首页 -> 2008年第9期
例说把握数学内容的特征
作者：姚 涛
【案例1】
师：你能作出面积是8平方厘米的正方形吗？请同学们相互交流讨论。
师：现在请同学们跟老师一起按照下列步骤操作。
（教师提出挑战性问题，激发学生探索的兴趣，并为探索无理数奠定基础；师生共同活动，培养学生观察、操作能力。操作过程略。）
师：面积为8平方厘米的正方形，它的边长是多少呢？也就是解决（？）2=8问题，它的边长是整数吗？
生1：由于22=4，32=9，因此，它的边长是在2与3之间的一个数，不是整数。
师：嗯，判断的非常对！谁能给出边长的近似值？也就是哪一个数的平方近似等于8？同学们可以用计算器算一算。
生2：大约是2.8，因为2.82=7.84，接近8这个数。
生3：大约是2.9，因为2.92=8.41，也接近8这个数。
师：其他同学还有什么想法？
生4：这两个数一个较小，一个较大，应大约是2.8与2.9之间的一个数。可以这样想，2.8与2.9的平均数是2.85，而2.852=8.1225更接近8这个数。
师：很好！请同学们再算一算。
生5：老师，2.832=8.0089更接近8，是不是？
生6：2.822=7.9524 也更接近8，不是吗？
师：嗯，也就是说，正方形的边长是在2.82与2.83之间的一个数。能不能采用类似的办法再往下探索呢？
生1：老师2.8282=7.997584，2.8292=8.003241，它们更接近8，也就是说正方形的边长是更接近2.828与2.829之间的一个数！
师：其他同学也试试看，从以上的探索你看出了什么？正方形的边长是一个分数吗？请同学们交流讨论。
生4：边长这个数比2.8大，比2.9小；…比2.828大，比2.829小；…。它应该不是个分数吧！
师：根据以上探索与分析，它既不是整数，也不是分数，即不是有理数，那它是一个什么数？（学生又遇到“数不够用了”的困境）请同学们猜一猜。
生2：这个数应该是小数点后有很多位数位。
师：也就是说有无限位了。那么这些数位有什么特征呢？
生7：这些数位没有规律，不像那样后面都是3，就是说不是循环小数。
师：归纳概括无理数的概念。
这是一段很精彩的“对无理数意义认识”的教学片段，师生间的参与、讨论很具有启发性。教师对学生探究活动的设计和课堂上的引导精心到位，学生通过探索活动，不仅认识了无理数的意义，加深对无理数的理解，而且从另一个角度对有理数意义进行了重新认识（无限循环小数是有理数）。学生在自己构建概念的过程中，培养了数感、理性精神和创新能力。
【案例2 】
1.在情境中猜想。
师：直角三角形两锐角之和等于直角，而两直角边的和等于斜边吗？请同学们画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为3cm和4cm，如图（1），并量出它的斜边的长度。
生：度量斜边等于5cm，而不等于3+4=7（cm）。
师：嗯，请同学们进一步分析3、4、5有什么关系？
生：32+42=52，对于这个三角形有“两个直角边的平方和等于斜边的平方”。
师：这个结论是否具有普遍意义呢？即任意作Rt△ABC，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如图（2），那么a2+b2=c2是否成立呢？
2.在观察中验证。
师：由a2联想到什么图形的面积？
生：联想到正方形的面积。a2+b2=c2实质上是表示以两直角边长的两个正方形面积之和等于以斜边长的正方形面积。
师：请同学们观察格子纸，如图（3），思考A、B、C三个正方形的面积关系（多媒体显示）
生：A+B=C（学生观察后，进一步感知结论的正确性）。
3.在操作中探究。
师：请同学们作八个全等的直角三角形，如图（4），再画两个边长为a+b的正方形。
师：同学们拼一拼，摆一摆，将这八个全等的直角三角形分为两组分别放入边长为a+b的正方形内，看能否得到含有边长分别为a、b、c的正方形（给学生充分的时间进行拼图、思考、交流，对于有困难的学生，教师要给予适当引导）。
生：一部分学生拼出了图（5）、图（6）
4.在推理中证明。
师：（多媒体显示图（5）、（6））请同学们用不同的表达式表示这两个正方形的面积，它们相等吗？你能证明结论吗？（给学生充足的时间，进行独立思考，鼓励学生交流合作。教师巡视启发点拨，引导学生，让学生对证明方法进行讲解、板演、叙述。最后，多媒体显示证明过程，教师做点评。）
5.在反思中理解。
师：问题1，你能不能只用图（5）来证明勾股定理呢？
问题2，你知道关于勾股定理的哪些历史故事？
问题3，从勾股定理的证明你学到了哪些数学方法和数学思想？
这里通过富有启发性的问题情境，让学生经历操作、观察、猜想、验证、推理等活动，达到独立思考、自主探索、合作交流的目的，在师生、生生互动，不断生成新思想的活动中感知直角三角形三边的关系。尤其是让学生亲身“做数学”，从中得出结论，实现数学的“再创造”。这便于学生对知识的理解和掌握，更便于培养他们的自主创新精神。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
本文为全文原貌 请先安装PDF浏览器
原版全文