首页 -> 2008年第9期
多边形内角和的探索
作者：危文雨
例如，由北京师范大学出版社出版的义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第四章第6节“探索多边形的内角和”就是一例很好的探索典例。但如何上好这一节课呢？对此，笔者有如下见解和经历。
教材首先给出了一个美丽的中心广场，广场中心的边缘是一个五边形，可以利用多媒体展示出美丽的广场，广场边缘的五边形不停闪烁，随之而出的是一个需要探索的问题：你能设法求出这个五边形的五个内角和吗？
为了让学生自主探索、解决这一问题，笔者首先和学生一起简单回顾学过的三角形内角和的推导过程。
【探索一】三角形的内角和是多少？怎样得来的？利用了哪些已学知识？
学生会很顺利地回答出很多不同的方法，例如：
1.剪下三角形的三个角，拼凑一起形成一个平角，所以内角和为180°，这是需要动手操作的。
2.如上图a，过A点作AD∥BC，则有
∠C=∠2、∠B=∠1 ，
∴∠BAC+∠B+∠C=∠1+∠BAC+∠2=180°
3.如图b，过C点作CD∥BA，则有
∠B=∠2、∠A=∠1 ，
∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°
4.如图c，过B点作BD∥AC，则有
∠A=∠1、∠C=∠2 ，
∴∠A+∠C+∠ABC=∠1+∠2+∠ABC=180°
方法很多，结论只有一个：三角形的内角和为180°，充分利用了前面已学过的平行线的知识解决未知的问题。
【探索二】那么在已知三角形内角和为180°情况下，四边形内角和是多少呢？又怎样得来的呢？
四边形有一些比较特殊的图形：正方形、长方形、平行四边形等，学生往往从特殊的简单易求的开始。因为正方形和长方形的四个内角都是90°，故它们的内角和为90°×4=360°，那么平行四边形呢？
学生往往有两条途径：
1.∵AD∥BC ∴∠A+∠B=180° ∠C+∠D =180°
∴∠A+∠B +∠C+∠D =180°×2=360°
2.连结AC或BD，将 ABCD分成 ABC和 ACD
∵ ABC和 ACD两个三角形的内角和为180°×2=360°，
这两个三角形∠1+∠2+∠B +∠3 +∠4 +∠D刚好是四边形ABCD的四个内角和
∴四边形ABCD的四个内角和为180°×2=360°
那么一般的四边形呢？通过由特殊到一般，学生对上述问题轻易就知道，而且知道怎样利用已学的知识。例如，从刚学过的三角形内角和得出四边形的内角和为180°×2=360°。
【探索三】（重点）：五边形的内角和怎么求呢？通过上面的自主探索，学生探索的积极性、主动性、兴趣都被调动起来，思维也活跃起来，于是出现了各种各样的方法。
1.方法一（图1）：
连结AC、AD，将五边形ABCDE的内角和转变为三个三角形的内角和，即得出五边形的内角和为180°×3=540°，当然连结其他顶点的对角线也可。
2.方法二（图2）：
在AB边上任取一点O，连结OC、OD、OE，则五边形的内角和转变为四个三角形的内角和，但是多了一个平角（∠AOB），所以可用180°×4-180°=180°×3=540°，当然O点在其它边上也行。
3.方法三（图3）：
在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形的内角和转变为5个三角形的内角和，但多了一个周角，所以可用180°×5-360°=180°×3=540°
4.方法四（图4）：
在任何一条边的延长线上取一点。如图4，在BA的延长线上任取一点O，连结OC、OD、OE，则五边形内角和为：
∠EAB+∠B+∠BCD+∠CDE+∠DEA
=（∠1+∠B+∠BCO）+（∠2+∠OCD+∠ODC）+（∠3+∠OED+∠ODE）+∠OAB
（△OBC的三个内角和）（△OCD的三个内角和） （△ODE的三个内角和）平角
-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5）
（△OAE的三个内角和）
=180°×3+180°-180°=180°×3=540°
5.方法五（图5）：
在五边形外任取一点O（这一点不一定要在边的延长线上），如图5，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形的内角和为 三角形 OAB、三角形OBC、三角形OCD、三角形ODE这四个三角形的内角和减去三角形OAE的内角和，即为180°×4-180°=180°×3=540°。
学生的回答真是太精彩了，而且总结出了这一点可在这个五边形所在的平面任何地方：五边形的边上、五边形内、五边形外均可。但学生探索的脚步并未停止，又有同学想出了更简单而且是通用的方法，如图6。
6.方法六（图6）：
连结EC，将五边形ABCDE分成四边形ABCE和三角形CDE，因为四边形的内角和为
180°×2，三角形的内角和为180°都已得出，所以五边形的内角和为：
180°×2+180°=180°×3=540°
探索到这里时，学生很快得出六边形、七边形……n边形的内角和，以及内角和与边数的关系，并得出下表：
通过以上的探索，学生对“多边形内角和”进行了较为深入细致、广泛而有意义的探究，既活跃了课堂气氛，又使学生体会到了学习探索知识的方法和乐趣。学生经历了探索思考的过程后，理解了数学是怎样发展的，他们在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握了基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得了广泛的数学活动经验，增添了学习的信心，体验到了学习的快乐！