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浅谈新课标下高中数学教学中数学文化的渗透
作者：池红梅 毛雪琴
[关键词]新课标 数学文化 历史渊源 数学精神 应用价值
2003年4月颁布的《全日制普通高中数学新课程标准》中将“体现数学的文化价值”作为课程的基本理念：数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。在课程目标中第6条也提到：具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题。
（一）在数学教学中渗透数学文化
由于数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，但不单独设置，要求渗透在每个模块或专题中。所以，笔者认为可以从以下几条主线渗透数学文化的教学：
1.从历史渊源的角度。即有机地结合高中数学课程的内容，在一些模块的教学中选择介绍数学一些分支的起源和发展，让学生对数学发展史上的一些重要事件有所了解，并体会数学在人类社会进步、人类文明发展中的作用以及社会发展对数学发展的促进作用。
2.从数学精神的角度。通过对数学领域重要人物的介绍，让学生发展求知、求实、勇于探索的情感和态度；体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性；提高数学学习的能力。
3.从应用价值的角度。通过对一些模块中所学知识在科技、人文等方面的应用的介绍，让学生感觉到数学并不是枯燥无味的纯理论，体会到数学广泛的应用价值，从而激发学生学习数学的兴趣。
（二）以“集合论”为例分析蕴涵其中的数学文化
如果认真研究新课标，不难发现从必修到选修，几乎每个版块都有值得挖掘的数学文化。比如，在学习集合的同时可以穿插对集合论产生。发展和完善的历程的介绍；在学习算法初步时对我国古代光辉的算法文化特别是《九章算术》做介绍，并且还可以介绍算法在现代计算机技术中的应用；在学习导数时可以介绍微积分与极限思想；学习立体几何时可以介绍非欧几何的产生及拓扑学中有趣的四色问题；学习三角函数时可以介绍它在电视与图象压缩中的应用；学习统计初步时介绍广告中数据的可靠性；学习推理与证明时介绍《几何原本》和公理化思想；学习复数时介绍复数的产生等。下面仅就集合论这个典型问题为例作展开：
1.集合论的历史。集合论被誉为数学大厦的奠基石，于19世纪被德国数学家乔治·康托尔创立。1874年，康托尔在《数学杂志》上提出：“所谓集合，是把我们的直观或思维中确定相互间有明确区别的那些对象（它们叫做集合的元素）作为一个整体来考虑。”他还指出，如果一个集合能和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念, 并定义了集合的并与交两种运算。为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念：两个集合只有当它们的元素之间可以建立一一对应时才称为是等价的，这样就第一次对各种无穷集合按他们元素的“多少”进行了分类。他还引进了可列的概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合称为可列集合。在他发表的第一篇关于集合论的文章中，证明了有理数集是可列的，使数学界感到惊讶，更为惊人的是他还证明了所有代数数构成的集合也是可列的。但不久他证明了实数集合是不可列的。通过这些证明，他建立起被称为“康托公理”的实数连续性公理，同年他又构造了实变函数论中著名的“康托三分集”，给出测度为零的不可列集的一个例子。由于实数集是不可列的，而代数数集合是可列的，于是他得到了一定有超越数存在的结论，而且超越数大大多于代数数，他的这一成果在当时的数学界引起了极大的轰动。由康托首创的具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，他从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改变了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，极大地推进了数学的发展进程。
同其它新生事物一样，康托的理论并不是完美无缺的。1902年，罗素提出了罗素悖论。罗素构造了一个不属于自身即不包含自身作为元素的集合R。现在问R是否属于R，R如果属于R,，则满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾。这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了，以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。绝对严密的数学陷人了自相矛盾之中，这就是数学史上的第三次数学危机。危机产生后, 众多数学家投人到解决危机的工作中去，1908年, 策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段公理化集合论。
2.康托展现给我们的数学精神。康托的工作给数学的发展带来了一场革命，他的理论超越直观，解决了许多悬而未决的问题，但同时也颠倒了许多前人的想法。它一问世，便遭到了一些同时代学者的反对和嘲笑。著名数学家克莱因（Klein）、法国大数学家庞加莱（Poincare）也对康托的观点持否定态度。在种种非难和攻击面前，康托的精神受到严重压抑，常常陷入高度紧张和用脑过度的状况。1884年, 他患了深度精神抑郁症，1887年才恢复工作，他的晚年是在病痛折磨中度过的。1918年1月6日，这位伟大的数学家因精神分裂症在一家精神病院里与世长辞。随着时间的推移，康托的创造终于得到了历史的公正评价，许多数学家深为这一理论的作用而感动。
集合论诞生是充满艰辛的，他是康托惨淡经营终生的产物。在那对集合论充满排斥和敌意的环境里，康托为捍卫他自己所创造的超限数和集合论进行了长期的战斗，数学无穷的革命几乎是由他一人完成的。他对自己的理论充满自信，坚信时间会证明一切。康托在超常沉重的精神压力下，饱受了精神病的折磨。他一生笃信宗教，至死都把自己当作上帝的使者，上帝是他力量源泉，也是他理论必然性的最终保证。正是这种不可动摇的信念给了他面对数学史上前所未有的激烈风暴的勇气，去坚定地捍卫他的超穷集合论，使其在充满怀疑和排斥的气氛中得以生存，并最终使超穷集合论成为20世纪科学思想史上最富生命力的伟大创举。
3.集合论的广泛应用。从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年。在这一段时间里, 数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等。集合论在本世纪已逐步渗透到各个数学分支，成为分析理论、测度理论及数理科学中必不可少的工具。在数学研究日益深入展开的今天，集合论愈来愈显示其重要作用，对数学研究产生了巨大的、深远的影响。比如，将集合论引入中医经络范畴，把经络看作一个集合，认为它们是有形的，是由脉管、神经、体液等构成，用集合论诠释中国医学之谜；人力资源是21世纪最宝贵的资源之一，绩效考评在现代人力资源管理中日益重要，而用美国学者扎德创立的模糊集合论可以对绩效进行定量和定性分析，为员工的调动、晋升、加薪、培训等提供科学依据；利用模糊集合理论还可以对医学化学实验进行综合评判，避免常规考试的许多弊端；应用模糊排列图的方法寻找产生仪表板表面褶皱的原因，可以降低仪表板表面褶皱缺陷率；另外，集合语言简洁、表达直观, 集合论的思想方法在中学数学中有着举足轻重的重要作用。从集合论的高度概括中学数学内容，能更好地从整体上把握中学数学的研究对象。而且，用集合论的语言表述有关概念更为简洁。
参考文献：
[1]李凌. 康托与集合论的创立[J]. 考试周刊, 2007,(21).
[2]卢瑞. 集合论简介[J]. 数学爱好者(高一版), 2007,(9).
[3]杨俊生,衣蕾.用集合论诠释中国医学之谜——经络[J].南京中医药大学学报(社会科学版)[J], 2006，(1).
[4]申明金. 利用模糊集合论对医学生化学实验进行