首页 -> 2008年第7期
善变才能求发展
作者：周 庆
[例题]如图所示，点A是线段BC上一点，分别以AB、AC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE，连接BE、CD。
求证：BE=CD
证明：∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60O，
∴∠DAE=60O，
∴∠DAB+∠DAE =∠EAC+∠DAE=120O
即∠BAE=∠DAC
在△ADC和△ABE中
∵AD=AB，∠BAE=∠DAC ，AE=AC
∴△ADC≌△ABE
∴BE=CD
在教学本例时，笔者进行如下三个方面的变式教学。
1.新课程标准新增加了“图形与变换”，这已成为中考的新贵，命题的热点。教学中利用《几何画板》对原图进行旋转变换改变题目的条件，引导学生对题目进行探究。
旋转变式1：将图中的△ABD绕A点顺时针依次旋转到图二中所示的各种位置时，上述结论是否成立。若成立请说明理由。
类比例题的证法，除D、Ｂ两点分别在ＡＣ、ＡＥ两种情况外，只要设法证出∠BAE=∠DAC，进一步得出△ADC≌△ABE，即可证出结论仍成立。
旋转变式2：如图三所示，设例题中的线段AD和BE、CD和AE分别交于M、N两点，请找出图中有几对三角形是旋转图形（旋转后能重合的图形）。
分析：由例题证明可知：△ABE绕A点顺时针旋转60O。即△ADC重合，这是一对旋转图形。
∵△ADC≌△ABE
∴∠ADC=∠EBA，又AB=AD，∠DAB=∠DAE=60O
∴△AMB≌△AND, △AMB绕A点顺时针旋转60O即于△AND重合。同理△EMA绕A点顺时针旋转60O即与△CNA重合。
图中共三对旋转图形。
2.由于开放型问题对于培养和考查学生的思维能力与创新能力具有重要的作用，因而在数学教学和中考题中经常出现。可将例题改成一个结论开放的题目进行教学发展学生的探究能力。
开放变式1：如图四所示，设例题中的线段AD和BE、CD和AE分别交于M、N两点。连结MN,由上述条件请你能写出五个正确的结论。
分析：本题可通过对问题进行观察、思考、推理，得到下列结论：BD∥AE；AD∥CE；MN∥BC；△AMN是等边三角形；△ADC≌△ABE；△AME≌△ANC；△AMB≌△AND；△ADC和△ABE是旋转图形；BE=CD； = + ；△DBM∽△AEM；S△AND : S△ENC=AB : AC等等。
开放变式2：如右图所示，设例题中的线段AD和BE、CD和AE分别交于M、N两点，CD、BE相交于P点。请从图中分别找出两对全等三角形和两对相似三角形并加以证明。
分析：图中△AME≌△ANC，△AMB≌△AND这两对全等三角形的证明，需例用△ADC≌△ABE进一步进行证明；而图中存在的相似但不全等的三角形有11对，分别是：
“A”型图：△DMN∽△DAC, △EMN∽△EBA，△PMN∽△PBC，△BMA∽△BEC，△CAN∽△CBD；
“X”型图：△DBM∽△AEM，△DAN∽△CEN，△DMP∽△BMA，△EPN∽△CAN；
“斜A”型图：△DMP∽△DNA, △EPN∽△EAM；
在寻找相似三角形的过程中，不仅提高了学生识图能力，而且分类讨论思想显示出了它的威力。
3.“探究性学习”是初中数学课程新增的内容，已成为课程改革的一个亮点，为适应新课改，探究性学习试题也形式多样，解法灵活。把此例改编为一探究性题目，更能发展学生的学习潜能，提高综合应用数学知识的能力，培养创新精神。
探究变式：如图六，已知，点A是线段BC上的任一点（点A与点B、C不重合），分别以AC、AB为边在直线BC同侧作等边△BAD和△CAE，BE与AD交于点M，CD与AE交于点N，连结MN若BC的长为10cm，当点A在线段BC上移动时，是否存在这样的点A，使线段MN最长？若存在，请确定点A的位置，并求出MN的长；若不存在，请说明理由。
分析：设MN=x，AB=y，在前面的分析讨论中，易证△AMN是等边三角形，MN∥BC，因此△EMN∽△EAB
∴当x=5cm时，y最大值=2.5cm
因此，当点A是BC的中点时，线段MN的最大长度是2.5cm。从对本例的变式教学中，笔者体会到，一定要加强对新课标的学习，对删减、增添的内容及教学要求做到胸有成竹，构建科学实用的新课程下的知识体系；重视知识间的内在联系，加强对学生知识的整合能力的培养，提高综合应用知识解决问题的能力；要立足课本，以基本知识、基本方法、基本技能为主，多层次、多角度、立体化地处理教材、应用教材，对支撑学科知识的重点问题，要多引导学生学会融会贯通、举一反三；把知识穿成线、织成网，横向联系，纵向发展，在理性思维中培养学生综合运用知识的能力，让学生在变式教学中发展各种能力，教学就能做到有的放矢，减轻松学生的负担，提高教学效益。
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