首页 -> 2008年第7期
跳出数学教学思维定势
作者：刘廷秀
人走路时自然左右摆臂，那是人体小脑的思维定势，同样大脑也不例外。解决数学问题的过程是人的大脑的复杂劳动过程，也很容易陷入一种习惯性的思维方式并受它的束缚。在解题时墨守成规，因循守旧，有时对题中的条件考虑不周全。有位哲学家说过：“数学是书写宇宙的一支笔”，宇宙何其大，所以学习数学要求有开阔的思维，脱离定势。
学习几何可锻炼一个人的思维，解答数学题最重要的是能培养一个人的钻研精神。初中学生在学习几何知识的过程中往往受到标准图形的消极影响，使思维变得呆滞。在讲初中几何时有这样一个题目“要求学生画出钝角三角形的三条高线”，结果有三分之二的学生只会画出一条垂直于水平面的高线。这表明，由于在教学过程中多次使用同一类型的程序或方式、方法，使注意力只着眼于概念所包括的对象的偶然的非本质的属性上，从而对智力活动的形式产生消极作用。
伽利略曾经和一群小学生出过这样一道趣题，有A、B、C三匹马，A马1分钟可绕马场跑2圈，B马跑3圈，C马跑4圈，让A、B、C三匹马同时出发，问至少几分钟后三匹马在起点相遇？孩子们有的脱口回答12分钟，有的想了一会说4分钟，还有的说永远不可能相遇的。伽利略笑了，孩子们都跳进了他的陷井。答案是1分钟！这正是思维定势的陷井。
怎样跳出思维定势，下面仅举几例，请同学们注意是如何化解思维定势的。
（一）化局部为整体
如图1：在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，问地毯长度至少需要多少米？
分析：一般的学生会先求出铺在各小台阶地毯的长度，然后求和。但是此题并没有给出阶数和每个台阶的宽度和高度，更无从下手。
解决此定势的方法是化局部为整体，即着眼整体。由图可以看到看到所有的小台阶的高度之和正好为AC之长，宽度之和即为BC之长，题目所求即为AC＋BC之长，问题就解决了。
（二）运用逆向思维
逆向思维是指与一般思维方向相反的思维方式。有时遇到新的复杂问题时，用常规思维方式解决不了，改变一下思维方向，会使问题得到有效的解决，有时还会收到意想不到的效果。
[例1]求（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）的个位数字。
分析：此题若算出数来看个位数字，无疑为笨法。可联系平方差公式，运用平方差公式a2－b2＝（a＋b）（a－b），同学们都会，而逆用（a＋b）（a－b）＝a2－b2，却不是每个学生都能联想到的。下面给出解法：
解：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）
＝（2-1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）
＝264－1
从上可看出216－1 个位数为5。
（三）全面考虑，防止漏解
[例2]甲、乙两站相距360千米，上午九点一刻，一辆慢车和一辆快车分别从两站相向开往对方车站，经过三个小时相遇，已知快车速度是慢车的1.5倍，试问两车在什么时刻相距90米？
分析：要使两车相距90米有两种情况：①相遇前相距90米；②相遇后相距90米；由于受思维定势的影响，对第一种情况都能考虑到，而对第二种情况多数学生容易漏解。
（四）运用非常规思维
[例3]已知关于x的方程x3－ax2－2ax＋a2－1＝0有且只有一个实数根，求a的取值范围。
分析：看到此题后，x较容易先入为主作为未知数来求，求出x后再对a作出讨论，但此方法相当繁琐。若跳出常规思维，把a看作未知数来解，解法就豁然开朗了。
解法：原方程可化为：a2－（x2 ＋2x）a＋x3－1＝0
即［a－（x－1）］［a－（x2＋x＋1）］＝0
可得x ＝a＋1或x2＋x＋1－a＝0
因为原方程有且只有一个数根，所以x2＋x＋1－a＝0必无实根。
△＝1－4（1－a）＜0 得a＜3∕4
通过上述几例，可以看到思维定势是人们的一种“习惯性”思维。数学中的思维应该是无限开阔的，这就要求学生遇到问题时要多角度、多方位地进行思考，学会辨证地思维，既发挥定势思维解题积极的一面，又要跳出定势思维之外，让思维变得更广阔、更立体。
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