首页 -> 2008年第10期
在新课程标准下高中学生数学思维能力的培养
作者：毛满利
[关键词]新课程标准 高中学生 数学思维 能力培养
《高中数学课程标准》在培养目标第二条中明确指出：“提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。”这里所指的也就是学生的数学思维能力。如果学生有了一定的数学思维方法和能力，不仅能够很好地完成学业，还会终身受益。所以，数学教师在教学中要尽量为学生科学地组织好思维材料，为他们的探索提供桥梁和阶梯。
（一）分析概念，揭示本质，为思维打好基础
概念教学的关键步骤是揭示其本质特征。概念的本质特征指的是它反映一事物区别于他事物的主要之点。在学习概念时，学生常会出现两种倾向，或是不顾概念成因而孤立地记住定义，即死背；或是在丰富的感性材料面前陷入困境，找不出主线来，即缺乏思维能力。因此，教师要引导学生在概念的正面辨析和反面类比上下功夫。
1.正面辨析。在给学生提供大量感性材料的时候，笔者就有意识地作好铺垫，让他们的感性认识自然地向理性认识过渡，通过反复讨论，归纳出概念的本质特征。比如数学上的“排列”概念，生活中存在大量学生熟知的例子，如排队、通信、选代表等。教师可以由此入手，进而启发学生探讨排列定义中的“顺序”两字的含义，知道“顺序”不仅是指通常意义上的排列次序，还可以广义地理解为“两种取法产生两种结果”。由此，学生便可以理解“两两通信”、“班干部的不同分工”等排列问题与“顺序”有关，而“两两通电话”、“两两球队赛球”与顺序无关，不是排列问题。这样也为组合概念的引入伏下了一笔。
2.反面比较。比较是一种重要的思维形式，大纲中明确指出：“对于容易产生混淆的概念，要引导学生用对比方法认识它们之间的区别和联系。”例如，在关于复数概念的三角表示法的教学中，可用如下一组题目来帮助学生获取正确形式：求以下复数三角式的幅角主值：①Z=4(cos -isin )②Z=-2(cos +isin )③Z=4(sin +icos )。学生在解题过程中常常会误以为幅角主值是 。通过对各种错误的辨析，学生领悟到复数三角式r(cos?兹+isin?兹)的特征是：①r>0；②实、虚部分别由rcos?兹和rsin?兹组成；③中间以加号连接。由此回溯复数三角形式的来源，就获得了对这一概念的完整认识。
（二）给概念下定义，为学生的思维“点睛”
给概念下定义，就是用简练的语言表述概念所反映的事物的本质特征。概念的定义揭示了该概念的内涵，而使用的语言又是极精练的。要求学生正确、完整地领会并用言语表述定义，不仅有助于他们对概念的记忆，更能培养他们思维的严密性和精确性。例如，在教等差数列的时候，先让学生自学等差数列的定义，然后要学生按定义证明一个五项数列为等差数列。有些学生由a3-a2=a2-a1迫不及待地作出了肯定的结论。这从逻辑上来说，是犯了以偏概全的错误；从定义上说，是由于学生没有仔细领会其中“每一项”三个字的含义。于是笔者将这三个字写在黑板上，有意引起学生的注意，然后再让学生证明一遍。经过这样一个反复认识的过程，学生对等差数列的定义有了深刻的印象。
（三）探索解题思路，培养思维能力
解题是数学教学的一个基本形式，高中学生一般也比较喜爱。但他们对题目往往是不加选择，拿来就做，做后就丢，题目一改头换面又得重新思考。教师可从学生的实际水平出发，不断向学生提出一些比较新颖的、典型的，同时又是他们通过独立思考可以解决的题目，引导他们去探索思考的方法。一单元结束后，还要求学生写单元小结，小结中要求最后一部分是“本单元的主要思想方法”，这是锻炼学生思维性思维的一项“基本训练”。通常可以采用以下几类题目和解法来帮助学生探索思路。
1.难题浅解。“难题”是个相对的概念。一般来说，它总是指一些综合性较强、抽象性较高的题目。这类题目思维容量十分丰富，如果教师启发得法的话，它们可以成为训练学生思维力的很好材料。1981年高考数学试卷中的一道附加题就是一例。此题解法不少，但有些思路太奇特，学生不容易想得到。于是笔者就采用从特殊到一般这一容易为学生接受的思想方法来启发学生。我们知道，不完全归纳法不能代替证明，但可以从中找到证明一般形式的雏形。
[例1]已知：以AB为直径的半圆内有一个内接正方形CDEF(见图1)，其边长为1，AD=a，BD=b，u1=a-b，u2=a2-ab+b2，u3=a3-a2b+ab2-b3…，uk=ak-ak-1b+ak-2b2-…+(-1)kbk。
求证：un= un-1+ un-2（n>2）。
分析：不少学生一上来就想从un-1，un-2表达式相加得un，结果由于字母繁复而迷失了方向。
引导学生由证明u3= u2+u1(即n=3时) 成立来找到解题的思路。学生发现，由于a的最高次幂不等，不能直接看出上述关系式成立的原因。等式要成立，b间一定有某种关系。于是从图中找得a-b=1，ab=1，这个“1”乘上去不影响结果。
有学生就尝试u2乘(a-b)向u3靠近，发现u2(a-b)=(a2-ab+b2)(a-b)=a3-a2b+ab2-b3-a2b+ab2=u3-abu1，即得u3=(a-b)u2+abu1=u+u1。遵循上述思路，展开此式可得：un=(a-b)un-1+abun-2=un-1+un-2。学生由此得到启示，解难题一定要找到正确的思考规律，才能做到“深入浅出”。
2.妙题巧解。这类题目难度并不高，但思路巧妙。教材中有这样一道习题：“4个男同学和3个女同学排成一队，如果女同学不能排在一起，有多少种排法？”这道题目要考虑的方面很多，“女同学不能排在一起”这个条件表明不能有两个女同学相邻。解这个题目，学生习惯于走“大路”，采用列举法，通过一一列举，可以算得1440的结果。但由于计算过程繁复，不少人失败了。此时再提出新问题：若是男同学改为m个，女同学改为n个（m>n）, 该怎么考虑呢？问题上升为一般形式，列举方法已无能为力，得另辟蹊径。然后启发学生从计算结果的形式中找找方法。有的同学把计算结果变形后，得到A44×A35—— 喔!A44可以看作男同学的位置排法，那么A35怎么理解呢？在肯定了学生的可贵发现后，笔者进一步启发他们：“排列问题关键在于选择适当的位置，大家可以为女同学找找符合条件的位置，看能否与A35挂上钩？”一会儿，有的同学巧妙地得到了这个位置：·男·男·男·男·，四个男同学隔出五个空隙，排上女同学，则女同学一定不会相邻。这是五个位置中取三个的排列，也就是A35的意义。这种方法我们不妨形象地称它为“插入法”。据此，学生们马上把结论推广到m个男生和n个女生的一般情况，就是Anm+1Amm（m个人中间有m+1个空隙）。
参考文献：
[1]何江卫.新课程标准理念下的教学反思[J].中学数学教学参考,2004,(2).
[2]王良成.面向21世纪中学数学教育改革[J].川东学刊,2003,(10).
[3]赵育建,戴林源.高中数学课堂教学改革新理念[J].中学数学教学参考,2005,(2).
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
本文为全文原貌 请先安装PDF浏览器
原版全文