产生感应电动势。可以认为公式E=BLvsinθ 所表示的物理意义是法拉第电磁感应定律的一种特殊情况。用此公式求得的E可为平均值也可为瞬时值：若v为某时间段内的平均速度，则求得的E为相应时间段内的平均感应电动势；若v为某时刻的瞬时速度，则求得的E为相应时刻的瞬时感应电动势。一般用此公式来计算瞬时感应电动势。
（三）例题分析
如图1，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r, 导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两道轨间距为L。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt ( k为常数，且k＞0)，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0时刻，金属导轨紧靠P、Q端，在外力作用下以大小为a的恒定加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=T时刻回路中的感应电动势大小。
1.易错解法1：t=0时穿过回路的磁通量：φ1=0
t=T时穿过回路的磁通量：φ2=BS=kT.aT2/2.L= ka LT3/2
T时刻回路中的感应电动势：E=Δφ/Δt=(φ2-φ1)/(T-0)=kaLT2/2
错解分析：题目要求计算t=T时刻的瞬时感应电动势，而公式E=Δφ/Δt只能用于计算平均感应电动势，所以上述解法所得结果为0—T时间段内回路的平均感应电动势而不是T时刻的瞬时感应电动势。
2.易错解法2：E=BLvsinθ= kT.L.aT.sin90o=ka LT2
错解分析：此解法求得结果为T时刻单由导体切割磁力线而产生的瞬时感应电动势大小，而忽视了B也是变化的。在T时刻B是有变化趋势的，这个变化趋势导致回路磁通量有一个变化趋势，从而要产生一个感应电动势。上述解法正是忽视了感应电动势导致错误。
3.正确解法：T时刻由于金属杆切割磁力线而产生的感应电动势：
E1=BLvsinθ = kT.L.aT.sin 90o= kaLT2
T时刻由于B变化而产生的感应电动势：
E2=Δφ/Δt=S.ΔB/Δt=aT2/2.L.(kT-0)/(T-0)= kaLT2 /2
由楞次定律可知不管B的方向是垂直桌面向里还是向外，E1、E2方向相同。所以T时刻回路中的感应电动势：
E=E1+E2= 3kaLT2/2
[思路分析]本题给出的装置，若B不随t变化，当金属杆做切割磁力线运动时则金属杆中有感应电动势产生；若金属杆静止不动，磁场随时间变化则对金属杆和导轨构成的回路磁通量随时间变化，回路中也有感应电动势产生。现金属杆在随时间变化的磁场中做切割磁力线运动，任何时刻，金属杆都在做切割磁力线运动；任何时刻，磁场的变化都引起回路磁通量的变化。所以，两种因素产生的感应电动势同时存在，回路中的感应电动势应包括这两部分电动势，可分别求得：对于由金属杆做切割磁力线运动而产生的感应电动势E1可将T时刻的B、v值代入公式E=BLvsinθ求得；对于由B变化而产生的感应电动势E2是由公式E=Δφ/Δt间接求得的。这是因为本例中的B是均匀变化的，仅由均匀变化的磁场产生的感应电动势是恒定的，所以T时刻由B均匀变化而产生的感应电动势在数值上等同于：金属杆静止不动，保持回路面积为T时刻时的回路面积不变即S= aT2/2.L，B由0均匀变化到kT过程中产生的感应电动势的平均值。这个平均感应电动势可由公式E=Δφ/Δt求得。
（四）小结
1.公式E=Δφ/Δt适用于直接计算某时间间隔内感应电动势的平均值，也可间接用于计算由均匀变化磁场产生的感应电动势的瞬时值。
2.公式E=BLvsinθ一般适用于计算导体在匀强磁场中切割磁力线而产生的感应电动势的瞬时值。