首页 -> 2008年第7期
圆锥曲线中的变式教学
作者：梁长春
题型一：轨迹问题
[例1]已知P为椭圆上任意的一点，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，交F1P于点M，则点M的轨迹为______。
分析：本题主要考查椭圆的第一定义，及角平分线的性质。
解：根据角平分线性质可知：｜PF2｜=｜PM｜
又由椭圆定义可知：｜PF1｜+｜PF2｜=2a
∴ ｜F1M｜=2a，则点M的轨迹为：以F1为圆心，2a长为半径的圆。
变式1：已知P为椭圆上任意的一点，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹为______。
解：根据角平分线性质可知：
｜PF2｜=｜PN｜，｜F2M｜=｜MN｜
又由椭圆定义可知：｜PF1｜+｜PF2｜=2a
∴｜F1N｜=2a，连接OM，则OM为△F1F2N的中位线，∴｜OM｜= ｜F1N｜=a，则点M的轨迹为：以O为圆心，a长为半径的圆。
变式2：已知P为双曲线上任意的一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹为______。
解：根据角平分线性质可知：
｜F1M｜=｜MN｜，｜PF1｜=｜PN｜。
又由椭圆定义可知：｜PF2｜-｜PF1｜=2a
∴｜F2N｜=2a，连接OM，则OM为△F1F2N的中位线，
∴ ｜OM｜= ｜F2N｜=a，则点M的轨迹为：以O为圆心，a长为半径的圆。
习题变式教学不仅能培养学生细心地观察事物，严谨的态度和辨别是非的能力，还能给开发学生发散性思维提供良好的思维空间。
题型二：最值问题
[例2]已知椭圆 + =1内有一点P(1，-1)，F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M的坐标为______。
分析：本题主要是利用椭圆的第二定义，求最值。
解：如图所示，右准线l的方程为x=4，而l= ，由第二定义得 =e= ，∴2|MF|=2·
|MH|=|MH|，∴|MP|+2|MF|=
|MP|+|MH|≥P到l的距离，过P作|PH|⊥l交椭圆于M，易求得M的坐标为：（ ，-1）。
变式1：已知椭圆 + =1，左、右焦点分别为F1，F2，B(2，2)是其内一点，M为椭圆上的动点，则|MA|+|MB|的最大值与最小值分别是______。
分析：显然B为椭圆内一点，要求折线|MA|+|MB|的长度，可通过椭圆的第一定义进行线段的转化，利用两点距离最短进行求解。
解：如图所示，设椭圆的左焦点为A1，连接BA1并延长交椭圆于M1，则M1是使|MA|+|MB|取得最大值的点。
事实上，|MA|+|MB|=2a-|MA|+|MB|=10+|MB|-|MA|
∵ -|A1B|≤|MB|-|MA1|≤|A1B|，
要实施“变式”教学三步曲，必须做到：
1.课前预习，强化自学。在例题、习题的变式教学中，预习是必不可少的重要环节，是提出疑问、独立思考、提高分析和解决问题能力的环节。让学生带着疑问学习，是预习的根本目的，通过对新课的全面预习，才能提高学生的自学能力，真正地把学习的主动权还给学生。做好预习笔记，正确引导学生带着问题课前预习，巧立名目，精心设疑，激发学生的学习兴趣和主动性。
2.课堂初试牛刀。课堂教学是学生得以“解惑”的主要渠道，是教师与学生进行沟通、传播知识的重要途径，是例题变式教学的关键。学生经过预习，新课内容已经胸有成竹，教师在教学中起好主导的作用，循循善诱，引导学生，在错综复杂的等量关系、千头万绪的理论辩证中寻觅，总结科学的解题经验。
3.练习变式，借题发挥。例题毕竟有限，要进一步提高“变”的魅力，练习题正是学生用武之地，练习变式是例题变式教学的最后环节。将练习题自由演变，一题多变，借题发挥，提升学生的思维能力和解题能力，巩固记忆，完善自身的应变能力、应试技巧，使整节课前课后贯通，紧密相连，形成一个知识网络体系。
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