首页 -> 2008年第10期
正方体模型在教学中的应用
作者：梅虎华
（一）构造正方体模型解题
[例1]（2007年湖北·理·4题）平面?琢外有两条直线m和n，如果m和n在平面?琢内的射影分别是m1和n1，给出下列四个命题：
①m1⊥n1?圯m⊥n； ② m⊥n?圯m1⊥n1；
③ m1与n1相交?圯m与n相交或重合；
④ m1与n1平行?圯m与n平行或重合；
其中不正确的命题个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】构造正方体，如图：设平面α为平面ABCD
①取AD=m1，CD=n1，AD1=m，CD1=n，则①错
②取AD1=m，A1D=n，AD=m1=n1，则②错
③取AD=m1，CD=n1，AD1=m，C1D=n，则③错
④取AD=m1，BC=n1，AD1=m，B1C=n，则④错。
选D
【评注】本例以空间线面位置关系为考点，以直线在平面内的射影立意，考查了空间想象能力、推理能力和探究能力。属于“命题判断”型试题，此类题型分为单一判断、多项判断和构造命题判断，是各地模考和高考的命题热点。解决策略是：构造正方体，把条件和结论置入正方体中，逐个判断，达到简化思维过程。
本例还告诉我们，在教学中要让学生自制正方体模型，直观地认识和理解空间线面位置关系、各种角度和距离，并学会用数学语言表述位置关系。
[例2]正四面体的棱长为1，球O与正四面体的各棱均相切，且球心O在正四面体的内部，则球O的表面积是（ ）
A.2?仔 B.4?仔 C. ?仔 D. ?仔
【解析】构造正方体，与正四面体的各棱均相切的球恰是正方体的内切球，设正方体的棱长为a， a=1，∴ a= ，故2r= ，则r= ，所以，球O的表面积S=4?仔r2= ?仔 ，选C
【评注】本例是正四面体与球的“切”、“接”问题，由于正方体和正四面体具有相同的外接球，此时正方体的内切球就是正四面体的棱切球，因此，可以构造正方体来解决此类型试题。设正方体和正四面体的棱长分别为a、b，则 a=b。就正方体而言，其内切球、棱切球、外接球半径分别为a、 a、 a，比值为1: : ；正四面体的内切球、棱切球、外接球半径分别为 a、 a、 a，比值为1: :3。从而发现，正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1，而正三角形外接圆与内切圆的半径之比为2:1，这正是平面向空间推广的结果，数字2、3表示平面和空间的维数。
[例3]（2006年北京·理·4题）平面?琢的斜线AB交?琢于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交?琢于点C，则动点C的轨迹是（ ）
A．一条直线 B.一个圆
C.一个椭圆 D.双曲线的一支
【解析1】构造正方体，如图1。设下底面为平面，B为下底面的一个顶点，B点共顶点的三个面的对角线构成一个平面PQR，它与AB垂直，垂足记为A，它是过A点的直线l所形成的平面，则点C就是AB的垂面PQR与平面?琢的交线。选A
【解析2】构造棱长为1的正方体，并建立空间直角坐标系，则A(0，0，1)，B(1，1，0)，在平面xoy上取点C（x，y，0）， =A(1，1，-1)， =(x，y，-1)，由题意可知， · =0，∴x+y+1=0 ，既点C在平面?琢内的轨迹是一条直线。
【评注】本例以线线垂直关系为背景，求平面上点的轨迹，立意新颖，解决的一般方法是空间问题平面化（定性），平面问题解析化（定量），是求动点轨迹问题的新题型和新方法，体现了立体几何与解析几何的有机结合，考查了空间想象能力、转化能力和探究能力，是高考命题的热点和亮点。此类问题包括求几何体表面上或非几何体平面上动点轨迹，前者可从几何体的特性去探究，后者可以构造正方体，用定性或定量的方法来解决。
（二）正方体中计数问题
[例4]（2006年上海·理·10题）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________。
【解析】由“正交线面对”的含义，以面为标准分成两类。第一类，与侧面垂直的有4×6＝24个；第二类，与对角面垂直的有2×6＝12个。共有24＋12＝36个。
【评注】本例用新定义立意，是以正方体为依托的计数问题，属于信息迁移型试题，考查阅读理解能力、迁移能力和分类讨论思想，在高考立体几何中占有重要地位。解决此类型试题可用直接法，对给出的新定义，在认真阅读理解其本质的基础上，紧扣新定义的条件直接解题。分类要注意不重复、不遗漏，分类标准统一。
一般来说，立体几何中的信息迁移题，除了用上述直接法外，还有：①转化法，把新信息转化成熟悉的问题情景或模型，如前面例1的解法；②类比法，对有范例的信息迁移题，可用类比的方法，仿照范例，使新信息的各部分与所求问题的各部分相对应，然后求解。
[例5]用小正方体块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要_____个小正方体，最多只能用_____个小正方体。
【解析】从三视图可知正方体的个数，底层有6个，从正视图可知，第二层至少有2个，最多有5个；第三层至少有1个，最多有3个。故至少有9个，最多有14个。
【评注】以三视图为背景，考查空间想象能力、计数能力和分类讨论思想，它是高考命题的一个亮点。在2007年实施新课标的四省区的高考试卷中均有体现，而以三视图还原直观图为最难，它又是三视图有关计算和计数问题的关键。解决三视图计数问题，常常从俯视图入手看下底面，从正视图看前后面及上下底面的结构，从左视图看左右面及上下底面的结构，还原出几何体的直观图，再进行分类计数。
（三）正方体中计算和证明
[例6]在棱长为1的正方体内有一内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作一直线，该直线被球面截在球面内的线段长是（ ）
A.B.C.D.-1
【解析1】过内切球心O作OM⊥EF于M，过EF作截面EPFQ，其中P、Q为棱的中点，作ON⊥PF于N，连结MN，易知OM⊥平面EPFQ，ON等于半径r= ，MN= ，EP= ，则OM= ，直线在球面内的线段长为
2 ＝ 。选C
【解析2】过内切球心O和直线EF作正六边形截面ESTUFV，这些顶点均为棱的中点，则OV⊥EF于M，则OM= OV＝ ，同解析1。
【评注】本例是与正方体有关球的计算问题，解决的基本思想是平面化。初中平面几何中圆内的弦长l与半径r及弦心距d之间的关系l=2 ，也是解决空间中球面内弦长的基本方法。一般地，过正方体棱上任意两点的直线只要和正方体的内切球（或外接球或棱切球）相交，其弦长都可以用上述方法求解。
[例7]（2004年江苏）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP。(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；(Ⅲ)略。
[2]
本文为全文原貌 请先安装PDF浏览器
原版全文