首页 -> 2008年第9期
对一类“找次品”问题的探讨及其教学建议
作者：王广丽
[关键词]找次品 最少称量次数 一次组 教学建议
“找次品”是中小学数学活动或竞赛中经常遇到的问题，现在有的老师已在课堂上面向全体施教，我们在小学的多种教研活动中常听到这类课，然而其效果却不能令人满意。
前不久，笔者听了一位小学老师执教 “找次品” 的观摩课。课堂上，老师先出示了本节课的目标题：“在27个乒乓球中混入一个次品，次品的质量比正品轻一点，用肉眼看不出来。现有一架天平，问：用天平最少称几次才能保证找出那个次品？”然后老师让学生分组讨论这个题，讨论后各组派代表班内交流。由于同学们没准备任何学具，结果学生的交流变成了“争吵”，课堂失控，不了了之。
显然这节课不能说成功，问题较多：①没达成教学目标，学生没获得“找次品”的知识与技能，也没经历和体验解决问题的过程和数学思想，没能完成本节课既定的教学任务；②教学设计不合理，学生初次接触“找次品”问题，要从27个乒乓球中找出一个次品是相对难的。为了解决这一问题，教师应设计过渡性问题，但没做到；③缺乏学法指导，如应该指导学生用学具（纽扣、棋子等）代替乒乓球，善于用口头语言、数学符号等表达自己解决问题的方法、步骤等；④教学媒体利用率低，其实本节课的过渡题，称量、找次品的方法等，用多媒体是很方便、省时、省事的；⑤教师对“找次品”这类问题缺乏必要的钻研，没有意识到本题所渗透的数学思想。教师“要给学生一碗水，自己先有一桶水”的说法（用在这里）一点也不过。
笔者认为，教师教好“找次品”一类课，应该做好两件事：一是深刻理解找次品的一般规律和数学方法；二是按新的教学理念设计好课堂教学过程。
（一）“找次品”一般规律的探讨
本文讨论如下模型：有n个产品，内有1个次品，其余是正品，次品比正品略轻一点，只有一架天平，问：至少需称量几次才能保证找出其中的次品。
欲解决这个问题，得到“找出次品至少需要的称量次数”的命题与证明，须用中学知识。
从n件产品中找出其中的次品有多种方法，每一种方法都是解决问题的一种方案。在这些不同的方案中，至少有一种方案可以使称量的次数达到最少，这个方案就是一个“最优”方案。一般地，解决该类问题的“最优”方案不唯一。
命题： 对于产品数n，若存在一个自然数k，
＜n≤ （k≥1）成立，那么这个k就是能找出次品的最少称量次数，而这个不等式所反映的就是“最优”方案的一种分组称量方法。
证明（用数学归纳法）：
1.当k=1时，产品数n应满足30＜n≤31，即 1＜n≤3，或n=2，3。
（1）当n=2时，模型的数学问题是：共有2件产品，内有一件次品。这时，可将两件产品放入天平左右两托盘，其中上升一侧的产品就是次品；
（2）当n=3时，模型的数学问题是：共有3件产品，内有一件次品。这时，可任取其中2件产品放入天平左右托盘，剩下1件产品。若天平不平衡，则上升一侧托盘中的是次品；若天平平衡，则剩下的1个是次品。
以上两种情况下，均只须称量1次即可保证找出次品。所以当k=1时命题成立。
2.假设产品数n，存在一个自然数k，使 ＜n≤ 成立，k是保证找出次品的最少称量次数，那么对于 ＜n≤ 时的产品数n，总可以进行一次平均分组（或近似平均分组），我们依然分三组，得不等式 ＜ ≤ 即 ＜ ≤
因为对介于3k-1~3k之间的产品数，称量k次已经保证能找出次品，所以满足 ＜n≤ 的产品数，要找出次品仅比 ＜n≤ 时多称量一次，即：称量k+1次就能保证找出次品，且k+1为找出次品称量次数的最小值。于是，命题对k+1依然成立。证毕。
为了便于分析，我们把n=2，3的产品组叫做“一次称量组”，简称“一次组”。并且用图1、图2表示两种“一次组”对次品找出的判断。
图中：“ 1 ”表示托盘中放一个产品；“ 1* ”表示假设的、找出的次品；“1”表示剩下的可以免称的产品。因为这种假设找到次品的判断，与次品在那组（左托盘、右托盘、免称组）无关，所以做这种假设性判断并不失一般性。
【例1】当n=9时，一次称量显然找不出次品。我们可以先做判断：因为3＜9≤32，所以k=2，即最少称量2次，就能保证找出次品。做法是：将9个产品平均分为3组，每组3个产品，任取其中两组，置于天平左、右托盘。如果天平不平衡，那么次品在上升一侧托盘中，（图3中假设左侧为次品）；如果天平平衡，那么次品在剩下免称的那一组（图4）。
以上无论那种情况，经过称量一次后，都会得到“一次组”，所以，只要再对一次组称量一次，就可找出次品。（注：“一次组”的图示可以省略不再画出，下同）上述两种情况可以只用一个图来表示。（图5）
【例2】在40个产品中找1个次品的分组称量过程如图所示（图6）。
图6表明，从40个产品中找出这1个次品时，称量4次既可。（注：当产品数字相同时，再往下分析的图示是相同的，所以可取相同数中的一个，画出分析图表示称量次数既可）。
（二）教学建议
以上分析是为了使老师能够装入“一桶水”而进行的一种探讨。显然，对于小学生绝对不能搞得这么“复杂”，只是要求学生通过接触简单的找次品问题体会到：从若干产品中找出一个次品的方法（或方案）很多，其中有的称量次数较多，也有的称量次数较少。通过学生的独立思考和同学们的合作学习，能找出一个或几个称量次数相对较少而找出次品的几种方法（或方案）；同时能够学会用口头语言、肢体语言或数学符号语言等，表达出自己找出次品的方法，再与同伴交流。教学过程大致如下：
1.提出目标问题。通过一定的手段或教学媒体，把本节要解决的目标问题展现出来。方式很多，如小黑板、幻灯、投影、多媒体课件等，可因地制宜。多媒体最好，可以模拟演示。
2.提出过渡性问题，进行低坡度教学。基本原则是由易到难，由浅入深，由简单到复杂。这一过程可分两小步完成：
第一小步教学称量一次就能找出次品的过渡题。通过这一小步，教师要讲明“平衡”的意义，让学生会用口头语言表达找出次品的方法与过程，同时引导学生学习用图示表达这种判断方法。如：从2个产品中找次品（图7）；从3个产品中找次品（图8），其中：①左盘中的是次品见图a；②不被称的是次品见图b。
建议：对于学生可以不提所谓“一次组”的概念。
第二小步，教学须两次才能找出次品的过渡题。如4、7、9个等。这一步教学很关键，建议如下：
（1）若有条件的话，要充分发挥多媒体和课件的演示作用；
（2）让学生用学具代替乒乓球或天平，多动手摆弄；
（3）教师要特别强调并讲清题目中的关键词“保证找出”、“次数最少”的含义；
（4）引导学生会用画图表示自己的方案。
3.分组探究目标题。这步最难，也最重要，要让各组学生既做到分工明确，又参与合作学习；多用学具摆弄，尝试用画图表达自己的想法或方案。
4.班内交流。交流时各组为了表演自己的想法，提倡用多种手段和方式，如用身体当作天平，左右手当作天平的托盘，纽扣、棋子当作乒乓球等。
5.方案的比较与优选。这一步教学要量力而行，顺其自然，学生能理解到什么程度就什么程度，不要什么“标准答案”。如在27个乒乓球中找出那一个次品，若按本文所得命题，其最优方案如图9所示。但对于学生，决不能认为不得出本文提供的这个方案就没有完成课堂教学目标与任务，学生的各个学习小组之间只要能够进行不同方案的对比，经过对比而比较出一个称量次数相对最少者就是一个很好的“答案”。最重要的是通过实际教学渗透“优化设计”或“优选法”的数学思想方法。另外，还可根据实际情况，适当介绍我国数学家华罗庚在优选法等相关领域的事迹和贡献等。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
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